Transcript Terminale S MODULES ET ARGUMENTS OM) +b2 EXERCICE 1

Terminale S
MODULES ET ARGUMENTS
• Soit w
 un vecteur d'affixe z .
On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure de
l'angle  u
 ;w
 .
u ;⃗
OM )
•Si M a pour affixe z , arg ( z)=(⃗
•Si M est le point du plan complexe d'affixe z , alors |z|
représente la distance OM .
•Si z s'écrit z = a + ib , alors
∣z∣= √a 2+b2
Déterminer le module et l'argument d'un nombre complexe
Quelques cas particuliers :
z est un réel positif ,
arg(z) = 0 [2 π]
Si
Si
z est un réel négatif ,
arg(z) = π [2 π]
Si z s'écrit z = ib ,
Si z s'écrit z = ib ,
avec b < 0 ,
avec b > 0 ,
arg(z) = -π/2 [2 π]
arg(z) = π/2 [2 π]
On peut déterminer le module et un argument à l'aide de méthodes géométriques ou par le calcul :
• on détermine r , la valeur du module de z (à l'aide de la formule |z| =  a 2b2 )
• en notant , θ = arg(z) , on doit avoir r cos(θ) = a et r sin(θ) = b .
Exemple : Pour trouver le module et un argument de z=−33  3 i .
Le module de z est −3 23  32=  9 27=6 .
En notant , θ = arg(z) , on doit donc avoir 6 cosθ = -3 et 6 sinθ = 3 √3 , donc cosθ = -1/2 et sinθ = √3/2 .
La valeur de θ dans ]-π ; π] qui correspond à ces valeurs est θ = 2π/3 .
Forme trigonométrique :
si z est un nombre complexe de module r et dont un argument est θ, alors il s'écrit z = r (cosθ + i sinθ )

EXERCICE 1 Forme trigonométrique et argument
z 3=3−3i ;
1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z 1=5 ; z 2 =−4 i
2. Donner la forme trigonométrique de z 4=4+4 i √3 et z 5=√6+i √2 .
u ; v  .
3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal O ; 
On note A , B et C les points d'affixes respectives z A=cos π +i sin π ; z B=−3 et z C =6 – 6 i 3 .
4
4
Déterminer les valeurs de OA , OB et OC , puis une mesure de  
u ;
OB et  
u ;
OC  .
u ;
OA ;  
EXERCICE 2 Calculs de distances
• Rappel : La distance AB est égale à
∣z B – z A∣
;
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;⃗u ; ⃗v ) .
1. On considère les points A , B et C d'affixes respectives z A=−1+i , z B=3 – 2 i et z C =2+5 i .
Déterminer la nature du triangle ABC .
5
5
3
2. On désigne par A , B et C les points d'affixes respectives z A =4+ i ; z B =4− i et z C =2+ i .
2
2
2
Montrer que le triangle ABC est rectangle .
EXERCICE 3 Affixes de vecteurs , affixe d'un milieu
• Le vecteur 
AB a pour affixe z B – z A ;
• Le milieu I du segment [AB] a pour affixe
z A z B
;
2
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;⃗u ; ⃗v ) .
1. On note D , E , F et G les points d'affixes z D =i ; z E =4 – i , z F =−6−i et z G=−2 – 3 i
DE et ⃗
FG . Que peut-on en conclure ?
a) Déterminer les affixe respectives des vecteurs ⃗
.
b) Le vérifier en calculant l'affixe de K le milieu de [DG] et celle de L , milieu de [EF] .
2. On note A , B et C les points d'affixes respectives z A=1+i , z B=5 – 2 i et z C =4 i
⃗ le vecteur d'affixe 2 – 3 i .
et w
Déterminer les affixes des points suivants :
b) E tel que ABCE soit un parallélogramme
AD= w
⃗
a) D est le point défini par ⃗
c) F est défini par
⃗
BF =2 ⃗
AB – 3 ⃗
AC
d) G est le centre de gravité du triangle ABC .
EXERCICE 4 langage géométrique, langage des complexes
1. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;⃗u ; ⃗v ) .
A , B , C et D sont quatre points d'affixes zA , zB , zC et zD respectivement .
En langage géométrique
Dans le langage des complexes
C appartient à la médiatrice de [AB]
| zA - zB| = 5
B appartient au cercle de centre A et de rayon 2
D appartient au cercle de centre C passant par B
A est le symétrique de C par rapport à l'axe réel
z A +z C z B +z D
=
2
2
| zA - zB| = | zB - zC| = | zA - zC|
BC
A est l'image de D par la translation de vecteur ⃗
z B=z D +z C – z A
zD – z A=
2 z B +z C
– zA
3
2
(
)
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ; u ; v  .
z B=1+i . M est un point d'affixe z .
On note A et B les points d'affixes respectives z A=3 i et
Donner une interprétation géométrique de chacun des nombres suivants :
z +1+i
z –1 – i
a) z – 3 i
b) ∣z – 1 – i∣
c) arg ( z – 3 i )
d)
e)
2
z –3i
∣
∣
EXERCICE 5
u ; ⃗v ) . On note A le point d'affixe -i .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ⃗
(3+i )( z−3)
A tout point M d'affixe z distinct de A est associé le point M ' d'affixe z' définie par : z ' =
.
z +i
1. On note B le point d'affixe 4 + 2i . Déterminer le point B ' associé à B .
2( z−(4 +2i))
2.a) Montrer que , pour tout z ≠ -i , z ' −( 1+i)=
.
z +i
BM
b) Justifier que B ' M ' =
. En déduire que si M appartient à la médiatrice du segment [AB] , alors M '
AM
appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon .
EXERCICE 6
u ; ⃗v )
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O ; ⃗
On note A le point d'affixe i .
A tout point M du plan , d'affixe z , distinct de A , on associe le point M' , d'affixe
z'=
z2
i−z
.
1. Déterminer les points M confondus avec leur image M ' .
2. Trouver une relation simple liant les longueurs OM , AM et OM ' .
En déduire l'ensemble F des points M du plan tels que M et M ' soient situés sur un même cercle de centre O .