Transcript Diapositive 1 - École Secondaire du Mont-Sainte-Anne

Quelques calculs de probabilités
Expérience aléatoire à une étape
( exemple : 1 tirage )
Calcul de la probabilité d’un événement
La probabilité d’un événement se calcule comme suit :
P(événement) =
Exemple :
P(cœur) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes,
quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »?
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
=
13
=
52
1
4
On a donc 1 chance sur 4 de piger une carte de cœur.
P( choisir une carte de cœur ) =
1
4
Remarque
Comme il y a toujours moins de cas favorables que de cas possibles,
la probabilité d’un évènement est toujours comprise entre 0 et 1.
P(événement) =
Exemple :
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes,
quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »?
P(cœur) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
=
13
52
=
1
4
Remarque : Une probabilité peut être exprimée sous la forme d’une
fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
1
4
=
0,25 =
25 %
Problème
On lance 2 dés semblables. On voudrait connaître la probabilité
« d’obtenir une somme de 7 ».
Pour faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
+
Nombre de cas possibles :
6 X 6 = 36
Nombre de cas favorables : 6
P (obtenir une somme de 7) :
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
=
6
36
11 12
P (obtenir une somme de 7) :
=
1
6
1
6
Expérience aléatoire à plusieurs étapes
( exemple : 2 tirages )
Lorsqu’une expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, il faut
savoir si une étape a une influence sur l’étape suivante.
Si la 1ère étape n’a pas d’influence sur la 2e étape, les évènements
sont indépendants un de l’autre.
Si la 1ère étape a une influence sur la 2e étape, les évènements sont
dépendants un de l’autre.
Les tirages avec remise et sans remise en sont des exemples.
Si les tirages se font avec remise, alors les évènements n’ont pas
d’influence les uns envers les autres; ce sont des évènements
indépendants.
Si les tirages se font sans remise, alors les évènements ont une
influence les uns envers les autres; ce sont des évènements
dépendants.
Deux événements peuvent être indépendants
C’est-à-dire que la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité
de réalisation de l’autre.
Exemple
On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes
bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie
d’une bille bleue si on remet la boule dans l’urne?
Comme on remet la boule dans l’urne, le deuxième tirage ne sera pas
influencé par le premier tirage.
C’est ce qu’on appelle un tirage avec remise.
Deux événements peuvent être dépendants
C’est-à-dire que la réalisation de l’un influence la probabilité de
réalisation de l’autre.
Exemple
On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues.
Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne.
Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que l’on ne remet pas
la boule obtenue au premier tirage.
C’est ce qu’on appelle un tirage sans remise.
Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons
également comment calculer leur probabilité en utilisant un arbre de
probabilités.
Arbre de dénombrement et arbre de probabilités
L’arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer
les résultats d’une expérience aléatoire.
Exemple
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait
connaître la probabilité d’obtenir 2 fois « pile ».
Arbre de dénombrement
1er lancer
P
2e lancer
résultats
P
P,P
F
P,F
P
F,P
F
F,F
pièce
F
L’arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer
les résultats d’une expérience aléatoire.
Arbre de dénombrement
1er lancer
2e lancer
P
résultats
P
P,P
F
P,F
P
F,P
F
F,F
pièce
F
P( P , F ) =
1
1 résultat
=
4
4 résultats
L’arbre de probabilités est obtenu en inscrivant sur un arbre de
dénombrement la probabilité de chaque résultat.
1er lancer
pièce
1
2
P
1
2
F
2e lancer
1
2
1
2
1
2
1
2
probabilités
P
1
4
F
1
4
P
1
4
F
1
4
Pour obtenir la probabilité, on multiplie ensemble les nombres sur chacune
des branches.
Il y a une chance sur
1 deux d’obtenir pile.
P( P , F ) =
4
L’arbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité
de chaque résultat.
Arbres de probabilités
1er lancer
2e lancer probabilités
1
2
1
2
A : obtenir pile
B : obtenir face
pièce
1
2
P
1
2
F
1
2
1
2
P
1
4
F
1
4
P
1
4
F
1
4
La probabilité d’obtenir « pile » suivie de « face » se calcule comme suit :
P( pile suivie de face ) = P(A) X P(B) =
1
1
X
2
2
=
1
4
Probabilité de deux évènements indépendants
Exemple
On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues.
Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d’une bille bleue si
on remet la boule dans l’urne?
R : obtenir une bille rouge.
B : obtenir une bille bleue.
L’arbre de probabilités (avec remise)
1ère pige
3/10
R
2e pige
3/10
7/10
7/10
B
3/10
7/10
Avec la formule:
P( rouge suivie bleue ) = P(R) X P(B) =
probabilités
R
3/10 X 3/10 = 9/100
B
3/10 X 7/10 = 21/100
R
7/10 X 3/10 = 21/100
B
7/10 X 7/10 = 49/100
3
7
X
10
10
=
21
100
Exemple
On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après
le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne. Quelle est la
probabilité de tirer 1 bille rouge suivie d’une bille bleue ?
R : obtenir une bille rouge.
B : obtenir une bille bleue.
L’arbre de probabilités (sans remise)
1ère pige
2e pige
R
3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15
7/9
B
3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30
3/9
R
2/9
3/10
R
7/10
B
probabilités
6/9
B
7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30
7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15
Il ne reste que 9 boules dans l’urne et 2 boules rouges.
P( rouge suivie bleue ) =
3
X
10
7
9
=
7
21
=
30
90
L’arbre de probabilités (sans remise)
1ère pige
2e pige
R
3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15
7/9
B
3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30
3/9
R
2/9
3/10
R
7/10
B
Avec la formule:
probabilités
6/9
7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30
7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15
B
P(R) X P(B R)
Ici, il faut lire la probabilité de l’évènement B sachant l’évènement R.
Dans l’exemple, la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le
tirage sans remise de la bille rouge.
P(R) X P(B R)
3
X
10
7
9
=
21
90
=
7
30
On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues.
La probabilité de l’événement « tirer successivement 2 billes rouges »
se note :
- s’il y a remise de la bille dans l’urne (avec remise) :
les 2 évènements sont indépendants un de l’autre.
P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) X P(Rouge) =
3
3
X
10
10
9
=
100
- s’il n’y a pas de remise de la bille dans l’urne (sans remise) :
le 2e évènement est dépendant du premier.
P(Rouge suivie de Rouge) =
P(R) X P(R R)
3
10
X
2
9
=
6
90
=
1
15
On n’a pas remis la première bille dans l’urne.
Problème
Lors d’une expérience aléatoire, on lance successivementune pièce de
monnaie et un dé.
Quelle est la probabilité d’obtenir pile suivie du nombre 4 ?
A : obtenir pile
B : obtenir le nombre 4
Ici, le premier tirage n’a aucune influence sur le deuxième tirage.
P ( obtenir pile ) =
1
2
P ( obtenir 4 ) =
1
6
Les 2 évènements sont indépendants l’un de l’autre.
P ( P , 4 ) = P(A) X P(B)
1
2
X
1
6
=
1
12
Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la
suite de l’autre deux évènements indépendants se calcule par :
P(A) X P(B)
Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la
suite de l’autre deux évènements dépendants se calcule par :
P(A) X P(B I A)