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Lycée Sainte Geneviève
BCPST 2
Chapitre 3 : Probabilités.
Exercice 1.
Un dénombrement
Un mot est constitué de p fois la lettre A et q fois la lettre B .
a) Combien peut-on constituer d'anagrammes de ce mot ?
b) Application : en considérant les symboles 1 et + , combien existe-t-il de suites (x1 , . . . , xp ) ∈ Np vériant
x1 + · · · + xp = n
Exercice 2.
Dans les cas suivants déterminer si les événements A et B sont indépendants :
Cas 1 P (A) = 0.1 P (B) = 0.9 P (A ∪ B) = 0.91
Cas 2 P (A) = 0.4 P (B) = 0.6 P (A ∪ B) = 0.76
Cas 3 P (A) = 0.5 P (B) = 0.3 P (A ∪ B) = 0.73
Exercice 3.
1. Quelle est la probabilité qu'une permutation de J1, nK n'ait aucun point xe ?
2. Application : dans un hôtel on distribue au hasard 5 clefs à 5 clients. Chaque clef n'ouvre qu'une porte. Quelle
est la probabilité pour qu'au moins un client puisse ouvrir sa chambre ?
Exercice 4.
On lance une pièce équilibrée une innité de fois. Quelle est la probabilité que le deuxième face arrive à un lancer
impair ?
Exercice 5.
Un voyageur eectue un trajet Los Angeles - Paris par avion avec une escale à New York. A chaque aéroport la
probabilité que sa valise soit perdue est la même égale à p. Or une fois arrivé à Paris le voyageur constate l'absence
de sa valise.
Quelle est la probabilité qu'elle se soit perdue à Los Angeles ? à New-York ? à Paris ?
Exercice 6.
Trois chasseurs tirent en même temps une seule fois sur un sanglier. La bête meurt frappée par deux balles. On estime
1 1 3
la valeur de ces chasseurs par la probabilité d'atteindre sa cible en un seul coup. ces probabilités sont : , , .
4 2 4
Déterminer pour chacun des chasseurs la probabilité pour que ce soit lui qui ait raté la cible.
Exercice 7.
Un joueur de casino joue à pile ou face contre la banque. La pièce pouvant être non équilibrée on note p la probabilité
de faire pile et q = 1 − p celle de faire face. A chaque pile il gagne un euros et à chaque face il perd un euro. Il s'est
donné comme objectif de gagner N euros (il s'arrête dès qu'il atteint cet objectif). On note pk la probabilité qu'il se
retrouve sans argent en partant d'une mise initiale de k euros et gk la probabilité qu'il gagne les N euros.
1. Déterminer une relation entre pk , pk−1 et pk+1 .
2. En déduire pk , pour tout k ∈ J0, N K.
3. De même calculer gk , pour tout k ∈ J0, N K.
1
Exercice 8. On dispose d'un dé équilibré et d'une urne qui à l'origine contient une boule blanche. On eectue une
suite de lancers successifs avec le dé et à chaque fois qu'on obtient un résultat diérent de 6 on ajoute une boule rouge
dans l'urne. Lorsqu'on obtient le premier 6, on tire une boule dans l'urne et l'expérience s'arrête.
1. Pour tout k ∈ N∗ , soit Ak l'événement "on a obtenu le premier 6 au k-ième lancer".
(a) Calculer P (Ak ) et vérier
+∞
X
P (Ak ) = 1.
k=1
(b) Quelle est la probabilité d'avoir obtenu le premier 6 au plus tard au k-ième lancer ?
(c) Quelle est la probabilité d'avoir obtenu le premier 6 après le k-ième lancer sachant qu'on l'a obtenu au plus
tard au 2k-ième lancer ?
2. On appelle B l'événement "on a obtenu la boule blanche".
(a) Calculer P (B ∩ Ak ).
(b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ [0, 1[, on a
n
X
xk
k
k=1
En déduire que
+∞ k
X
x
k=1
k
Z
=
0
x
1 − tn
dt
1−t
= − ln(1 − x)
(c) Calculer P (B).
Exercice 9.
Soit (Ω, T , P ) un espace probabilisé.
!
1. Montrer que si (An )n∈N est une suite croissante (pour l'inclusion) d'événements alors P
[
An
= lim
P (An )
n→+∞
n∈N
!
2. Montrer que si (An )n∈N est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'événements alors P
\
An
= lim
n→+∞
n∈N
!
3. Pour une suite quelconque d'événements (An )n∈N , montrer que P
[
An
n∈N
4. Pour une suite quelconque d'événements (An )n∈N telle que la série
!
montrer que P
[
An
≤
+∞
X
X
= lim
n→+∞
P
n
[
P (An )
!
Ak
k=0
P (An ) converge,
P (An ).
n=0
n∈N
5. Un exemple. On lance une innité de fois une pièce équilibrée. Soit A l'événement tous les lancers donnent
pile et An l'événement tous les lancers de 1 à n donnent pile . Écrire A en fonction des An , puis en déduire
la probabilité de A.
Exercice 10.
Soit (An )n∈N une suite d'événements d'un espace probabilisé. On note B l'événement suivant :
B=
+∞
\ +∞
[
Ak
(B est appelé limite supérieure des An )
n=0 k=n
1. Pour ω dans l'univers traduire avec des quanticateurs le fait que ω ∈ B .
2. Lemme de Borel Cantelli : montrer que, si la série
X
P (An ) converge, alors P (B) = 0.
3. Réciproque partielle : si on suppose que les An sont mutuellement indépendants, montrer que si la série
diverge alors P (B) = 1. (On
pourra considérer
B et comparer les séries
X
P (An ) et
X
X
P (An )
ln(1 − P (An )))
4. Application : on lance une innité de fois une pièce de monnaie avec la probabilité p ∈]0, 1[ de faire pile et la
probabilité q = 1 − p de faire face. Montrer que pile apparaît une innité de fois presque sûrement. Pour tout
m ≥ 1, montrer qu'il apparaît une innité de séquences de m piles consécutifs presque sûrement.
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