Transcript DM no 5 : Complexes

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 03/11/2014
DM no 5 : Complexes
Exercice 1 – Trouver, dans chacune des situations ci-dessous, l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant les propriétés
suivantes :
1. Les points d’affixes 1 + i, z + i et 1 + i z sont alignés.
2. Les points d’affixes j, z et jz sont alignés
3. Les points d’affixes z, z 2 et z 3 sont alignés
4. Les points d’affixes z, z 2 et z 3 forment un triangle rectangle
5. 0 est l’orthocentre (l’intersection des hauteurs) du triangle formé par les points d’affixe z, z 2 et z 3
6. Les points d’affixes i, z et i z forment un triangle rectangle isocèle en i
7. Les points d’affixes i, z et i z forment un triangle équilatéral.
Exercice 2 –
Soit n ∈ N∗ , et (x1 , . . . , xn ) un n-uplet de réels.
• Soit θ ∈]0, 2π[. On pose :
n
1X
αn (θ) =
xk ei kθ ,
n
et
k=1
• On note, pour tout ℓ ∈ N, θℓ =
Sn (θ) = |αn (θ)|2
2πℓ
n .
• On note, pour tout h ∈ [[0, n − 1]], ρh =
n−h
1 X
xk xk+h .
n−h
k=1
1. Montrer que pour tout m ∈ [[1, n]],
n
X
αn (θℓ )e− i mθℓ = xm .
ℓ=1
2. En déduire une expression de
n
X
Sn (θℓ ) en fonction de ρ0 .
ℓ=1
3. Montrer que pour tout θ ∈ R :
Sn (θ) =
n−1
2 X
ρ0
+ 2
(n − h)ρh cos(hθ).
n
n
h=1
4. Montrer que
1
2π
Z
0
2π
Sn (θ)dθ =
1
n
n
X
Sn (θℓ ).
ℓ=1
5. Par un choix convenable des xi , déduire de la question 3 l’expression de
n−1
X
k=1
1−
k
n
cos(kθ).
6. On suppose que θ ∈]0, π[, et que les xi sont tels qu’il existe θ0 ∈]0, π[, distinct de θ, tel que pour tout h ∈ [[0, n−1]],
ρh = cos(hθ0 ). Déterminer Sn (θ).
Problème – Résolution des équations de degré 3 et 4
2iπ
On note j = e 3 .
Partie I – Équation de degré 3 (formules de Cardan)
Soit a, b et c des nombres complexes. On cherche à résoudre l’équation x3 + ax2 + bx + c = 0.
1. Montrer qu’à l’aide d’un changement de variable du type y = x − α, on peut se ramener à la résolution d’une
équation y 3 + py + q = 0. Expliciter α, p et q en fonction de a, b et c.
1
2. On cherche les solutions de l’équation y 3 + py + q = 0 sous la forme y1 = u + v, y2 = uj + vj 2 et y3 = uj 2 + vj.
Montrer que pour que y1 , y2 et y3 soient solution de l’équation y 3 + py + q = 0, il faut et il suffit que u et v
vérifient :
p = −3uv
et
q = −(u3 + v 3 ).
3. Posons U = u3 et V = v 3 . Montrer que U et V les sont solutions de l’équation z 2 + qz −
p3
27
= 0.
Vu la symétrie en U et V , on peut prendre pour U n’importe laquelle des deux racines de ce polynôme. On fixe
donc U et V .
4. Montrer que parmi les (au plus) 9 couples (u, v) obtenus par l’équation précédente, au plus 3 vérifient l’égalité
p = −3uv, et que les (au plus) 3 couples obtenus donnent les mêmes racines y1 , y2 et y3 , à permutation près.
5. Appliquer la méthode ci-dessus pour résoudre dans C l’équation x3 + 3x2 + 3(1 − 2j)x + 2(3j 2 − 1) = 0. On
exprimera les solutions à l’aide de j.
6. À l’aide du polynôme (X − 1)(X 2 + X + 2), montrer que
q
q
√
√
√
√
√
3
3
3 = 2 7 + 3 3 − 2 7 − 3 3.
7. On suppose maintenant que p et q sont des réels. On note ∆ = q 2 +
4p3
27 .
(a) Montrer que si ∆ > 0, l’équation x3 + px + q = 0 admet une unique solution réelle, et deux solutions
√
complexes conjuguées, qu’on exprimera à l’aide de j et de ∆.
(b) Montrer que si ∆ < 0, l’équation x3 + px + q = 0 admet 3 racines réelles distinctes.
Remarquez que c’est dans le cas où le polynôme admet 3 racines distinctes qu’on ne peut pas résoudre l’équation avec
des radicaux réels : la résolution passe par l’utilisation d’une racine de ∆ qui est négatif ; même si les racines sont
réelles, il est nécessaire d’utiliser les nombres complexes pour les exprimer. La théorie de Galois permet de montrer
qu’il est impossible d’exprimer en général les racines à l’aide de radicaux réels dans cette situation.
Partie II – Trisection de l’angle
La possibilité de la trisection de l’angle (couper l’angle en 3) par la règle et le compas a longtemps été une question
ouverte. Le problème est lié à la résolution des équations du troisième degré. On dit qu’un réel x est constructible à
la règle et au compas à partir d’une certaine donnée initiale, si on peut construire à la règle et au compas un segment
dont la longueur est égale à x.
1. Montrer que la possibilité de trisecter de l’angle à la règle et au compas équivaut à la constructibilité de cos( θ3 )
à partir de 1 et de cos(θ).
2. Soit a = cos(θ). Montrer que cos 3θ est solution de l’équation u3 − 43 u − a4 = 0.
3. En admettant la remarque de la fin de la partie I, en déduire que cos θ3 ne peut pas s’exprimer à l’aide de
radicaux réels.
Ceci implique qu’en général, la trisection de l’angle à la règle et au compas est impossible. En effet, si c’était le cas, on
pourrait construire cos θ3 à la règle et au compas ; les équations de cercle étant de degré 2, cela amèrait la possibilité
d’exprimer cos θ3 à l’aide de radicaux (carrés) réels.
On voit ci-dessous comment on peut se servir des fonctions circulaires et leur réciproque pour résoudre les équations
de degré 3 du type x3 + px + q = 0 dans le cas où p et q sont réels, et ∆ < 0 (ce qu’on suppose désormais)
4. Montrer qu’avec les hypothèses données, on a p < 0.
5. Montrer qu’à l’aide d’un changement de variable y = λx (avec λ > 0), on peut se ramener une équation du type
3
a
y 3 − y − = 0.
4
4
(1)
Expliciter λ et a.
6. Justifier que |a| < 1.
7. En déduire les racines de (1) à l’aide de la fonction cos, et de la fonction Arccos, réciproque de la restriction de
cos à [0, π].
2
Partie III – Résolution des équations de degré 4 par la méthode de Ferrari
On voit dans cette partie la méthode employée par Ferrari au XVIe siècle pour résoudre les équations du quatrième
degré
z 4 + αz 3 + βz 2 + γz + δ = 0,
(2)
pour (α, β, ¸,δ) ∈ R4 .
1. Montrer comment, par un changement de variable simple, se ramener à la résolution d’une équation
x4 + ax2 + bx + c = 0.
On exprimera a, b, et c en fonction de α, β, γ et δ.
2. Que dire du cas où b = 0 ? On suppose désormais que b 6= 0. Soit y ∈ R. Montrer qu’il existe des réels m et n
tels que
2
1
∀x ∈ R, x4 + ax2 + bx + c = x2 + y − (mx + n)2
2
si et seulement si y est solution réelle supérieure à a de l’équation
y 3 − ay 2 − 4cy + 4ac − b2 = 0.
Justifier qu’une telle solution existe toujours. Soit y0 > a une telle solution.
3. Exprimer m et n en fonction de a, b, c et y0 .
4. Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que (2) admette 4 solutions réelles, et donner ces solutions
en fonction de y0 , m et n.
3