Transcript Devoir maison n°8

Devoir maison n°8
Exercice 1 : (10,5 points)
Un constructeur de composants produit des résistances. La probabilité qu’une résistance soit défectueuse est égale
à 0,005.
1) Dans toute la question 1) on ne fera aucun arrondi.
On s'intéresse à un lot de 3 résistances.
Soit X la variable aléatoires qui compte le nombre de résistances défectueuses.
a) La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale ? Si oui, préciser ses paramètres. Justifier.
b) Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
c) Calculer la probabilité qu'exactement deux résistances soient défectueuses ?
d) Calculer la probabilité qu'au plus deux résistances soient défectueuses ?
e) Calculer la probabilité qu'au moins deux résistances défectueuses ?
f) Déterminer E(X).
g) Représenter graphiquement la loi de probabilité de X.
2) Dans toute la question 2) on arrondira à 4 chiffres après la virgule.
On s'intéresse maintenant à un lot 1000 résistances.
Soit X la variable aléatoires qui compte le nombre de résistances défectueuses.
a) Calculer la probabilité qu'exactement deux résistances soient défectueuses ?
b) Calculer la probabilité qu'au plus deux résistances soient défectueuses ?
c) Calculer la probabilité qu'au moins deux résistances défectueuses ?
Exercice 2 : (3,5 points)
Une classe compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un
élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés.
On considère un entier positif ou nul n et on note X la variable aléatoire qui correspond au nombre de filles
interrogées au cours de n jours consécutifs.
1) Quelle est la loi de X ? Justifier.
2) Quelle est la probabilité que sur 10 jours consécutifs, soient interrogées 4 filles exactement ? au moins 4 filles ?
3) Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu’aucune fille ne soit interrogée
soit inférieure à 0,001 ?
Exercice 3 : (6 points)
Monsieur Dupré, PDG d’une société fabriquant du mobilier urbain, s’intéresse au bénéfice réalisé par sa société.
Il fabrique et vend, par semaine, x lots de mobilier.
Le coût de production, en euros, f (x) pour x lot de mobiliers s’exprime en fonction du nombre de lots x par
l’expression : f (x )=x ( x+72)+3952 .
1) Chaque lot étant vendu 200 euros calculer le prix de vente de x lots vendus puis , montrer que le bénéfice réalisé
pour x lots produits et vendus est : B( x)=− x 2 +128 x − 3952 .
2) a) Calculer B'(x) pour tout réel x positif ou nul.
b) Etudier les variations de B sur [0;+∞[ et dresser le tableau de variations de B.
c) Quel est le bénéfice maximal que peut espérer Monsieur Dupré? Pour combien de lots fabriqués et vendus?
3) Trouver la valeur de x pour laquelle le bénéfice sera de 100€.