Transcript MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE ETUDE ET MODELISATION ETUDE DE MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES OBJECTIFS :  Étudier différents mouvements de chute à partir de vidéos  Faire l’étude dynamique.

MOUVEMENTS DE
CHUTE VERTICALE
ETUDE ET
MODELISATION
ETUDE DE MOUVEMENTS DE
CHUTES VERTICALES
OBJECTIFS :
 Étudier différents mouvements de
chute à partir de vidéos
 Faire l’étude dynamique du mouvement
 Modéliser le mouvement par une
méthode numérique (méthode
d’Euler).
I-CHUTE D’UN CORPS
1-PROBLEME POSE
On désire étudier dans un référentiel
terrestre, supposé galiléen, le mouvement
d’un corps (A) de masse m, constitué d’un
matériau de masse volumique rs. A est
lâché sans vitesse initiale dans un fluide
de masse volumique rl.
 On pourra faire varier :

 La masse du corps A,
 La masse volumique de A,
 Le fluide dans lequel on lâche la bille.
1-PROBLEME POSE
Comment décrire le mouvement de la bille ?
2-DEMARCHE UTILISEE
On étudie le mouvement de chute d’une
bille dans un fluide.
 L’étude de l’enregistrement vidéo donne la
position et la vitesse de la bille.
 On applique le théorème du centre
d’inertie, au système « bille ».
 On utilise une méthode numérique pour
simuler le mouvement de la bille, et on
compare les résultats aux résultats
expérimentaux.

ETUDE EXPERIMENTALE
On étudie le mouvement avec
REGRESSI
Yexp(t)
et
vexp(t)
II – ETUDE DYNAMIQUE
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
CHUTE LIBRE
LE SYSTEME N’EST
SOUMIS QU’A L’ACTION
DE SON POIDS
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
RAPPEL : LE POIDS

Dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, tout corps
masse m est soumis
 de

à son poids:
P  mg

P
La direction du poids est donnée expérimentalement par un fil à
plomb .
A l'échelle du laboratoire , tous les fils à plomb sont parallèles,
donc la direction du poids est la même .
Le champ de pesanteur est dit uniforme :

g  cte

g

g

g
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
THEOREME DU CENTRE
D’INERTIE
Référentiel : terrestre supposé galiléen
 Système étudié : la bille de masse m
 Forces appliquées au système:

Le poids de la bille (P) :
P


P  mg
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
THEOREME DU CENTRE D’INERTIE

O j
ma = P
ma=-mg
Y(t)
P
a=-g
dv
Or a =
dt
Donc dv
dt
= -g
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
CONDITIONS INITIALES DU MOUVEMENT
À t = 0:
V0

0

OM 0  y0 j
EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENT
dv
a (t) =
=-g
dt
v(t) = - gt + V0 or V0 = 0 donc v(t) = - gt
y(t) = - ½ gt² + y0
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
CHUTE D’UNE BALLE DE
TENNIS DANS L’AIR
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
CHUTE D’UNE BALLE DE
TENNIS DANS L’AIR
Le modèle n°1
convient pour ce
mouvement
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
CHUTE D’UNE BILLE DANS DU
LIQUIDE VAISSELLE
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
CHUTE D’UNE BILLE DANS DU
LIQUIDE VAISSELLE
Le modèle n°1 NE
CONVIENT PAS
pour ce mouvement
1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE
CHUTE D’UNE BILLE DANS DU
LIQUIDE VAISSELLE
L’hypothèse selon laquelle la bille n’est
soumise qu’à son poids ne convient pas.
D’autres forces
s’appliquent au système
II – ETUDE DYNAMIQUE
2- Modèle n°2
2- Modèle n°2
THEOREME DU CENTRE
D’INERTIE
Référentiel : terrestre supposé galiléen
 Système étudié : la bille de masse m
 Forces appliquées au système:

p
f
P
Le poids de la bille

P

La poussée d’Archimède ( p
)
Les forces de frottement
 visqueux
du liquide sur la bille ( )
f
2- Modèle n°2
FORCES APPLIQUEES
O

j
p
f
P
y
REMARQUE :
On travaille maintenant avec
un axe orienté vers le bas ce
qui permet d’avoir des valeurs
positives pour v et y.
2- Modèle n°2
FORCES APPLIQUEES
O

j
p
f

POIDS :

POUSSEE D’ARCHIMEDE :
FORCES DE FROTTEMENT FLUIDE
(direction du mouvement, sens opposé
au déplacement) :

v
f  mkv j  - m k v
v

y


p   rfVg

P



P  mg rs V g
n
(avec n = 1 ou n=2)

n
2- Modèle n°2
O
THEOREME DU CENTRE
D’INERTIE

j
f
P
y
m a = P + p + f
m a = m g - rf V g - m k vn
a = g - rf V/m g - k vn
Or m = rs V donc
a = g - rf / rs g - k v n
a = (1- rf / rs )g - k vn
a = g’ - k vn avec g’ = (1- rf / rs )g
2- Modèle n°2
THEOREME DU CENTRE
D’INERTIE
n
a = g’ - k v
dv
n
 g'kv
dt
L’accélération de la bille dépend de sa vitesse
 l’accélération dépend du temps
On ne résout pas cette équation facilement
III- LA METHODE D’EULER
PRINCIPE ET MISE EN OEUVRE
1- LA METHODE D’EULER : PRINCIPE
Méthode numérique utilisée pour
résoudre pas à pas une équation
différentielle à partir des conditions
initiales (en mécanique : position et
vitesse, en électricité : tension et
intensité du courant)
 Basée sur les propriétés de la dérivée

2- EULER : MISE EN OEUVRE

On cherche, par exemple à résoudre
par cette méthode l’équation
différentielle suivante :
du
t
uE
dt

Conditions initiales :
– u0 = 0
– (du/dt)0 = E/t
Remarque: cette équation sera étudiée plus tard en électricité.
2- EULER : MISE EN OEUVRE
On connaît à t0: u0 et (du/dt)0
 On cherche à t1 =t0+dt : u1 et (du/dt)1
 Et ainsi de suite …

Le problème posé est donc le suivant :
On connaît à ti:
ui et (du/dt)i
On cherche à ti+1 =ti+dt :
ui+1 et (du/dt)i+1
2- EULER : MISE EN OEUVRE

En maths on a vu que :
f (x )  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
x x
x  x0
0

On peut donc considérer que :
f (x )  f (x0 )  f '(x0 )  (x  x0 )
2- EULER : MISE EN OEUVRE
f (x )  f (x0 )  f '(x0 )  (x  x0 )


Transposé à la physique f(x)  u(t) :
du
u (t )  u (t0 )  (t0 )  (t t0 )
dt
Soit pout tout instant t i+1 :
du
u (ti 1 )  u (ti )  (ti )  (ti 1 ti )
dt

En posant dt = t i+1 –ti, on a :
du
u (ti  dt )  u (ti )  (ti )  dt
dt
dt est appelé le pas de temps
2- EULER : MISE EN OEUVRE
du
u (ti  dt )  u (ti )  (ti )  dt
dt
du
E  u (t )
(t ) 
dt
t

(1)
(2)
ITERATIONS :
t
u(t)
t0 = 0
u0 = 0
t1 = t0+dt
t2 = t1+dt
du/dt
(1)
(
du
)0
dt
= E/t
2- EULER : MISE EN OEUVRE
du
u (ti  dt )  u (ti )  (ti )  dt
dt
du
E  u (t )
(t ) 
dt
t

(1)
(2)
ITERATIONS :
t
u(t)
t0 = 0
u0 = 0
t1 = t0+dt
t2 = t1+dt
du/dt
(1)
u1 = u0 + (du/dt)0 x dt (2)
(1)
(du/dt)0 = E/t
E  u1
du
(
)1 
dt
t
2- EULER : MISE EN OEUVRE
du
u (ti  dt )  u (ti )  (ti )  dt
dt
du
E  u (t )
(t ) 
dt
t

(1)
(2)
ITERATIONS :
t
uC(t)
t0 = 0
u0 = 0
t1 = t0+dt
t2 = t1+dt
u1 = u0 +(du/dt)0 x dt
u2 = u1 +(du/dt)1 x dt
duC/dt
(1)
(2)
(1)
(2)
(du/dt)0 = E/t
E  u1
du
(
)1 
dt
t
E  u2
du
(
)2 
dt
t
2- EULER : MISE EN OEUVRE

FINALEMENT
On obtient les formules de récurrence,
permetta,t à chaque pas de temps de calculer
(ui+1 ; (du/dt)i+1 )à partir de (ui ; (du/dt)i ) :
ui 1
du
 ui  ( )i  dt
dt
et
E  ui 1
du
( )i 1 
dt
t
2- EULER : MISE EN OEUVRE

du
u (ti  dt )  u (ti )  (ti )  dt
dt
Interprétation
graphique
u
u (ti ) 
du
 dt
dt
M i+1
tangente
M
i+1
estimé
ERREUR
COMMISE
u(ti+dt)réel
u(ti)
M
M
Mi
Coefficient
directeur de
la tangente à
la courbe à la
date ti
du
 dt
dt
i+1
i
u(ti)
ti
ti +dt
t
2- EULER : MISE EN OEUVRE

POUR AVOIR UNE MEILEURE PRECISION
du
u (ti ) 
 dt
dt
tangente
Mi+1 estimé
ERREUR
COMMISE
u(ti+dt)
u(ti)
Mi+1 réel
Mi
dt’
ti
On diminue dt
ti + dt
Erreur commise diminue
2- EULER : MISE EN OEUVRE
Influence du pas de temps dt sur la qualité de la
simulation
6
5
4
u

3
2
u
u (théorique)
1
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
t(s)
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
III-LA METHODE D’EULER
3-Chute d’une bille dans un fluide
3-Chute d’une bille dans un fluide
CONDITIONS INITIALES DU
MOUVEMENT
Lorsqu’on lâche la bille :
 Son accélération est a0 = g’
 Sa vitesse est nulle : v0 = 0
 La bille est à l’origine du repère
donc : y0 = 0
3-Chute d’une bille dans un fluide
ITERATIONS
v1 = v0 + a0 x dt = v0 + g’ dt
 a1 = g’ - k v1n
 y1 = y0 + v0 dt
Puis :
 v2 = v1 + a1 dt = v1 + (g’ –kv1n) dt
 a2 = g’ - k v2n
 y2 = y1 + v1 dt

…
3-Chute d’une bille dans un fluide
ITERATIONS
vi+1
= vi + ai x dt
n
ai+1 = g’ - k vi
yi+1 = yi + vi dt
3-Chute d’une bille dans un fluide
Mouvement d’une bille dans du liquide
vaisselle
vmax = 1,05 m.s-1 , n = 2 , g’ = 8,41 N.kg-1 , k = 7,6(SI)
3-Chute d’une bille dans un fluide
Mouvement d’une bille dans du liquide
vaisselle
vmax = 1,05 m.s-1 , n = 1 , g’ = 8,41 N.kg-1 , k = 8(SI)
3-Chute d’une bille dans un fluide
Mouvement d’une bille dans du liquide
vaisselle
On peut conclure que pour la bille
d’acier tombant dans du liquide
vaisselle :
Le mouvement n’est pas un
mouvement de chute libre,
Les forces de frottements fluides
sont de la forme :
f= mkv2