Transcript DTL – Lois

DTL de mathématiques
Terminale ES2
Lois de probabilité à densité
Exercice 1 :
Les deux rives d’un estuaire sont reliées par un service régulier de bateaux ; ces derniers quittent la rive nord
exactement toutes les 10 minutes. Monsieur Dulac séjourne sur la rive nord et traverse l’estuaire une fois par jour
pour se rendre dans la partie sud ; Son arrivée au point d’embarquement sur la rive nord se fait au hasard.
1) Le temps en minutes séparant l’arrivée de Monsieur Dulac à l’embarcadère du prochain départ du bateau
définit une variable aléatoire T qui suit une loi uniforme.
a) Quel est le temps d’attente moyen de Monsieur Dulac à l’embarcadère ?
b) Quelle est la probabilité p, qu’un jour donné, Monsieur Dulac attende plus de 7 minutes à
l’embarcadère ?
2) Monsieur Dulac séjourne 10 jours sur la rive nord. Le nombre de jours où son attente est supérieure à 7
minutes définit une variable aléatoire X de probabilité de succès p. On suppose que l’arrivée de Monsieur
Dulac à l’embarcadère se fait de façon indépendante d’un jour à l’autre.
a) Justifier que la loi suivie par X est une loi binomiale. Préciser ses paramètres ? Déterminer E(X).
b) Calculer à 10-3 près, la probabilité que Monsieur Dulac n’attende jamais plus de 7 minutes à
l’embarcadère.
c) Calculer P X  3 à 10-3 près.
Exercice 2 :
Un fabricant considère que le nombre de vente journalières d’un de ses articles est une variable X qui suit
une loi normale N  , 2 avec   3000 et   520 .
Les probabilités seront données arrondies au millième le plus proche.
Partie A
1) Déterminer la probabilité pour que le nombre de ventes journalières soit compris entre 2500 et 3500
articles.
2) Déterminer la probabilité pour que le nombre de ventes journalières soit inférieur à 2000 articles.
3) Quel est le nombre minimum de ventes journalières réalisé avec une probabilité de 0,99 ?


Partie B
Le bénéfice exprimé en euros, réalisé par le fabricant sur la vente d’un article est égal à 12 €. Le fabricant doit faire
face à des frais fixes journaliers égaux à 34000 €.
On note B la variable aléatoire égale au bénéfice journalier total réalisé par le fabricant pour la vente de X articles. B
est donc une variable aléatoire
1) Justifier que B  12 X  34000
On admet que B suit une loi normale de paramètre  B  12  34000 et  B  12 .
2) Quelle est la probabilité d’obtenir un bénéfice journalier supérieur à 20000 euros ?
3) Quelle est la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité (c'est-à-dire d’avoir B  0 )
Partie C
Le délai de livraison de chaque article chez un client, en heures est une variable aléatoire D qui suit une loi normale
de moyenne  D  30 et d’écart-type inconnu  D .
Déterminer l’écart type pour que 95% des livraisons se réalisent avec un délai inférieur à 36 heures.
Exercice 3 :
f est la fonction de densité définie sur [0 ;4] et représentée graphiquement ci-contre
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans [0 ;4] dont la loi de probabilité a
pour densité la fonction f.
a) Vérifier que l’aire délimités par la courbe de f et l’axe des abscisses sur
l’intervalle [0 ;4], en unité d’aire est égale à 1.
b) Calculer P1  X  3 et P X  2
c) Calculer PX 2  X  2,5