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DEFINITION DES NOMBRES COMPLEXES
Objectifs :
 Définir les nombres complexes : parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe
 Définir le conjugué d’un nombre complexe
 Calculer une somme, un produit, un inverse, un quotient
 Résoudre des équations du second degré dans C
I
1/ Généralités :
1-1 Présentation des nombres complexes :
 Théorème : (Admis)
Il existe un ensemble CI contenant IR et vérifiant :
 CI est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de IR et
suivent les mêmes règles de calcul.
 il existe un élément i de CI tel que : i² = – 1
 tout élément z de CI s'écrit de manière unique :
z=x+iy
(x et y réels)
 Vocabulaire :
 CI est l'ensemble des nombres complexes.
 Soit z = x + i y (x et y réels) alors :
x + i y est appelée la forme algébrique de z,
x est la partie réelle de z, notée Re(z),
y est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
 Si y = Im(z) = 0 alors z est dit réel :
x  IR
z = x et
Si x = Re(z) = 0 alors z est dit imaginaire pur : z = i y et
y  IR
 Exemples :
On considère les valeurs suivantes de z :
3+5i
; –3i ;
2
;
3 i2 ; 0.
Déterminer Re(z) et Im(z). Indiquer les nombres complexes qui sont imaginaires purs :
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
 Egalité de deux nombres complexes :
 Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire ; c’est-à-dire :
Soient z = x + i y (x et y réels) et z'' = x' + i y'
z = z'
 En particulier : z = 0
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 x = x'
 x=0
et
et
(x' et y' réels) :
y = y'
y=0
LES NOMBRES COMPLEXES - Partie 1
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1-2 Conjugué d’un nombre complexe :
 Définition :
Soit z un nombre complexe tel que z = c (x et y réels)

z =x–iy
On appelle conjugué de z, le nombre :
(lire "z barre")
 Exemples : Déterminer le conjugué de chaque nombre complexe : – 4 , i , 2 + 3 i.
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
 Conséquences : Soit z = x + i y (x et y réels)

 si z est réel, alors :
z =z
car z = x et
x  IR
 si z est imaginaire pur, alors : 
z =–z
car z = i y donc
 pour tout nombre complexe z :
car z  x  i y = x – (– i y) = x + i y
z =z
z –iy
z
z = x² + y²
 si z = x + i y alors :
Preuve : …………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
1-3 Calcul d’un inverse, d’un quotient :
 Inverse : Tout nombre complexe z = x + i y non nul admet un inverse noté :

1 x–iy
z
=
=
z x² + y² x² + y²
+ Preuve …
Si z’  0 alors
 Quotient :
z
1
 z
z'
z'
 Exemples : Mettre sous la forme x + i y (x, y réels) :
1
i
1
2+i
1 + 3i
i
1 + 3i
2+i
 Propriétés avec les conjugués:
Pour tous nombres complexes z et z' , et tout entier n :
 z  z'  z  z'

zn  z
n
  z  z
et, si z'  0 :

1 1
 
 z'  z'
 z  z'  z  z'

z z
 
 z'  z'
+ Preuves …
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LES NOMBRES COMPLEXES - Partie 1
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2/ Equations du second degré à coefficients réels :
2-1 Racines carrées d’un réel : z 2  a , a réel
 si a ≥ 0 , alors l’équation z 2  a équivaut à :
z² – a = 0
 (z– a)(z+ a)=0
 z– a=0
ou
z+ a=0
 z= a
ou
z=– a
S={– a; a}
 si a < 0 , alors l’équation z 2  a équivaut à :
z² – a = 0

z – ( i – a )² = 0
 (z–i –a)(z+i –a)=0
 z–i –a=0
ou
z+i –a =0
 z=i –a
ou
z=–i –a
S={–i –a;i –a}
 Exemples :
Résoudre dans CI les équations suivantes :
z² = – 1
et
:
z² = – 3
En déduire les racines carrées de – 1, puis celles de – 3 .
2-2 L’équation : az 2  bz  c  0 , (a, b, c réels et a  0)
 Théorème :
On considère l’équation az 2  bz  c  0 dont l'inconnue z est un nombre complexe et les
coefficients a, b, c sont des réels, avec a  0.
On note  le réel b² – 4ac appelé le discriminant.
 si   0 , alors l'équation admet deux solutions réelles :
–b– 
2a
–b+ 
2a
et
 si   0 , alors l'équation admet une unique solution réelle :
–b
2a
 si   0 , alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
–b–i –
2a
–b+i –
2a
et
+ Preuve …
 Exemples : Résoudre dans CI les équations suivantes :
 z2  z 1  0
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 z 2  6 z  13  0
 z z  2  4
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
1
 2  2z
z
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3/ Représentation géométrique :
3-1 Le plan complexe :




Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O ; I, J), on pose : u = OI et v = OJ ; le
 

repère (O ; I, J) se note alors (O ; u,
v).
 

Le plan muni du repère (O ; u,
v)
est appelé plan complexe car on associe un unique point du plan
à chaque nombre complexe et réciproquement :
 A tout point M( x ; y ) du plan complexe, on associe le nombre
complexe unique, noté zM, qui s’écrit : zM = x + i y (x et y réels).
On dit que zM est l'affixe de M.
 Réciproquement, à tout nombre complexe z = x + i y (x et y réels),
on associe dans le plan complexe un point M et un seul de
coordonnées ( x ; y ). On dit que M est l'image de z et on note M(z).

 Le vecteur OM ayant les mêmes coordonnées
que le point M, on dit

aussi que z = x + i
y est l’affixe du vecteur OM.
On dit alors que OM est le vecteur image de z.

 L’axe des abscisses (O ; u)
est appelé l’axe des réels,

L’axe des ordonnées (O ; v)
est appelé l’axe des imaginaires purs.
 Exemples :
 O, I et J ont pour abscisses respectives :
zO = ..........

zI = ..........

zJ = ...........
 IJ a pour coordonnées ( – 1 ; 1 ) donc le vecteur IJ a pour affixe z IJ = ...............................

 Placer dans le plan complexe, les points A, B, C et D respectivement associés aux nombres
complexes suivants : zA = 3 i
zB = –5
zC = –2 + i
zD = 3 + 2 i
 Remarques :
 Les points d'affixes z et 
z sont symétriques par rapport à l'axe des réels.
 Les points d'affixes z et – z sont symétriques par rapport à l'origine du
repère.
3-2 Affixes et géométrie :

zA et zB désignent les affixes des points A et B ; zAB est l’affixe du vecteur AB.


z w et z w  sont les affixes des vecteurs w et w ; k est un réel.

 Propriétés:
 z AB = zB – zA

 Le milieu




zw + w' = z w + z w'

I du segment [AB] a pour affixe : zI
z kw = k  z w

=

zA + zB
2
+ Preuve …
 Exemples : Avec les données de l'exemple  :





Déterminer les affixes des vecteurs AB, CD, AB + CD et 2AB.
Déterminer l’affixe du milieu I de [AB].
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