MATHEMATIQUES Terminale
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Transcript MATHEMATIQUES Terminale
MATHEMATIQUES
Terminale
Scientifique
Fiches
Sylvie LAMY
PROGRAMME 2012
(v2.4)
Agrégée de Mathématiques
Diplômée de l’École Polytechnique
______________________________________________________________________________________________________
Cours Pi – e-mail : [email protected] – site : http://www.cours-pi.com
siège social et centre d’expédition : 11-13 rue de l’Épée de Bois, 75 005 Paris – tél. : 01 42 22 39 46
bureaux et accueil du public : 6 rue Saint Denis, 34 000 Montpellier – tél. : 04 67 34 03 00
Quelques indications pour votre
Terminale en mathématiques (obligatoire)
Références
o
Les exercices font référence au livre : Maths TS Collection Symbole –Belin (Programme 2012)
Vous disposez :
du livre
de fiches récapitulant les principaux points du cours
de corrigés d’exercices du livre
de 12 devoirs thématiques et de 3 devoirs de type Bac blanc à rendre.
Lecture des fiches
Les fiches suivent globalement le découpage du livre.
Les références au livre sont indiquées en italiques.
Remarque : il est indiqué certaines erreurs d’énoncé du livre. Il est possible que vous disposiez d’une édition
où ces erreurs ont déjà été corrigées.
Les définitions et principaux résultats sont indiqués avec le symbole : .
Á la fin de chaque fiche ou de certaines parties, on a indiqué les compétences à avoir (issues du programme
officiel) et les exercices du livre à faire qui sont corrigés par les Cours PI.
Conseils de progression
Pour chaque fiche :
Commencer par lire le livre aux pages indiquées. Il est vivement conseillé de lire également les pages
« Capacités attendues ».
Certaines démonstrations sont exigibles. Il est surtout important de bien les comprendre et de retenir les
méthodes.
Faire le maximum d’exercices (si possible tous !). Il est conseillé de faire également les exercices corrigés du
livre.
Calculatrice et informatique
Vous devez posséder pour l’enseignement scientifique au lycée d’une calculatrice graphique de type
CASIO GRAPH 25+ ou CASIO GRAPH 35+. Il faut apprendre à vous en servir.
Devoirs
Les devoirs thématiques concernent des parties spécifiques du programme. Les devoirs de type-bac sont peuvent faire
appel à l’ensemble du programme. Le moment où ils sont faisables est indiqué dans le sommaire page suivante.
___________
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Mathématiques – Terminale S
Sommaire
___________
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Fiche 1.
Suites et récurrence
Chapitres 1 et 2
Dans la suite, on notera u, v, w,… des suites et un , vn , wn , …leur terme général respectif.
Sauf précision contraire, les suites seront définies pour tout n
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété P ( n) . Si :
(1)
P (n0 )
est vraie (initialisation)
(2) et pour tout
alors pour tout
p n0 P ( p)
,
vraie implique P ( p 1) vraie (hérédité),
n n0 P ( n)
,
est vraie.
En pratique sur un exemple :
u0 0 et un 1 un
Soit la suite u définie par :
Montrer que pour tout n :
un
1
(n 1)(n 2) .
n
n 1 .
1. On écrit la propriété de récurrence : On pose :
P(n) : un
n
n 1
2. On initialise la récurrence : Initialisation :
0
0 u0
Pour n 0 : 0 1
donc P(0) est vraie.
3. On vérifie la condition d’hérédité : Hérédité :
Soit un entier p 0 . On suppose que P( p) est vraie. On a donc :
1
p
1
p( p 2) 1
u p 1 u p
=
( p 1)( p 2) p 1 ( p 1)( p 2) ( p 1)( p 2)
p2 2 p 1
( p 1) 2
p 1
( p 1)( p 2) ( p 1)( p 2) p 2
up
p
p 1
donc P( p) est vraie.
4. On conclut : conclusion : par récurrence, on peut en déduire que pour tout entier n :
n
un
n 1
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Mathématiques – Terminale S
1
Sens de variation, suites majorées et minorées (Rappels)
Variations d’une suite :
u est croissante si on a pour tout n
u est strictement croissante si on a pour tout n
u est décroissante si on a pour tout n
u est strictement décroissante si on a pour tout n
u est constante si on a pour tout n
u est strictement monotone si u est soit strictement croissante soit strictement décroissante.
un1 un
un1 un
un1 un
un1 un
un1 un
Suite majorée, minorée, bornée
u est majorée par M (réel) si on a pour tout n
un M
u est minorée par m (réel) si on a pour tout n
un m
u est bornée si elle est majorée et minorée.
Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques
La suite u est une suite arithmétique de raison r (réel) si pour tout n
:
un1 un r
Terme général d’une suite arithmétique :
un u0 nr
Somme des p+1 premiers termes d’une suite arithmétique :
S p u0 u1
up
Nombre de termes ( premier terme dernier terme ) ( p 1)( u0 u p )
2
2
Cas particulier : 1 2 3 ... ( p 1) p
p( p 1)
2
Sens de variation et limite :
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lim un
Si r 0 : u est strictement croissante ;
Si r 0 : u est strictement décroissante ;
Si r 0 : u est constante ; lim un u0
n
lim un
n
n
Mathématiques – Terminale S
2
Suites géométriques
La suite u est une suite géométrique de raison q (réel) si pour tout n
:
un1 qun
Terme général d’une suite géométrique :
un u0 q n
Somme des p+1 premiers termes d’une suite géométrique :
S p u0 u1
u p premier terme
Cas particulier : 1 q q 2 ... q p
1 raisonnombre de termes
1 q p 1
u0
1 raison
1 q
1 q p 1
1 q
Sens de variation et limite :
pour u0 0
q
Variations
Limites
1
ni croissante,
ni décroissante
pas de limite
0
ni croissante,
ni décroissante
0
1
décroissante
croissante
0
pour u0 0
q
Variations
Limites
1
ni croissante,
ni décroissante
pas de limite
0
ni croissante,
ni décroissante
0
1
croissante
décroissante
0
COMPETENCES
Appliquer un raisonnement par récurrence.
Déterminer le sens de variations d’une suite, et montrer qu’une suite est majorée, minorée ou
bornée en utilisant éventuellement le raisonnement par récurrence.
EXERCICES
N°2 page 18 (Corrigé 1.1)
N°4 page 18 (Corrigé 1.2)
N°7 page 18 (Corrigé 1.3)
N°10 page 19 (Corrigé 1.4)
N°17 page 19 (Corrigé 1.5)
N°20 page 19 (Corrigé 1.6)
N°22 page 19 (Corrigé 1.7)
N°28 page 20 (Corrigé 1.8)
N°30.a page 20 (Corrigé 1.9)
N°41 page 21 (Corrigé 1.10)
N°43 page 21 (Corrigé 1.11)
N°47 et N°49 b et c page 22 (Corrigé 1.12)
N°65 page 24 (Corrigé 1.14)
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Mathématiques – Terminale S
3
Convergence d’une suite
Une suite u admet une limite l si pour tout intervalle ouvert
un rang n tel que : pour tout n n0 on a un I .
0
Notation :
I ;
contenant l, il existe
lim un
n
Si une suite admet une limite, elle est convergente. Une suite non convergente est dite
divergente.
Une suite u admet une limite (resp. ) si pour tout intervalle
il existe un rang n tel que : pour tout n n0 on a un I .
I A; (resp. ; A )
,
0
Notation :
lim un
lim un
n
n
Une suite est divergente si elle n’admet aucune limite ou qu’elle admet une limite infinie.
Exemples
un
1
suite convergente : lim un 0
n
n 1
un n suite divergente : lim un
n
un (1) suite divergente : pas de limite
n
1
0
lim n
pour p 1, lim n p
n
n
n 1
pour q 1, lim q n 0 pour q 1, lim q n
lim
n
Les limites à connaître* :
n
n
*il y en aura d’autres par la suite.
Opérations sur les limites
Voir tableau page 36.
Les formes indéterminées :
0
un
Exemple pour la limite d’une suite rationnelle :
4n
4n
2
un 2
avec
1
2n n 2n2 (1 ) n(1 1 )
n
n
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0
0
4n
2n 2 n
1
lim (1 ) 1
n
n
Mathématiques – Terminale S
donc :
lim un lim
n
n
2
0
n
4
Théorèmes de comparaison de suites
Si à partir d’un certain rang un vn et lim vn
alors
Si à partir d’un certain rang un vn et lim vn
alors
n
n
lim un
n
lim un
n
Théorème « des gendarmes » :
Si à partir d’un certain rang ,
wn un vn avec lim vn
n
et lim wn
n
alors
lim un
n
Cas particulier : Si à partir d’un certain rang , un vn avec
lim vn 0
n
alors
lim un
n
Ces théorèmes sont très utiles et permettent de donner la limite (finie ou infinie) d’une
suite.
Limites de suites monotones
Toute suite croissante majorée converge.
Toute suite décroissante minorée converge.
Remarque : il s’agit de théorèmes d’existence. Le majorant ou minorant trouvé n’est pas forcément
la limite !
Si une suite est croissante et a pour limite l, alors elle est majorée par l (et l est le plus petit
majorant).
Si une suite est décroissante et a pour limite l, alors elle est minorée par l (et l est le plus grand
majorant).
COMPETENCES
Connaître les définitions des limites.
Connaître les opérations sur les limites et résoudre les cas des formes indéterminées.
Utiliser les théorèmes de comparaison.
Montrer l’existence d’une limite pour les suites croissantes majorées et décroissantes minorées.
EXERCICES
N°4 page 48 (Corrigé 2.1)
N°9 page 49 (Corrigé 2.2)
N°17 a,b,c,d,e page 49 (Corrigé 2.3)
N°22 a,b page 50 (Corrigé 2.4)
N°23 a,b page 50 (Corrigé 2.5)
N°26 a,b page 50 (Corrigé 2.6)
N°40 a,b page 51 (Corrigé 2.7)
N°41 a page 51 (Corrigé 2.8)
N°44 page 52 (Corrigé 2.9)
N°52 page 53 (Corrigé 2.10)
N°54 page 53 (Corrigé 2.11)
N°57 page 53 (Corrigé 2.12)
N°67 page 55 (Corrigé 2.13)
N°68 page 55 (Corrigé 2.14)
N°73 page 55 (Corrigé 2.15)
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Mathématiques – Terminale S
5
Fiche 2.
Limites d’une fonction
Chapitre 3
Limites en +∞ ou -∞ et asymptotes horizontales
On considère une fonction f (on supposera que son ensemble de définition ne pose pas de problème en +
∞
∞)
f admet une limite (ou tend vers) L en +∞
I ;
contenant
l,
il
existe
pour tout x x0 (resp. x x0 ) on a f ( x ) I
Notation :
lim f ( x) L
x
si pour tout intervalle ouvert
un
nombre
x0
tel
que :
.
lim f ( x) L
x
f tend vers +∞ en +∞ (resp. en
nombre x0 tel que :
I A;
il existe un
I ; B
il existe un
pour tout x x0 (resp. x x0 ) on a f ( x ) I .
Notation :
lim f ( x)
x
lim f ( x)
x
f
nombre x0 tel que :
pour tout x x0 (resp. x x0 ) on a f ( x ) I .
Notation :
lim f ( x)
x
lim f ( x)
x
Asymptote horizontale : si f admet une limite finie L
asymptote horizontale à la courbe représentative de f.
y L est une
lim f ( x)
f est une fonction avec x
lim f ( x) 1
et x
.
Sa courbe représentative admet une asymptote
1
0
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1
horizontale d’équation : y 1
Mathématiques – Terminale S
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Limites en un réel et asymptotes verticales
On considère une fonction f définie sur a r; a
I A;
I ; B
en a si pour tout intervalle
(resp.
) il
f
existe un nombre x0 tel que :
pour tout x0 x a on a f ( x) I .
lim f ( x) ou lim f ( x)
x a
lim f ( x) ou lim f( x)
x a
xa
x a
x a
x a
Notations :
On parle de limite à gauche de f en a.
On peut définir de la même manière des limites à droite.
Si une fonction admet une limite infinie à gauche et/ou à droite en un point a, la courbe
représentative de f admet une asymptote verticale d’équation x a .
;0 0;
est définie sur
par
f
lim f ( x)
x 0
x 0
1
0
1
f ( x)
1
x .
lim f ( x)
x 0
x 0
Sa courbe représentative admet une asymptote
verticale d’équation : x 0
On ne cherche des asymptotes que pour x tendant vers
ou vers un point pour lequel la
fonction n’est pas définie.
1
lim
0
lim n
pour p 1, lim n p
n n 1
n
n
n
n
pour q 1, lim q 0 pour q 1, lim q
n
n
Les limites à connaître* :
*il y en aura d’autres par la suite.
Opérations sur les limites
Elles sont similaires aux opérations sur les limites de suite.
0
0
Les formes indéterminées :
0
Limites des fonctions composées :
lim u( x ) b et lim f ( x ) c lim f (u( x )) c
x a
x b
x a
On a les mêmes résultats pour a, b et c infinis ou réels.
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Mathématiques – Terminale S
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Comparaisons et limites
On suppose que pour tout x de ; , f ( x) g ( x) .
si lim g( x )
alors
si lim f ( x )
alors
x
x
lim f ( x)
x
lim g( x)
x
On suppose que pour tout x de ; , f ( x) g ( x) .
si lim f ( x )
alors
si lim g( x )
alors
x
x
lim g( x)
x
lim f ( x)
x
Théorème « des gendarmes » :
On suppose que pour tout x de ; , h( x) f ( x) g ( x) .
si lim g( x )
x
et lim h( x )
x
alors
lim f ( x)
x
On a les mêmes résultats pour les infinis ou pour un réel a.
COMPETENCES
Déterminer les asymptotes d’une courbe.
Utiliser les théorèmes des limites sur la somme, un produit, et un quotient de fonctions.
Utiliser les théorèmes de comparaison pour déterminer des limites.
Calculer les limites des fonctions composées.
EXERCICES
N°2 page 82 (Corrigé 3.1)
N°6 page 82 (Corrigé 3.2)
N°9 page 82 (Corrigé 3.3)
N°18 page 83 (Corrigé 3.4)
N°21/27 a et b page 84 (Corrigé 3.5)
N°31 page 85 (Corrigé 3.6)
N°35 page 85 (Corrigé 3.7)
N°44 page 86 (Corrigé 3.8)
N°57 page 87 (Corrigé 3.9)
N°67 page 88 (Corrigé 3.10)
N°73 a. page 89 (Corrigé 3.11)
N°75 a. page 89 (Corrigé 3.12)
N°76 page 89 (Corrigé 3.13)
N°78 page 90 (Corrigé 3.14)
N°91 page 92 (Corrigé 3.15)
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