Transcript DS6 prob expo ln 13-14

Devoir surveillé de mathématiques n°6
31 janvier 2014
TES
Nom-Prénom
Exercice 1 (3) : C et D sont deux événements tels que
P C (D)=0,4 et
P D (C)=0,5 .
P(C)=0,6 ;
On sait que :
— Pierre choisit le parcours A dans 30% des cas et le parcours B dans 20% des cas ;
— si Pierre choisit le parcours A, alors il fait une séance d’endurance dans 40% des
cas ;
— si Pierre choisit le parcours B, alors il fait une séance d’endurance dans 80% des
cas.
– la probabilité pour qu'il effectue une séance d'endurance est de 0,7.
Calculer P(C∩D) , P(D) et p(C ∪D).
1°) Faire un arbre de probabilité décrivant la situation ci-dessus, complété par les
données de l'énoncé.
Exercice 2 (3):
Un site de vente par correspondance propose 2400 jeux vidéo dont 1296 sont des jeux
pour console, le reste étant des jeux pour ordinateur.
Un tiers des jeux pour console sont des jeux d'action et 25 % des jeux pour ordinateur
sont aussi des jeux d'action.
On choisit au hasard un jeu proposé par le site. On définit les événements :
- C : " le jeu est un jeu pour console"
- O : "le jeu est un jeu pour ordinateur"
- A : "le jeu est un jeu d'action."
2°) Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours A et une séance de
vitesse.
3°) Montrer que p C ( E) =0,84 et interpréter ce résultat.
4°) Pierre a fait une séance d''endurance. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi le
parcours C ?
Exercice 4 (3):
1°) Représenter cette situation par un arbre de probabilité qui sera complété avec les
données de l'énoncé.
2°) Calculer la probabilité de l'événement A, en justifiant soigneusement.
1°) On considère le nombre A= 7 ln (4) 3 ln (2)+ln
Exprimer A en fonction de ln (2) , en justifiant.
3
2°) Montrer que B=ln (e )+
Exercice 3 (7) :
Pierre pratique la course à pied plusieurs fois par semaine. Il a trois parcours
différents, notés A, B et C et deux types de séances d’entraînement : Endurance,
notée E et Vitesse, notée V.
Chaque fois que Pierre va courir, il choisit un parcours (A, B ou C), puis un type
d’entraînement (E ou V).
Pierre va courir aujourd’hui. On considère les événements suivants :
A : « Pierre choisit le parcours A »
B : « Pierre choisit le parcours B »
C : « Pierre choisit le parcours C »
E : « Pierre fait une séance d’endurance »
V : « Pierre fait une séance de vitesse »
( 12 )+ln (√ 2)
e 2ln (6)
est un nombre entier (détailler le raisonnement).
ln ( 3)
e
Exercice 5 (4) :
On considère la fonction définie sur [-2;10] par f (x)=(2 x 2+3 x)e x +3
1°) Démontrer que f ' (x)=( 2 x2 +x+3)e
x
2°) Établir le tableau de variations complet de f sur [-2;10] (tous les détails de l'étude
figureront sur la copie).
3°) En déduire, en justifiant, le tableau de signes de f sur [-2;10].
Devoir surveillé de mathématiques n°6
Exercice 1(3) :
31 janvier 2014
P C (D)=0,4 et
P(C)=0,6 ;
TES
P D (C)=0,5 .
3°) A, B et C forment une partition de l'univers.
On utilise la formule des probabilités totales
P (C ∩D)
P (C )
P
(C
∩D)=P
(C )×P C ( D)=0,6×0,4=0,24
⇔
1°)  P C (D)=
p (E )= p (E ∩A)+ p(E ∩B)+ p( E ∩C) ⇔
⇔ p(E)= p A (E)× p (A)+ p B (E)× p (B)+ p C (E )× p(C )
⇔ 0,42=0,4×0,3+0,8×0,2+ pC ( E)×0,5
0,42 0,12 0,16
=0,84
⇔ p C (E )=
0,5
La probabilité pour qu'il choisisse une séance d'endurance sachant qu'il a
choisi le parcours C est égale à 0,84
P(C ∩D)
0,24
0,24
=0,48
⇔ 0,5=
⇔ p (D)=
P (D)
0,5
P (D)

P D (C )=

P (C ∪D)=P (C )+P ( D) P (C ∩D)=0,6+0,48 0,24=0,84
Exercice 2 (3):
1°) D'après l'énoncé : p (C )=
1296
=0,54
2400
0,54
p( E ∩C) 0,84×0,5
=
=0,6
p (E )
0,7
La probabilité qu’il ait choisi le parcours C sachant qu'il a fait une course de vitesse
est égale à 0,6.
4°) On cherche P E (C)=
A
1/3
C
2/3
A
A
Exercice 4 (3):
1°) A = 7 ln (4) 3 ln (2)+ln
0,25
0,46
O
0,75
2°) On cherche p ( A∩V )= p A (V )× p( A)=0,3×0,6=0,18
La probabilité pour que Pierre choisisse le parcours A et une séance de vitesse est
égale à 0,18.
1
2
A= 7 ln (2 ) 3 ln (2)+ln (1) ln (2)+ ln (2)
2
A
2°) C et O forment une partition de l'univers. On utilise la formule des probabilités
totales
p ( A)= p ( A∩O)+ p ( A ∩C )= p O ( A)× p (O)+ p C ( A)× p(C)
1
p ( A)=0,54× +0,46×0,25=0,295
3
La probabilité d'avoir un jeu d'action est égale à 0,295
0,4
1
A=14 ln (2) 3 ln (2)+0 ln (2)+ ln (2)
2
A=10,5 ln (2)
3
2°) B=ln (e )+
E
A
Exercice 3 (7) :
0,3
1°)
0,2
( 12 )+ln (√ 2)
B=3 ln (e)+e2ln (6)
0,6
0,8
V
E
2
B=3×1+e ln (6 )
ln
B
0,2
0,5
e 2ln (6)
ln ( 3)
e
?
B=3+e
V
E
(363 )
B=3+eln 12
B=3+12=15
C
?
V
ln (3)
ln( 3)
Exercice 5 (4) : f définie sur [-2;10] par f (x )=(2 x 2+3 x)e x +3
1°) f =u×v+w donc f ' =u ' v+v ' u+w '
u ( x)=2 x2 +3 x donc u ' ( x)=4 x+3
x
v( x)=e
donc v ' ( x )= 1 e
x
w (x)=3 donc w ' (x)=0
f ' (x)=(4 x+3)e x+(2 x 2 +3 x)×( 1)e
f ' (x)=(4 x+3 2 x 2 3 x)e
f ' (x)=( 2 x 2 +x+3)e
2°)  ∀x ∈ ℝ, e
x
x
x
x
>0
2
2 x 2+ x+3 est un trinôme. ∆=1 4×( 2)×3=25
1 5
1+5
x 1=
=1,5 et x 2=
= 1
4
4
On obtient le tableau de signes de f ' ainsi que le tableau de variations de f :
x
–2
–1
1,5
10

x
+
2x + x+3
-
0
+
–
0
+
e
2
f '(x)
+
2
2 e +3
9e
f(x)
3°)
+
e1+3
e 1 +3 ≈ 0,28 et 230 e
10
0
-
0
–
1,5
+3
230 e
On en déduit que f est positive sur [-2;10].
f(x)
+3
+3 ≈ 3. Donc le minimum de f sur l'intervalle
considéré est positif.
x
10
–2
10
+