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MA2, groupe 1M1ECO – DM 5
Correction.
N. Laillet
[email protected]
DM 5 – correction
Exercice 1 On considère l’application ϕ qui à un polynôme P de R3 [X] associe le polynôme
3P (X) − XP 0 (X).
a. Montrer que pour tout P de R3 [X], ϕ(P ) ∈ R3 [X].
b. Montrer que ϕ est un endomorphisme de R3 [X].
c. Déterminer le noyau et l’image de ϕ (on pourra utiliser une matrice de ϕ dans une base
correctement choisie).
Correction
a. Soit P un polynôme de R3 [X]. Alors il existe a, b, c, d quatre réels tels que P (X) = aX 3 + bX 2 + cX + d.
Calculons ϕ(P )(X).
ϕ(P )(X) = 3P (X) − XP 0 (X)
= 3aX 3 + 3bX 2 + 3cX + 3d − X(3aX 2 + 2bX + c)
= 3aX 3 + 3bX 2 + 3cX + 3d − 3aX 3 − 2bX 2 − cX
= bX 2 + 2cX + 3d
= αX 3 + βX 2 + γX + δ,
avec α = 0, β = b, γ = 2c et δ = 3d. Donc ϕ(P ) ∈ R3 [X].
b. On a déjà montré que ϕ : R3 [X] → R3 [X]. Montrons maintenant que cette application est linéaire.
Soient P, Q deux polynômes de R3 [X], λ et µ deux réels. Alors
ϕ(λP + µQ) = 3(λP + µQ) − X(λP + µQ)0 .
Par linéarité de la dérivation, on obtient
ϕ(λP + µQ) = 3(λP + µQ) − X(λP 0 + µQ0 )
= 3λP + 3µQ − XλP 0 − XµQ0
= λ(3P − XP 0 ) + µ(3Q − XQ0 )
= λϕ(P ) + µϕ(Q).
Donc ϕ est linéaire, donc c’est un endomorphisme de R3 [X].
c. Écrivons la matrice de ϕ dans la base (1, X, X 2 , X 3 ) = (P0 , P1 , P2 , P3 ).
ϕ(P0 ) = 3P0 − XP00 = 3P0
ϕ(P1 ) = 3P1 − XP10 = 2P1
ϕ(P2 ) = 3P2 − XP20 = 3P2
ϕ(P3 ) = 3P3 − XP30 = 0.
Donc la matrice de ϕ dans la base (P0 , P1 , P2 , P3 ) est

3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0

0
0
0
0
On remarque que la matrice est échelonnée, de rang 3. Donc dim(ker ϕ) = 1 et rg(f ) = 3. Or,
1. P3 ∈ ker ϕ et comme ker ϕ est de dimension 1, ker ϕ = Vect(P3 ).
2. de même, on remarque que P0 , P1 et P2 appartiennent tous à Im ϕ ; étant donné qu’ils forment une
famille libre, Im ϕ = Vect(P0 , P1 , P2 ).
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
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N. Laillet
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2
Exercice 2 (extrait du partiel 2013) On considère
la projection p de R dans R d’image la
1
droite 2x + y = 0 et parallèlement à la direction
.
3
a. Expliquer avec un dessin comment construire géométriquement l’image d’un élément de R2
par p.
1
−1
b. Quelle est la matrice B de p dans la base
,
(au départ et à l’arrivée) ? On
3
2
s’assurera d’abord que ces deux vecteurs forment bien une base de R2 .
c. En déduire la matrice A de p dans la base canonique (au départ et à l’arrivée).
a.
Correction
Cf. TD
1
−1
b. Premièrement,
et
ne sont pas colinéaires, ils forment donc une base de R2 .
3
2
Ensuite, par définition de la projection,
p(1, 3) = 0.
Ensuite, comme
−1
2
appartient bien à la droite 2x + y = 0,
p(−1, 2) = (−1, 2).
1
−1
,
3
2
Finalement, la matrice B de p dans la base
B=
est
0
0
0
.
1
c.
Soit P la matrice de passage de la base canonique à la base
P =
1
−1
,
.
3
2
−1
.
2
1
3
On sait alors que
A = P BP −1 .
Un simple pivot de Gauss donne immédiatement
P
−1
1
=
5
2
−3
1
.
1
On en déduit
A = P BP −1
1
= ×
5
1
×
5
=
0
0
3
−6
−1
2
−1
2
×
2
−3
1
1
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/