Transcript A Forme trigonométrique B) Forme exponentielle

A Forme trigonométrique
Exercice 1
Ecris sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
• z2 = - 1 – i
• z3 = 5
• z1 = 1 + i
• z6 = 2 + 2i 3
• z7 = - 2 + i 2
cas particuliers qui méritent « débat »
2+i
• z11 = 1 + 3i
• z12 =
1 – 2i
1
3
• z8 = - + i
4
4
• z13 =
1 + 3i
1–i
• z4 = - 3
• z9 =
4
1-i
• z5 = 4 – 4i
• z10 =
2–i 6
et enfin • z14 = 0
Exercice 2
z est un nombre complexe de module r et dont un argument est α .
Trouvez le module et un argument des nombres complexes suivants :
1
1
•-z
• z
•
• z3
• zp
• p ( p ∈ IN*)
z
z
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, détermine le module et un argument de z :
π
π
π
π
π
π
•z=-4
• z = - 3cos + i sin 
• z = 4 cos - i sin 
• z = sin + i cos
6
5
3
3
 6
 5
B) Forme exponentielle
Exercice 4
Donne une forme exponentielle de chacun des nombres complexes suivants :
• z2 = (1 + i) 3e iπ/3
• z3 = ( 1+ i 3)4
z1 = 2 3 + 6i
π
π
• z4 = - 5
• z5 = 3 cos - i sin 
5
 5
cas particuliers qui méritent « débat »
2+i
3+i
1 + 3i
• z6 = 1 + 4i
• z7 =
• z8 =
• z8 =
z9 = e iπ/3 + e iπ/4
2 + 2i
1–i
1 – 2i
Exercice 5
On pose Z1 = e iπ/3
Z2 = e – iπ/4
Z3 = 2 e i 2π/3
Trouve une forme exponentielle puis la forme algébrique des nombres complexes suivants :
3
4
Z
• Z1Z2
• 1
• Z1
• Z3
• Z1Z2Z3
• 1/Z3
Z2
Exercice 6 ( un grand classique !)
1
3
On pose z1 = - 1 – i et z2 = + i
2
2
z
1) Ecrivez 1 sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
z2
z
11π
11π
2) Déduisez le module et un argument de 1 , puis les valeurs exactes de cos
et sin
z2
12
12
Exercice 7 BAC
On donne les nombres complexes suivants :
6–i 2
z1 =
et z2 = 1 - i
2
1) Donnez une forme trigonométrique de z1, z2 et
2) Donnez la forme algébrique de
3) Déduisez en que cos
z1
z2
z1
z2
6+ 2
6- 2
π
π
=
sin =
12
2
12
2
• Z1Z2 Z3
Exercice 8** : Nombres complexes et formules trigonométriques :
n
• On rappelle que pour tout réel θ et pour tout entier naturel n , (cos θ + i sin θ ) = cos nθ + i sin nθ
En développant soigneusement (cos θ + i sin θ )2 , retrouve les formules de duplication vues dans le cours
3
Faire de même avec (cos θ + i sin θ ) puis en déduire cos (3θ) et sin (3θ) en fonction de cos θ et de sin θ
• On rappelle que pour tout réel θ et pour tout entier naturel n , cos θ =
En déduire les linéarisations de (cos θ)², de (sin θ )² , de (cos
θ)3,
e iθ + e - iθ
2
et sin θ =
e iθ - e - iθ
2i
3
de (sin θ )
Approfondissement : autour des racines n-ièmes de l'unité…
Exercice 9** :
Th fondamental de l’algèbre : théorème de d’Alembert-Gauss :
Tout polynôme complexe de degré n admet exactement n racines dans C
I
1) Soit n ∈ IN* , résous z n = 1
2) Application : résous z4 = 1 puis z 5 = 1,
3) Nous avons déjà démontré dans l'ex 7 "feuille 2" qu'un polynôme complexe à coefficients réels possédant
des racines complexes admet aussi comme racine leur conjugué.
Soit α un nombre complexe de module 1 tel que α = cos β + i sin β , β ∈ IR
Démontre que (z - α)(z - α ) = z² - 2(cos β) z + 1
4) En déduire une factorisation dans C
I puis dans IR de z4 – 1, z5 – 1 puis de z6 – 1
5) Plus difficile….. factorise z 4 + 1 dans C
I puis dans IR.
Exercice 10 ** : un autre classique : les racines cinquièmes de l'unité
(application : comment se partager une bonne pizza quand on est 5 amis….)
Exercice 11 : encore un petit plongeon dans C
I
Pour tout entier naturel n ≥ 2 , on définit la suite (Sn) par :
2π
3π
(n - 1)π
π
Sn = sin   + sin   + sin   + …… + sin 
=
n
n
n
 
 
 
 n 
k=n-1
kπ
∑ sin  n 
 
k=0
π
π
On pose z = cos   + i sin   = e iπ/n
n 
 n
a) Donner une expression simple de la somme 1 + z + z² + ..... + z n
+1
=
k=n-1
∑ zk
k=0
b) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de cette somme.
1
c) En déduire que Sn =
π
tan 
2n
S
d) Quelle est la limite de la suite  n ?
n
Exercice 12 : second petit plongeon dans C
I
Soit u = e i2π/7
1) calcule u7
2) Soit S = u + u² + u4 et T = u3 + u5 + u6
Démontre que S et T sont conjugués que la partie imaginaire de S est positive
3) Calcule S + T et ST
4) En déduire que :
2π
4π
8π
1
cos
+ cos
+ cos
=7
7
7
2
2π
4π
8π
7
sin
+ sin
+ sin
=
2
7
7
7
Exercice 13 **: VIEUX BAC …
Soit le nombre complexe u = 1 + i et u son conjugué
1) a) Ecrivez u et u sous forme trigonométrique
π
b) On Pose Sn = un + u n avec n ∈ IN* . Déduisez de 1) a) que Sn = λn cos n  où λn est un réel que l'on
 4
précisera.
c) quels sont les entiers pour lesquels Sn = 0 ?
d) Prouvez que si n est pair , Sn est un entier relatif
2) On suppose dans cette question que n est pair que n = 2m
a) Ecrivez par la formule du binôme les développements de ( 1 + i )2m et ( 1 - i )2m à l'aide des puissances de i
(que l'on ne
cherchera pas à simplifier dans cette question)
b) Pour p ∈ IN , simplifiez : i 2p + 1 + (- i)2p + 1
et i 2p + (- i)2p
c) application : on prend n = 24 (donc m = 12)
12
24
En utilisant les résultats précédents, démontrez que ∑ (-1)p 2p = 212
p=0
COMPLEXES ET GEOMETRIE PARTIE II
CONSTRUCTIONS, ETUDE DE TRIANGLES ET DE QUADRILATERES
Exercice 14
Dans le plan complexe, à l’aide du compas et d’une règle non graduée, place les points A, B , C , D , E , F , G et
H dont les affixes figurent ci-dessous.
zB = 2 e - iπ/3
zC = 2 e iπ
zD = 3e i3π/4
zA = 3 e iπ/4
- iπ/6
- i5π/6
zE = 2 2 e
zF = 3 e
zG = - 2 - i 2
zH = - 1 + i 3
Exercice 15
Dans le plan complexe, place les points A, B , C dont les affixes figurent ci-dessous puis calcule les distances
OA, OB, OC, AB, AC et BC
zB = 2 e - iπ/3
zC = 1 + i
zA = 2 2e iπ/4
Exercice 16
Dans le plan complexe,
place→
les →
points→
A, B→
, C dont
les affixes
figurent ci-dessous
puis détermine les mesures des
→ →
→ →
→ →
→
→
angles orientés ( u , OA), ( u , OB),( u , OC), ( u , AB), ( u , AC) et ( AB , AC).
zB = 2
zC = 2 e iπ/3
zA = 1 - i
Exercice 17
1) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B , C dont les affixes vérifient les égalités ci-dessous.
En déduire la nature du triangle ABC dans chaque cas
z -z
z -z
z -z
z -z
b) B A = 1 + i 3
c) C B = - i
d) C B = e - iπ/3
a) B A = 3i
zC - zA
zC - zA
zA - zB
zA - zB
2) Même démarche avec OAB sachant que :
z
z
a) B = 2 i
b) B = 2 - i 2 3
zA
zA
c)
zB
=-i
zA
d)
zB
=e
zA
iπ/3
Exercice 18 (application aux quadrilatères)
1) Dans le plan complexe, on considère les points A, B , C et D d’affixes respectives :
a = - 4 + 3i, b = 3 + 4i , c = 8 - i et d = 1 – 2i
a) Démontre que ABCD est un parallélogramme
a–c
b) Calcule
. En déduire la nature du quadrilatère ABCD
b-d
2) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d’affixes respectives :
a = - 3 + 2i, b = - 2 - 3i et c = - 5 - i
a) Démontre que OACB est un parallélogramme
b
b) Calcule . En déduire la nature du quadrilatère OACB
a
Exercice 19 (application aux cercles)
1) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d’affixes respectives :
a = - 3 + 2i, b = - 1 + 3i et c = - 1 - 2i
Justifie que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera les caractéristiques.
Dans le plan complexe, on considère les points A, B , C et D d’affixes respectives :
a = - 3 + 5i, b = - 1 + 3i , c = - 1 + i et d = - 3 – i
Justifie que les points A, B, C et D appartiennent à un cercle dont on précisera les caractéristiques.
TRANSFORMATIONS
Exercice 20 (Extrait Antilles guyanne juin 2012)
Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d’affixes respectives : a = 1 + 3i, b = 2 + i et c = 1 - i
L’application f qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ est telle que :
z – 1 – 3i
Pour tout nombre complexe z ≠ 2 + i , z’ =
z–2-i
1) Détermine l’affixe de C’ = f (C) (tu en donneras l’écriture algébrique)
2) Quels sont les affixes des points dont l’image par f est A ?
3) Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’image M’figure sur le cercle de centre O et de rayon 1 ?
4) Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’image M’figure sur l’axe des réels ?
5) Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’image M’figure sur l’axe des imaginaires ?
Exercice 21 (dans l’esprit de Polynésie septembre 2011)
Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d’affixes respectives : a = - 1 , b = i et c = 1 + i
L’application f qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ est telle que :
iz + i
Pour tout nombre complexe z ≠ i ,
z’ =
z–i
1) Détermine l’affixe de C’ = f (C) (tu en donneras l’écriture algébrique)
2) Quels sont les affixes des points dont l’image par f est A ?
z–a
3) justifie que z’ = i
z-b
4) Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’image M’figure sur le cercle de centre O et de rayon 1 ?
5) Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’image M’figure sur l’axe des réels ?
6) Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’image M’figure sur l’axe des imaginaires ?
Exercice 22 (extrait de Pondichéry 2012)
Dans le plan complexe, on considère les points A et B d’affixes respectives :
a = 1 + 2i b = 3
L’application f qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ est telle que :
Pour tout nombre complexe z ≠ i ,
z’ = z²
1) Détermine l’affixe de A’ = f (A) (tu en donneras l’écriture algébrique)
2) Quels sont les affixes des points dont l’image par f est B ?
3) L’application possède-t-elle des points invariants ?
4) Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’image M’figure sur l’axe des imaginaires ?
Exercice 23 (extrait de Amérique du Nord 2012)
Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
a = 1 , b = - 1, c = - 2 + i d = 2 + 3i
L’application f qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ est telle que :
1–z
Pour tout nombre complexe z ≠ 1 ,
z’ =
z -1
1) Détermine l’affixe de C’ = f (C) (tu en donneras l’écriture algébrique)
2) Montre que C’appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.
3) Montre que les points A, C et C’ sont alignés
4) Quel est l’ensemble ∆ des points M du plan dont l’image par f est A ?
5) Montre que pour tout point M du plan distinct de A, M’appartient au cercle C
z’ – 1
est réel.
6) Montre que pour tout nombre complexe z ≠ 1,
z-1
7) Que peut on en déduire pour les points A, M et M’ ?
Exercice 24 (Asie Juin 2008)
→ →
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, u , v ) . On prendra pour le dessin :
M est un point d'affixe z non nul. On désigne par M' le point d'affixe z' telle que z ' = −
→
u
= 4cm
1
z
Partie A - Quelques propriétés
1. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z', puis une relation entre
les arguments de z et z'.
2. Démontrer que les points O, M et M' sont alignés.
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l'égalité : z '+1 =
1
( z − 1) .
z
Partie B - Construction de l'image d'un point
On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et − 1 .
On note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie : z − 1 = 1 .
1. Quelle est la nature de l'ensemble C ?
2. Soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O.
2. a. Démontrer que z '+1 = z ' . Interpréter géométriquement cette égalité.
2. b. Est-il vrai que si z' vérifie l'égalité : z '+1 = z ' , alors z vérifie l'égalité z − 1 = 1 ?
3. Tracer l'ensemble C sur une figure. Si M est un point de C, décrire et réaliser la construction du point M'.