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BAC BLANC n°1 (2014)
Correction page 8
THEME : COMPLEXES
Exercice1
 
Le plan est rapporté à un. repère orthonormal direct O ; u ; v (unité graphique 1 cm).
1. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation suivante :
z 2  8 3z  64  0
2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes
a = 4 3  4i et b = 4 3  4i .
a. Écrire a et b sous forme exponentielle.
b. Calculer les distances OA, OB, AB. En déduire la nature du triangle OAB.
3. On désigne par C le point d'affixe c =  3  i , par D le point d’affixe
et par G le
point d’affixe g  4 3  6i
a. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure.
b. Montrer que les points C, D et G sont alignés.
c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, sera valorisée.
Quelle est la nature du triangle AGC ?
Exercice 2
On considère dans C l'équation suivante (E) : z 3  2 z 2  16  0 .
1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s'écrire z  2 az 2  bz  c  0 où a, b


et c sont trois réels que l'on déterminera.
2. En déduire les solutions de (E) sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
3. Placer les points A, B et D d'affixes respectives z A  2  2i, z B  2, z D  2  2i
4. Calculer l'affixe z C du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
5. Soit E d’affixe 6 et F tel que le triangle DCF soit un triangle rectangle isocèle direct en D
a. Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, sera valorisée.
Montrer que l’affixe de F est
.
b. Placer les points E et F.
z  zA
 i . En déduire la nature du triangle AEF.
b. Vérifier que F
zE  z A
Exercice 3
Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormal direct
⃗ ⃗ d’unité 2 cm, on
considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
zA = − i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD = − 1+2i.
1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.
2. a. Interpréter géométriquement le module et l’argument du complexe
.
b. Calculer le complexe
.
c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?
3. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.
b. Calculer l’aire du quadrilatère ABCD.
4. a. Placer sur la figure précédente les points ,
les points
et
appartiennent à [DC], le quadrilatère
l’extérieur du quadrilatère ABCD.
b. Tracer le carré
et déterminer son aire .
tels que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où
étant un carré situé à
5. a. On continue par le même procédé : un carré
étant déterminé, on considère les
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où les points
points
,
tels que
=
et
appartiennent à [
], le quadrilatère
étant un carré situé à
l’extérieur du
carré
.
Tracer le carré
b. Soit l’aire du carré
. Exprimer
en fonction de , puis en fonction de
n.
c. Déterminer, en fonction de n, l’aire
de la figure obtenue par la juxtaposition du
quadrilatère ABCD et des carrés
.
d. La suite ( ) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.
FONCTION EXPONENTIELLE
Exercice
Soit f la fonction définie sur 0; par f ( x)  x  3  3e
2
définie sur 0; par g ( x)  2 x  e
1
 x
3
1
 x
3
et g la fonction également
.
 
On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormal (O ; i ; j ) , unité
graphique 2 cm.
1. Sens de variation de g
a. Calculer la dérivée g' de g ; vérifier que g'(x) est toujours strictement positif.
b. Calculer la limite de g quand x tend vers   .
c. Déduire de ce qui précède l'existence et l'unicité d'un nombre réel  > 0 tel que g(  ) = 0
et montrer que 0,4    0,5 .
d. Étudier le signe de g(x) sur 0; .
e. Montrer que f ' ( x) = g(x) ; en déduire le sens de variation de f.
2. Comportement asymptotique de f en   .
a. Déterminer la limite de f en   .
b. Déterminer le signe de f ( x)  ( x 2  3) et sa limite en   . Interpréter graphiquement ce
résultat ; on note P la courbe d'équation y  x 2  3 .
3. a. Dresser le tableau de variation de f.
b. Prouver que l'équation f(x) = 0 admet une solution non nulle a et une seule appartenant à
l'intervalle  ; et montrer que 0,8 < a < 0,9.
c. Étudier le signe de f(x) sur 0; .
 
4. Courbe : Tracer dans le repère orthonormal (O ; i ; j ) les courbes P et C. On précisera la
tangente à C au point d'abscisse 0.
SUITES
Exercice 1
On définit la suite u n  par son premier terme u 0  3 et par la relation de récurrence :
u n 1 
un  8
2u n  9
x 8
dont on donne le tableau de
2x  9
variations suivant :
1. Soit f la fonction définie sur   ; 4,5 par f ( x) 
x
-
1
9
2
Justifier les informations données par le tableau
(variations ; limite en   ; image de 1).
En déduire que si x    ; 1, alors f ( x)    ; 1.
f'(x)

1
(x-8)/(2x-9)
1
2
2. Démontrer que la suite u n  est majorée par 1 et par conséquent est définie pour tout n
3. Démontrer que la suite u n  est croissante.
4. En déduire la limite de la suite.
Exercice 2
On considère les suites (u n ) et vn  définies pour tout entier naturel n par :
u 0  0
v 0  2



3u n  1 et 
3v  1
u n 1 
v n 1  n


4
4


1. Calculer u1 , u 2 et u3 d'une part et v1 , v2 et v3 d'autre part.
 
2. Dans un repère orthonormal O , i , j (unité graphique : 5 cm) tracer les droites D et 


3x  1
et y = x.
4
Utiliser D et  pour construire sur l'axe des abscisses les points A1 , A2 et A3 d'abscisses
d'équations respectives y 
respectives u1 , u 2 et u3 ainsi que les points B1 , B2 et B3 d'abscisses respectives v1 , v2 et v3 .
3. On considère la suite ( s n ) définie pour tout entier naturel n par :
s n  u n  vn .
a. Calculer s1 , s 2 et s3 . À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite ( s n ) ?
b. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite ( s n ) est une suite constante.
4. On considère la suite ( d n ) définie pour tout entier naturel n par :
d n  vn  u n
a. Montrer que la suite ( d n ) est une suite géométrique.
b. Donner l'expression de d n en fonction de n.
5. En utilisant les résultats des questions 3.b. et 4.b., donner l'expression de u n et v n en
fonction de n.
6. Montrer que les suites (u n ) et vn  convergent. Préciser leurs limites.
PROBABILITES CONDITIONNELLES
Exercice1
Un sondage effectué récemment dans une région montagneuse à propos de la construction
d’un barrage donne les résultats suivants :
 65% des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage.
 parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70% sont des écologistes.
 parmi les personnes favorables à la construction, 20% sont des écologistes.
On note C l’événement « la personne interrogée est contre la construction » et C l’événement
contraire.
On note E l’événement « la personne interrogée est écologiste ».
On note F l’événement « la personne interrogée est contre la construction et n’est pas
écologiste ».
1. Calculez les probabilités p(C), pC (E ) et pC (E ) .
2. a. Calculez la probabilité qu’une personne interrogée soit contre la construction du barrage
et soit écologiste.
b. Calculez la probabilité qu’une personne interrogée soit pour cette construction et soit
écologiste.
3. En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste.
4. a. Montrez que la probabilité de F est égale à 0,195.
b. On choisit au hasard 5 personnes parmi celle qui ont été interrogées (on suppose que les
choix des 5 personnes sont indépendants les uns des autres). Quelle est la probabilité qu’au
moins une de ces personnes soit contre la construction et ne soit pas écologiste ?
Exercice 2
Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu’un incident se
produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en
défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :
• la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il y ait eu incident, est
1
égale à
.
50
1
• la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche est égale à
;
500
1
• la probabilité qu'un incident se produise est égale à
.
100
On pourra noter : A l'événement « l'alarme se déclenche » ; I l’événement « un incident se
produit» ; A et I leurs événements contraires respectifs.
Ainsi, par exemple, A  I représente l'événement « l'alarme se déclenche sans qu’ il y ait
incident ».
Partie A
1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l’alarme se
déclenche. En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche.
2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ?
3. L'alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ?
Partie B
Les assureurs estiment qu'en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant :
• 1 000 € pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ;
• 3000 € pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas ;
• 200 € lorsque l'alarme se déclenche par erreur.
On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.
Soit X la variable représentant le coût journalier des anomalies pour l'entreprise.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
Exercice 3
Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées 1, 2, 3.
Deux concurrents A et B sont en présence. On admet qu'à chaque lancer, chacun d'eux atteint
une case et une seule et que les lancers sont indépendants.
Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1,2,3 sont respectivement : 1/12 ;
1/3 ; 7/12.
Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.
N.B : Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Le concurrent A lance la fléchette trois fois. Les résultats des trois lancers sont
indépendants.
a. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque fois la case 3 ?
b. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 dans cet ordre ?
c. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 ?
2. On choisit un des deux concurrents. La probabilité de choisir A est égale à deux fois la
probabilité de choisir B.
a. Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité pour que la case 3 soit atteinte ?
b. Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte. Quelle est la probabilité pour que ce
soit le concurrent A qui ait lancé la fléchette ?
Correction de la préparation BAC BLANC
COMPLEXES
Exercice 1
 
Le plan est rapporté à un. repère orthonormal direct O ; u ; v (unité graphique 1 cm).
1. z 2  8 3z  64  0


2
   8 3  4  64  64
8 3  8i
 4 3  4i
2
z 2  z1  4 3  4i
z1 
2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes
a = 4 3  4i et b = 4 3  4i .
a. a  16  3  16  64  8 .
4 3
3


8
2     2 

6
4
1 
sin  

8
2 
cos  
Donc a  8e
i

6
i

b est le conjugué de a donc b  8e 6 .
b. OA = a  8
OB = b  8
z B  z A  2i  Im(b)  8i
Donc AB  8i  8
Donc le triangle OAB est équilatéral.
3. On désigne par C le point d'affixe c =  3  i , par D le point d’affixe
d’affixe g  4 3  6i
a.
et par G le point


b. Z CD  z D  zC  2i   3  i  3  i


Z CG  zG  zC  4 3  6i   3  i  5 3  5i
Donc Z CG  5Z CD
 5CD

Soit CG=
Les vecteurs sont colinéaires donc les points C, G et D sont alignés.
d.


Z BG  zG  z B  4 3  6i  4 3  4i  2i
Z OD  z D  zO  z D  2i
G= O
Dsoit BGDO est un parallélogramme.
Donc B
5. Pour déterminer la nature du triangle ACG, on peut calculer le quotient :





i
z C  z A  3  i  4 3  4i
 5 3  5i (5 3  5i)i  5i 3  5 1
3




 i
e 3
z G  z A 4 3  6i  4 3  4i
10i
 10
 10
2
2
Donc
 z  zA  
zC  z A
  2 
 1 et arg C
zG  z A
 zG  z A  3

2  .
3
Le triangle ACG est donc équilatéral.
 ;AC)=

Donc AC = AG et (AG
Exercice 2
(E) z 3  2 z 2  16  0
1. 23  2  2 2  16  8  8  16  0
Donc 2 est bien solution de (E)
z  2az 2  bz  c  az 3  (b  2a) z 2  (c  2b) z  2c
Par identification, a  1 , b  2a  2, c  2b  0, - 2c  16
Soit a  1, b  4, c  8
2. On a donc z 0  2  2e i 0 ;
on résout z 2  4 z  8  0 :   16  4  8  16  4i 
d'où les solutions :
 4  4i
z1 
 2  2i et z 2  2  2i
2
S  2 ;  2  2i,  2  2i
2
 =
4. C est tel que DC
AB  zC  z D  z B  z A  zC  2  (2  2i)  (2  2i)  2  4i
z C  2  4i
5. a. Si le triangle DCF est rectangle isocèle direct alors DC = DF et (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Donc le quotient
soit :
[
]
z F  z D  izC  z D   z F  i4  2i   2  2i  4  6i .
z F  4  6i
b. On calcule :
z F  z A  4  6i  2  2i  2  8i i2i  8



i
zE  z A
6  2  2i
8  2i
8  2i
zF  z A
 1 donc AF  AE
zE  z A


 z  zA  

  2  donc AE ; AF  2 
arg F
2
 zE  z A  2
donc EAF est isocèle et rectangle en A.
Exercice 3
Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormal direct
⃗ ⃗ d’unité 2 cm, on
considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
zA = − i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD = − 1+2i.
2. a. |
|
|
|
|
|
(
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )[
)
]
b.
c. |
|
|
(
|
donc
soit
] donc (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
[
)
[
]
Les segments [AC] et [BD] sont perpendiculaires et de même longueur.
3. a. On montre que ABCD est un parallélogramme.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Donc
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
soit ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et par suite, ABCD est un parallélogramme.
De plus, ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires donc ABCD est un losange.
Elles sont même de même longueur donc ABCD est un rectangle.
ABCD est à la fois rectangle et losange donc ABCD est un carré.
b. Calculer l’aire
du quadrilatère ABCD.
|
|
|
|
(√ )
L’unité est de 2 cm sur chaque axe donc l’unité d’aire est de 4 cm².
On en déduit que
.
4. a. Voir figure.
b. Soit l’aire du carré
.
Le segment [CD] a été coupé en trois parties égales donc
√
(
Donc
)
5. a. Voir figure.
b. Soit l’aire du carré
√
cm²
.
A chaque étape, le côté du nouveau carré vaut du côté du carré précédent.
Don l’aire du nouveau carré vaut de l’aire du carré précédent.
.
La suite (
Donc
est géométrique de raison et de premier terme
( ) .
.
c.
est l’aire de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés
.
( )
Donc
[
( )
] (Formule de la
somme des termes d’une suite géométrique).
[
Donc
( )
( )
d.
Donc (
]
car
(résultat connu sur la limite de suites géométriques).
) est convergente et sa limite est 45 cm².
EXPONENTIELLES
Exercice 1
1
1  x
1. a. g ' ( x)  2  e 3 qui est donc toujours positive.
3
1
b. lim  x  
x  3
Donc lim e
x 
1
 x
3
 lim e X  0
X 
Et par suite lim g ( x)  lim 2 x  
x 
x 
c. g est continue, monotone strictement croissante et va de 0 ;   vers  1 ;   (g(0) = -1).
0 est donc une valeur intermédiaire donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour
les fonctions monotones, l’équation g ( x)  0 admet une unique solution  dans 0 ;  
On calcule g(0,4)  0,07  0
g(0,5)  0,153  0
Donc 0,4    0,5
d. Comme g est croissante,
si x<  alors g(x) < g(  ) = 0 donc g est négative sur 0;  .
g est positive sur  ; .
1
 x
3
e. f ' ( x)  2 x  e
= g (x) .
Donc f ' est du signe de g.
Sur 0;  , f est strictement décroissante.
Sur  ; , f est strictement croissante.
2. a ; Même raisonnement que pour g.
lim x 2  3  
x 
lim 3e
1
 x
3
0
x 
Donc lim f ( x)  
x 


b. f ( x)  x 2  3  3e
par ailleurs lim 3e
1
 x
3
x 
1
 x
3
qui est bien sûr positif donc C est au-dessus de P ;
0
donc C et P sont asymptotes en +
3. a. Tableau :
x
0
alpha
+
0
f'x
0
+
x²exp/x
f(alpha)
b. Comme on le voit sur le tableau de valeurs, f(  ) < 0.
f est continue et strictement croissante sur  ;   .
Pour tout x   ;   , f ( x)   f ( ) ;   avec f(  ) < 0.
Donc 0 est une valeur intermédiaire.
D’après le T.V.I, l’équation f ( x)  0 admet une unique solution a dans  ;   .
f (0,8)  0,06 et f (0,9)  0,032
Donc 0,8  a  0,9
c. Signe de f
x
0
f(x)
0
-
d. Courbe et tangente en 0 :
a
0

+
f ' (0)  g (0)  1 et f (0)  0 . Donc la tangente en 0 a pour équation : y   x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-1
SUITES
Exercice 1
On définit la suite u n  par son premier terme u 0  3 et par la relation de récurrence :
u n 1 
un  8
.
2u n  9
5. Soit f la fonction définie sur   ; 4,5 par f ( x) 
variations suivant :
x
-
1
9
2
f'(x)

1
(x-8)/(2x-9)
1
2
x 8
dont on donne le tableau de
2x  9
Pour déterminer les variations, on calcule la dérivée :
2 x  9  2x  8  7
f ' ( x) 
2 x  92
2 x  92
Sur   ; 4,5 , 7  0 et 2 x  92  0 donc f ' ( x)  0 .
Donc f est bien strictement croissante sur   ; 4,5 .
x
1 1
 lim 
x  2 x
x  2
2
lim f ( x)  lim
x 
f (1) 
7
1
7
1 
Si x    ; 1 alors f ( x)   ; 1    ; 1.
2 
6.
Initialisation : u 0  3  1
Hérédité : On considère un entier k tel que u k  1 . On veut montrer que u k 1  1
u k 1  f (u k )
Si x    ; 1 alors f ( x)    ; 1
Or u k    ; 1 par hypothèse donc u k 1    ; 1 .
La propriété est héréditaire.
Conclusion : pour tout n entier, u n  1
Pour tout n, u n  1 donc u n  4,5 donc la suite est toujours définie.
un  8
u  8  2u n  9u n  2u n  10u n  8
 un  n

2u n  9
2u n  9
2u n  9
2
3. u n1  u n 
2
 2 x 2  10 x  8
sur   ; 1 car pour tout n, u n    ; 1 .
2x  9
 2 x 2  10 x  8 :   100  4  (2)  (8)  36
On étudie le signe de
x1 
 10  6
 10  6
 4 et x 2 
1
4
4
x
-
x^x
1
0
x
x^x/x
On en déduit que, pour tout n, u n1  u n  0
La suite u n  est croissante.
7. La suite u n  est croissante et majorée par 1 donc convergente.
l 8
La limite l est solution de
 l  l  8  2l 2  9l  2l 2  10l  8  0  l  1 ou l  4
2l  9
La seule possibilité est l  1 .
La suite u n  converge vers 1.
Exercice 2
On considère les suites (u n ) et vn  définies pour tout entier naturel n par :
u 0  0
v 0  2



3u n  1 et 
3v  1
u n 1 
v n 1  n


4
4


1. u1 
1
4
3
7
21
37
1
1
7
37
; u 3  16
u2  4
 4 
 16 
4
4 16
4
4
64
7
v1 
4
75
21
1
1
25
91
.
v2  4

; v3  16

4
16
4
64
2.
3. On considère la suite ( s n ) définie pour tout entier naturel n par : s n  u n  vn
1 7 8
  2
4 4 4
7 25 32
s2  u 2  v2 


2
16 16 16
37 91 128
s 3  u 3  v3 


2
64 64 64
On peut supposer que la suite est constante telle que, pour tout entier naturel n, s n  2
a. s1  u1  v1 
b. Démonstration par récurrence :
Soit P(n) la propriété : pour tout entier naturel n, s n  2
Initialisation : P(0), P(1) , P(2) et P(3) sont vraies (voir question 3a)
Hérédité : On suppose que pour un entier positif k, P(k) est vraie soit s k =2.
On veut montrer que s k 1 =2
 3u  1   3vk  1  3u k  3vk  2 3s k  2 8
s k 1  u k 1  vk 1   k

 2


4
4
4
 4   4 
Donc P(k+1) est vraie.
La propriété est héréditaire.
Conclusion : pour tout entier naturel n, s n  2 .
4. On considère la suite ( d n ) définie pour tout entier naturel n par : d n  vn  u n
a. Pour tout entier naturel n d n1  vn1  u n1 
 3u n  1   3vn  1  3u n  1  3vn  1 3u n  vn  3

 dn



4
4
4
 4   4 
Donc la suite ( d n ) est géométrique de raison
3
et de premier terme d 0  v0  u0  2 .
4
n
3
b. Pour tout entier naturel n, d n  2    .
4
5.
s n  u n  vn =2
n
3
d n  vn  u n = 2    .
4
n
3
3
Par addition, 2v n  2  2     v n  1   
4
4
n
n
n
3
3
Par soustraction, 2u n  2  2     u n  1    .
4
4
n
n
3
3
6. La suite n    est géométrique de raison comprise entre -1 et 1 donc lim    0 et
n


4
4
par suite, lim u n  lim vn  1 .
n
n
Les deux suites convergent vers 1.
PROBABILITES CONDITIONNELLES
Exercice 1
Un sondage effectué récemment dans une région montagneuse à propos de la construction
d’un barrage donne les résultats suivants :
 65% des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage.
 parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70% sont des écologistes.
 parmi les personnes favorables à la construction, 20% sont des écologistes.
On note C l’événement « la personne interrogée est contre la construction » et C l’événement
contraire.
On note E l’événement « la personne interrogée est écologiste ».
On note F l’événement « la personne interrogée est contre la construction et n’est pas
écologiste ».
E
0,70
C
0,65
0,35
0,30
0,20
E
0,80
E
1. p(C )  0,65 ; pC ( E )  0,7 ; pC ( E )  0,3 (Ce sont des données de l’énoncé).
2.a. On cherche p(C  E )  p(C )  pC ( E )  0,65  0,7  0,455 .
b. On cherche p(C  E )  p(C )  pC ( E )  0,35  0,2  0,07 .
3. C et C forment une partition de l’univers (ensemble des personnes sondées).
Donc E  E  C   E  C  avec E  C et E  C incompatibles.
D’où p( E )  p( E  C )  p( E  C )  0,455  0,07  0,525.
1. a. p( F )  p(C  E )  p(C )  p E (C )  0,65  0,3  0,195.
b.
On choisit au hasard 5 personnes parmi celle qui ont été interrogées (on suppose que
les choix des 5 personnes sont indépendants les uns des autres).
On note Fn la n-ième personne est contre la construction et non écologiste.


On cherche p F1  F2  F3  F4  F5  (1  0,195) 5  0,3380 .
p(au moins une de ces personnes est contre la construction et n’est pas écologiste)
 1-0,3380 =0,662.
Exercice 2
Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu’un incident se
produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en
défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :
• la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il y ait eu incident, est
1
1
égale à
, ce qui se traduit par p( A  I ) 
.
50
50
1
• la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche est égale à
; ce
500
1
qui se traduit par p( I  A ) 
500
1
1
• la probabilité qu'un incident se produise est égale à
, ce qui se traduit par p( I ) 
.
100
100
A
I
A
Partie A
1. On cherche p( I  A) .
A et A forment une partition de l’univers et A  I et A  I sont incompatibles.
1
1
4
p( I )  pI  A  p( I  A )  p( I  A) 


100 500 500
A =  A  I   A  I 
I et I forment une partition de l’univers et A  I et A  I sont incompatibles.
4
1
14
Donc p( A)  p A  I   pA  I  
.


500 50 500
1
50
p( A)  0,028
2. Le système d'alarme est mis en défaut si l’alarme se déclenche sans qu’il y ait d’incident ou
si l’alarme ne se déclenche pas quand il y a incident.
1
1
11
p  p  A  I   p A  I  


50 500 500
p  0,022
4
p( A  I ) 500 2


3. On cherche p A ( I ) 
14
p( A)
7
500
p A ( I )  0,286
Partie B
Les assureurs estiment qu'en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant :
• 1 000 € pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ;
• 3000 € pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas ;
• 200 € lorsque l'alarme se déclenche par erreur.
On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.
Soit X la variable représentant le coût journalier des anomalies pour l'entreprise.
1. Loi de probabilité de X.
X peut prendre les valeurs 0, 200, 1000 et 3000 €.
p(X=0) = p I  A 
p(X=200)= p I  A =
1
50
4
p(X=1000)= p I  A =
500
1
p(X =3000)= pI  A  
500
On vérifie aisément que la somme vaut 1.
xi
0
p ( X  xi )
1  reste 
485
500
200
1000
3000
1
50
4
500
1
500
2. Coût journalier moyen des anomalies= 200 
Les anomalies coûtent 18€ par jour.
1
4
1 900
 100   300 

 18
50
50
50 50
Exercice 3
Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées 1, 2, 3.
Deux concurrents A et B sont en présence. On admet qu'à chaque lancer, chacun d'eux atteint
une case et une seule et que les lancers sont indépendants.
Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1,2,3 sont respectivement : 1/12 ;
1/3 ; 7/12.
Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.
N.B : Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Le concurrent A lance la fléchette trois fois. Les résultats des trois lancers sont
indépendants donc on pourra utiliser le principe multiplicatif pour calculer les probabilités.
3
343
7
a. On cherche p(3;3;3)     
.
1728
 12 
1 1 7
7
b. On cherche p(1;2;3    
12 3 12 432
c. Il atteint les cases 1, 2, 3 soit (1 ;2 ;3) ou (1 ;3 ;2) ou (2 ;1 ;3) ou (2 ;3 ;1) ou (3 ;1 ;2) ou
(3 ;2 ;1).
1 1 7
42
7
D’où p  6    
(Le « 6 » correspond au 6 cas possibles)

12 3 12 432 72
2. On choisit un des deux concurrents. La probabilité de choisir A est égale à deux fois la
probabilité de choisir B.
1
2
Donc p( A)  2 p( B) avec p( A)  p( B)  1  p( B)  et p( A)  .
3
3
a. Un seul lancer est effectué.
On fait un arbre (On note C 3 « la case 3 a été atteinte »).
Pour le concurrent B, il atteint les trois cases avec la même probabilité donc
C3
A
B
2
3
On cherche pC3  .
A et B forment une partition de l’univers (ensemble des tirs).
1
.
3
Donc C3  C3  A  C3  B  avec C3  A et C3  B incompatibles .
D’où p(C3 )  p(C3  A)  p(C3  B)  p( A)  p A (C3 )  p( B)  p B (C3 ) .
2 7 1 1 14 1 14  4
   
 
3 12 3 3 36 9
36
1
p(C3 ) 
2
p(C3 ) 
b. Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte.
2 7

p(C3  A) 3 12 14
28 7
On cherche pC3 ( A) 


2 

1
p(C3 )
36
36 9
2
Si la case 3 est atteinte, il y a 7 chances sur 9 pour que ce soit A qui ait lancé la fléchette.