Transcript organiser les apprentissages par la resolution de problemes

ORGANISER LES APPRENTISSAGES
PAR LA RESOLUTION DE
PROBLEMES
Cécile Allard-Baynaud
LDAR Didactiques des mathématiques
université de Paris VII
Plan
• Introduction : définition et état des lieux ;
• Les différents rôles des problèmes ;
• Les huit leviers pour garantir des
apprentissages.
Introduction et état des lieux
Evolution des performances en culture mathématique (uniquement les pays
avec des écarts significatifs statistiquement parlant)
Performance en mathématiques dans PISA 2006
550
Performance en mathématiques dans PISA 2003
500
Hausse des performances entre
2003 et 2006
450
400
350
Baisse des performances entre 2003 et
2006
PISA 2006: Science Competencies for Tomorrow’s World, Figure 6.21
High science performance
High average performance
Large socio-economic disparities
580
Finland
560
540
Canada
New Zealand
Netherlands
Australia
Strong socio520
economic impactGermany
on Czech Republic
United Kingdom
Switzerland
Austria
Belgium
student performance
Ireland
Hungary
France
Slovak Republic
Luxembourg
Japan
Korea
Sweden
Socially equitable
distribution of learning
opportunities
500
Poland
Denmark
United States Spain
Portugal
Low average performance
Large socio-economic disparities
480
Greece
460
440
Iceland
Norway
Italy
Low average performance
High social equity
Low
science
performance
OECD (2007),
PISA
2006 – Science
Competencies for Tomorrow’s World, Figures 4.4c
La société finlandaise
• Un petit pays : 5,2 millions d’habitants ;
• Une société homogène : 97% d’habitants d’origine
finlandaise, 95% de luthériens ;
• Des cours de religion ou de morale, d’instruction civique
pour tous les élèves de 7 à 18 ans ;
• Une culture de l’égalité des chances où l’esprit d’élitisme
n’est pas de mise ;
• Une écriture de la langue finnoise récente (fin 19ème) et
conforme à la prononciation ;
• De très nombreuses bibliothèques (lecture moyenne : un
journal par jour et 17 livres par an) et des films
essentiellement d’origine étrangère et non traduits.
Organisation scolaire
• Financement sur la base d’un forfait par élève (57% Etat, 43%
Communes) ;
• Très peu d’écoles privées. Aucune école ne peut être payante
• 20% des élèves ont une bourse ;
• Les effectifs des classes varient de 12 à 25 élèves, en général moins de
20 élèves ;
• Le repas de midi est offert, le matériel gratuit jusqu’au collège ;
• A l’école élémentaire, 3 ou 4 maîtres, 6 à 7 à partir du collège ;
• Salles des professeurs très confortables, bureaux individuels pour
travailler, accueillir les élèves et les parents ;
• Les universités sont sur budget d’état, les instituts professionnels ou
polytechniques sur budget des communes ou privé ;
• Un étudiant de l’enseignement supérieur touche systématiquement
une bourse mensuelle de 450 euros.
Soutien : un point fort
• Soutien institutionnalisé ;
• Divers systèmes d’aide combinés :
– Dédoublement d’une heure ;
– Co-intervention d’un second enseignant dans la classe ;
– Cours particuliers par un enseignant de la classe ou un
enseignant de soutien ;
• Pas de redoublement ;
• Une forte responsabilisation des enseignants pour
la prise en charge des difficultés.
Les évaluations
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Evaluation orientée vers les acquis et progrès ;
L’élève passe le contrôle s’il se sent prêt ;
Pas d’esprit de compétition ;
Notation sur 10 à partir de la 4ème année. La note la plus basse est 4 ;
Peu de devoirs à la maison (non ramassés, non notés) ;
4 à 5 devoirs surveillés par an par discipline ; un carnet de compétences
rempli avec l’élève 2 fois par an ;
Pas de conseils de classe ; moyenne de toutes les notes et l’élève est invité à
évaluer par écrit ses acquis et progrès ;
En fin de cycle, moyenne générale + portfolio de compétences ;
Le baccalauréat : finnois et trois disciplines au choix de l’élève, passé à la
carte, avec deux sessions par an. Durée des épreuves : 6 heures. Les 2/3 du
sujet garantissent la note maximum ;
Toutes les épreuves sont corrigées selon des critères communs imposés par le
ministère.
Le système éducatif
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Part du PIB consacrée à l’éducation : 5,8% ;
Un système qui vise la réussite de chaque élève, le collège unique pour tous a été
créé en 1970 ;
Une grande confiance dans l’école et l’enseignement est un métier attractif ;
Négociation des réformes avec l’unique organisation syndicale, peu de conflits
L’enseignement est totalement gratuit ;
Depuis 1990, les établissements scolaires dépendent uniquement des communes.
Le personnel est recruté par le directeur avec le responsable de la commune et
titularisé par lui ;
Relative autonomie des établissements (manuels, programmes, répartition des
heures, taille des classes…). Un cahier de charges général est donné par le
ministère, plus explicite en matière d’objectifs et compétences attendues depuis
2002 ;
Une administration centrale très légère : la DNE chargée d’élaborer des normes
pédagogiques et de réguler annuellement l’enseignement à partir d’évaluations
organisées dans un panel représentatif, et d’expérimentations réalisées dans des
établissements pilotes ;
Les corps d’inspection ont été supprimés en 1990.
Les enseignants
• Formation : Instituts Universitaires de Formation
– Premier degré : un recrutement après le bac et 5 ans d’études ;
– Lycée : un recrutement sur examen en IUF après L, 2 ans de formation
aboutissant à un master professionnel dont un an de stage.
• Formation continue :
– Au moins 3 jours par an, validée par des ECTS.
• Travail :
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15 à 24 séances plus 2 heures de réunion ;
Fonctions de surveillance, vie scolaire, orientation ;
Liberté pédagogique ;
Un syndicat unique et 97% de syndiqués ;
Bons salaires.
• Evaluation : au sein de l’établissement et via les enquêtes de la DEN.
Les facteurs de la réussite à PISA
• Les caractéristiques de la société finlandaise, homogène,
confiante dans son école vue comme un ferment de
cohésion sociale ;
• Un échec scolaire inconcevable, de évaluations positives ;
• Un enseignement des maths adapté aux besoins de la vie
courante en ligne avec l’esprit de PISA ;
• Mais un regard critique porté sur ce succès par les
finlandais eux-mêmes et en particulier par les
mathématiciens universitaires comme l’a montré le
colloque Franco-Finlandais organisé par la SMF en 2005.
Conclusions
•
PISA 2006 confirme :
– La prééminence de
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La Finlande, la Corée, le Canada, la Nouvelle Zélande
– Le fait que les pays les plus performants :
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Ont un nombre élevé d’élèves très performants ;
Ont un faible nombre d’élèves en difficulté ;
Présentent un système éducatif équitable ;
Ne sont pas les plus dépensiers ;
Ne favorisent pas l’enseignement d’une matière, par
exemple les sciences, au détriment des autres ;
Ne procèdent pas à une orientation scolaire précoce ;
Ne favorisent pas l’école privée.
Définitions
Faire des mathématiques?
Qu'est-ce que " FAIRE DES MATHEMATIQUES " :
« Ma réponse globale sera que faire des mathématiques, c'est les FAIRE,
au sens propre du terme, les construire, les fabriquer, les produire,
que ce soit dans l'histoire de la pensée humaine ou dans
l'apprentissage individuel. Il ne s'agit pas, bien sûr, de faire
réinventer par les élèves des mathématiques qui existent déjà, mais
de les engager dans un processus de production mathématique où
leur activité ait le même sens que celle des mathématiciens qui ont
effectivement forgé des concepts mathématiques nouveaux. [...]
Ce qui est important pour l'élève, ce n'est pas de connaître la solution,
mais d'être capable de la trouver lui-même, et de se construire ainsi,
à travers son activité mathématique, une image de soi positive,
valorisante, face aux mathématiques. »
R Bkouche, B. Charlot, N. Rouche
et plus simplement par D. Valentin (2000) « Faire, ce n'est pas appliquer,
s'exercer… c'est chercher dans sa tête ! Ce n'est pas manipuler, c'est
un effort intellectuel. »
Trois grandes idées clés
Ce qui compte pour faire des mathématiques :
- ce n’est pas la solution mais le chemin ;
- c’est avoir une image de soi valorisante face
aux mathématiques ;
- ce n’est pas appliquer, ni exercer c’est
« chercher dans sa tête ».
Des conceptions les plus courantes parmi les
professeurs
Deux conceptions de la résolution
de problèmes à éviter
Les maths outils
Il ne reste plus qu’à savoir lire
l’énoncé !!!
Les maths « libres » : Cherche !
Et en maths :
il y a ceux qui ont du flair et les
autres.
Etat des lieux :
Du côté des élèves
Que sait-on actuellement sur la
résolution de problèmes à l’école?
• L’inhibition des élèves de cycle :
vers des problèmes pour désinhiber.
(Extrait évaluation 6ieme 2002 et 2003)
Xavier range les 50 photos de ses dernières
vacances dans un classeur. Chaque page
contient 6 photos.
a) Combien y aura-t-il de pages complètes?
b) Combien y-a-t-il de photos sur la page
incomplète?
Diverses démarches possibles
Plusieurs démarches pour ce problème :
• Une division : (quotient de 50 par 6) ;
• Utilisation de la multiplication : table de 6 ;
• Utilisation de l’addition réitérée.
→Tous les élèves de cycle 3 maitrisent
normalement l’addition, pourquoi ne
réussissent-ils pas tous ?
→ Peut-être ne savent-ils pas ce qu’on l’attend
d’eux ?
Les obstacles à la mobilisation des
connaissances
• Trouver passe par chercher (les élèves
n’osent pas essayer) ;
• Ils ne comprennent pas pourquoi la
réponse annoncée est la seule valide ;
• Le maitre ne passe pas assez de temps à
exploiter les différentes démarches.
Des attitudes à travailler
Une des conditions à la mobilisation des
connaissances réside dans les attitudes de l’élève
et du professeur.
Pour l’élève : prendre des initiatives.
Pour le maitre : encourage, aide l’élève à
comprendre le pouvoir de sa pensée dans la
mesure où il lui laisse vérifier que ses prévisions
sont justes.
Des idées fausses qui les
empêcheraient d’agir.






Un problème contient toujours des nombres ;
Il faut faire une opération pour trouver une solution ;
Il faut utiliser tous les nombres ;
Pour trouver il n’y a qu’une démarche possible ;
Pour trouver la solution, il faut déjà savoir ;
Pour résoudre un problème, il faut faire comme le maitre qui
corrige au tableau ;
 Pour trier la solution, il faut trier les informations, souligner les
informations utiles.
→ Cette dernière croyance est aussi une croyance fausse portée
par les programmes de 1985.
Les fichiers en cycle 2
Le souci de la mauvaise utilisation des fichiers en cycle 2 :
• les élèves n’ont pas toujours la possibilité de choisir leur
mode d’expression (texte à trou), et l’absence de brouillon
ne favorise pas la recherche. Cette mauvaise utilisation
des fichiers contribue à la construction d’idées fausses sur
les mathématiques.
• Les mathématiques ça ne s’apprend pas, ça se fait !
• Il y a ceux qui savent bien remplir les cases et les autres…
• Dans certains fichiers, les situations de recherche sont
intéressantes mais les modalités de travail tuent la
recherche.
Les différents rôles des problèmes
Leur place dans les apprentissages
Des problèmes pour
« désapprendre »
Caractéristiques :
Ils ne visent pas a priori de nouveaux contenus
notionnels.
Les élèves ont les connaissances pour les résoudre.
Mais la résolution n’est pas automatique, pas
immédiate, pas réduite à une opération.
L’entrée dans la tâche est facile, les élèves peuvent
déclencher des actions, des essais.
Si possible, les élèves peuvent contrôler eux-mêmes
leur réponse.
Mais pas n’importe quels
problèmes !
• La situation engage toujours vers la résolution
d’un problème.
• L’objet de cette activité a un intérêt du point de
vue mathématique (réinvestissement des
connaissances acquises).
• L’élève réussit à élaborer une procédure de
résolution.
• Ces problèmes sont proposés plusieurs fois avec
des variantes.
Des problèmes pour
« désapprendre »
• Des problèmes sans nombres.
• Des problèmes géométriques.
• Des problèmes de logiques.
Reliez ces neufs points par une ligne brisée de quatre
segments qui passe une et une seule fois par chacun des
points.
Des exemples de problèmes pour
désapprendre
Les boites
Il s’agit de répartir tous les jetons dans des
boites grises et blanches. Il doit y avoir le
même nombre de jetons dans des boites de
la même couleur.
17 jetons, 2 boites grises et 3 boites blanches.
« C’est d’équerre » (ERMEL CE2)
« Traces de roues » (ERMEL CM1)
Marie, un peu fantaisiste, compte des têtes et trouve 8
têtes. Puis elle compte les pattes et en trouve 26.
Saurais-tu trouver le nombre de poules et celui de lapins?
→ Faire des hypothèses ;
→Etre imaginatif ou être organisé ;
→ Créer pour trouver ;
→ Peut être résolu en faisant des essais ;
→ D’autres versions peuvent être données
(19 véhicules, 52 roues, des voitures et des
motos).
Qu’est-ce qui se passe dans une
classe de cycle 3?
En résumé
• Des démarches différentes ;
• Un brouillon qui a un sens ;
• Des procédures de tâtonnement avec
différents niveaux de contrôle ;
• Importance du dessin comme appui à la
représentation du problème ;
• Pas de débat démocratique à l’intérieur
des sciences (tranché par les procédures de
contrôle et la validation).
En clair…
• Ces problèmes ne sont là que pour
permettre aux élèves de prendre
conscience qu’il y a un acte de pensée pour
résoudre un problème.
• Si on ne pense pas, on ne résout rien!
Les rôles différents des problèmes:
problèmes d’application, de
recherche, situation problème.
Mais c’est quoi un problème???
Situation-problème, problèmes
Le rôle d’un problème dépend de sa
place dans la séquence
• Toute séquence de mathématique propose
plusieurs problèmes :
• Une situation problème (reprise plusieurs
fois) ;
• Des problèmes oraux en lien avec l’objectif
d’apprentissage ;
• Des problèmes d’application.
Un exemple en CE2
Situation problème :
Chaque jour, les enfants d’une classe mettent
8 billes dans une boite. Combien de billes y
aura-t-il dans la boite au bout de 3 jours, 4
jours, 10 jours, 12 jours, 20 jours… ?
→ Discuter pour mieux dévoluer ;
→ Discuter pour motiver.
Quels apprentissages sont visés?
• Savoir élaborer une table de multiplication;
• Savoir utiliser et expliciter des stratégies de
calcul mental de produits mettant en jeu la
règle des zéros ;
• Connaitre la table de 8.
Différentes démarches possibles.
• Pour 20 jours, les démarches révèlent la difficulté à exploiter le
résultat pour 10 jours.
• « j’ai pris 10 multiplié par 10, 100 et 100 +8, 108 »
• Opération posée en colonne dans la tête.
• Les démarches correctes sont additives :
• « j’ai pris 10 fois 8 et j’ai rajouté 10 jours 80 après 80+80=160 »
• Le rapport 2 est rarement explicité (« j’utilise le résultat de 2 fois 10 »)
• Des démarches du pas à pas qui font correspondre les jours et les
billes
10 jours c’est 80 billes
11 jours c’est 88 billes…..
Et gestion de l’hétérogénéité.
Brouillon d’Anaïs
L’une des élèves qui a vécue matériellement la situation des billes.
C’est avoir une image de soi valorisante face aux mathématiques.
Extrait du cahier du jour d’Amélie
Ce n’est pas la solution mais le chemin.
De la situation problème au
problème d’application
Calcul réfléchi
portant sur la
règle des zéros
Calcul mental
avec des
problèmes oraux
sur la table de8.
4 billes par jour.
Pour résumer :
• Des problèmes de mathématiques pour
introduire des nouveaux apprentissages ;
• Des problèmes oraux lors des séances de
calcul mental ;
• Des problèmes d’application pour entrainer
et consolider.
Huit leviers pour garantir des
apprentissages