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Série: Equations
à coefficients complexes
4èmeSc
Niveau :
Proposée par :Boukadida
Tahar
 
Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé (O, u , v ).
Exercice 1 :
1) Résoudre dans ℂ les équations suivantes
E : z2 + 2 z + 3 = 0 ; E : 2 z2 + z + 1 = 0 ; E : z2 + 4 = 0 ; E : 25 z2 –30z + 9 = 0 .
2) a)Montrer que tout nombre complexe z vérifie la relation :
8 z 4 + 8 z3 – z – 1 = ( z + 1 ) ( 2 z – 1 ) ( 4 z 2 + 2 z + 1 ) .
b) En utilisant ce résultat, résoudre dans C, l’équation 8 z4 + 8 z3 – z – 1 =0.
Exercice 2 :
α étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; π] et z un nombre complexe, on considère le
polynôme P(z), défini par : P(z) = z3 − (1 − 2 sin α) z2 + (1 − 2 sin α) z − 1.
1. a) Calculer P(1).
b) En déduire l'existence de trois nombres réels a, b, c tels que :P(z) = (z − 1) (az2 + bz + c).
Déterminer a, b et c.
c) Résoudre, dans C, l'équation P(z) = 0.
2. On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 = − sin α + i cos α ; z3 = − sin α − i cos α.
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3 :
Exercice 3 :
1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P(z) = z3 – 3z2 + 4z + 8
a. Vérifier que P(-1) = 0
b. Factoriser P(z) puis résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation P(z) = 0.
2. On note A, B et C les points du plan, d’affixes respectives : zA = -1 ; zB = 2 + 2i ; zC = 2 – 2i
a. Placer les points A, B et C dans le repère , , .
b. Déterminer le module et un argument des nombres complexes zA, zB, zC et
c. Déterminer l’aire en cm² du triangle .
i
– i .
Exercice 4 :
I.
On considère dans l’équation (E) :z
iz
z i=
1) Montrer que l’équation (E) admet une racine imaginaire pure que l’on précisera.
2) Factoriser l’expression z
iz
z i puis résoudre dans ℂ l’équation (E) .
II.
On considère dans l’équation (E) : z −
i z
iz
− i=
1) Montrer que l’équation (E) admet une racine réelle que l’on précisera.
2) Résoudre dans ℂ l’équation (E) .
III. On considère dans l’équation (E) : z = −
1) Résoudre dans ℂ l’équation (E) .
2) Mettre le polynôme z
= sous la forme d’un produit de trois facteurs à coefficients réelles.
Exercice 5 : (Bac)
On considère les points A et B d’affixes respectives a=
i
et b=
i
1)a) Donner l’écriture exponentielle de chacun des nombres complexes a et b.
b) vérifier que b = a
2) soit C le point d’affixe c =a+b
a) Placer les points A, B et C .
b) Vérifier que c=
e .
3) On considère dans ℂ l’équation (E) : z
z−c=
a) Vérifier que b est une solution de l’équation (E).
b) On désigne par b la deuxième solution de l’équation (E). Montrer que d=
c) Placer alors , le point D d’affixe d.
e
.
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Exercice 6 : (Bac)
1) a) Vérifier que
i =
i
b) Résoudre dans ℂ l’équation z − − i z − − i =
On désigne par A, B, A’ et B’ les points d’affixes respectives -3i , 5-i , -3 et 1+5i
2) a) Placer les points A , B , A’ et B’.
b) Montrer que OAA’ et OBB’ sont des triangles rectangles et isocèles .
3) Soit M un point de la droite (AB) d’affixe z .
a) Montrer qu’il existe un réel k tel que z =
− i
b) Montrer que les droites (OM) et (A’B’) sont perpendiculaires si et seulement si M est le milieu de [AB].
Vérifier que dans ce cas A’B’=2OM.
Exercice 7 :(Bac)
1) On considère dans ℂ l’équation (E) : z
i
z−
−i
a)Montrer que (E) admet une solution réelle que l’on déterminera.
b) Donner alors l’autre solution de (E)
2)a) Calculer
=
− i
b) Résoudre dans ℂ l’équation (E) : z
i
z −
−i
3) On considère les points A et B d’affixes respectives z = i et z =
a) Ecrire z sous forme exponentielle.
b) Placer I et B et montrer que le triangle OIB est isocèle.
=
− i et I le milieu de OA
Exercice 8 :
Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z 2  2 2 z  6  0 .
On appelle z B la solution de cette équation dont la partie imaginaire est positive.
On désigne par A le point d’affixe z A  2  i 2 .
Placer dans le plan complexe les points A et B d’affixes respectives z A et z B .
3) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon
6.
Exercice 9 :
On considère deux points M et M' d'affixes respectives z et z' tel que: z'= iz-i .
Soit A le point d’affixe
a)Montrer que │z'│=│z- │
b Déduire l’ensemble des points M z pour que OM’= Construire cet ensemble
Résoudre, dans C, l’équation E : z3+8=0
3) Montrer que z est solution de E si et seulement si z' est solution de l’équation E’ : z3+3iz2-3z-9i=0 .
4) Déduire alors les solutions de l’équation E’
Exercice 10 :
On consid re le pol n me P dé ini par P z = z − z
z − 8z
1) Montrer que l’équation P z = admet deux solutions imaginaires
2) Résoudre dans ℂ l'équation P(z) = 0.
3) Placer les points A, B, C et D d af ixes respectives z = i
, z = −i , z =
4) Montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle de centre I d’affixe
i
et z = z
Exercice 11 :
1) Développer (1  2 ) 2
2) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l' équation : z 2  (1  2 ) z  2  0
3) Résoudre dans l'ensemble des complexes les équations ; E1 : z + =
et E2 : z+ =
4) Soit P( z)  z 4  (1  2 ) z 3  (2  2 ) z 2  (1  2 ) z  1
2
P( z ) 
1
1

a) Vérifier que pour tout z non nul, on a : 2   z    (1  2 ) z    2


z
z
z
b) En déduire les solutions de l'équation P(z)=0.
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