Transcript Dénombrement et probabilité.

Chap 8
Dénombrement et probabilité.
Exercices
Si les miroirs réfléchissaient vraiment,
ils ne reflèteraient pas n’importe qui !
Vrai - Faux
Exercice 1.
Soient E et F des ensembles finis, et f une application de E dans F . Déterminer si les propositions
suivantes sont vraies ou fausses :
1. Le nombre d’injection de E dans F est Apn où n = Card(E) et p = Card(F ).
n X
n
= 2n .
2.
k
k=1
n
n
n−1
3. ∀n ∈ N∗ ,
=
+
p−1
p
p−1
4. Le nombre de bijections de E dans E est nn si n = Card(E).
n
n
.
=
5. ∀p ∈ Z, ∀n ∈ N,
n−p
p
n
6. Le nombre d’applications de E dans F est
où n = Card(F ) et p = Card(E).
p
7. Si Card(E) = Card(F ). Pour montrer que f est bijective, il suffit de montrer que f est injective.
Niveau 1
Exercice 2.
Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes : on choisit 5 personnes.
1. Probabilité pour qu’il n’y ait aucun homme.
2. Probabilité d’obtenir 3 hommes et 2 femmes.
1
Exercice 3.
Pour disputer un match, 10 personnes discernables se répartissent en deux équipes discernables de 5
membres chacune.
1. Nombre de répartitions possibles.
2. Nombre de répartitions possibles sachant qu’il y a deux personnes qui ne veulent pas jouer
ensembles.
3. Nombre de répartitions possibles sachant qu’il y a deux personnes qui ne veulent pas être opposées.
Exercice 4.
Une urne contient 3 boules numérotées 1, 2, 3. On effectue 5 tirages avec remise et on note le nombre
de fois où chaque boule est apparue.
1. Quel est nombre de résultats ?
2. Quel est nombre de résultats sachant que la boule 2 n’est pas sortie ?
3. Quel est nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins une fois ?
4. Reprendre les questions précédentes mais cette fois on note les couleurs des boules sortie et leur
position.
Exercice 5.
1. On permute les lettres du mot LOUCHE
a) Probabilité d’obtenir le mot CHELOU.
b) Probabilité que le mot commence par L.
2. On permute les lettres du mot BABAR
a) Probabilité d’obtenir le même mot.
b) Probabilité que les A se suivent.
Exercice 6.
Pour tout m de N, on pose fm (x) = xm . Montrer que pour tout p de N inférieur à n
(p)
fm
(x) = Apm xm−p
où Apm =
m!
.
(m − p)!
Exercice 7.
1. On permute les lettres du mot LOUCHE
a) Probabilité d’obtenir le mot CHELOU.
b) Probabilité que le mot commence par L.
2. On permute les lettres du mot BABAR
a) Probabilité d’obtenir le même mot.
b) Probabilité que les A se suivent.
2
Exercice 8.
Soient n et k des entiers naturels vérifiant 0 < k ≤ n. Calculer les sommes suivantes :
1.
S1
2.
S2
n
n
n
=
+2
+
k
k−1
k−2
n
n
n
n
n
n
n
=
−
+
−
+
−
+ . . . + (−1)k
0
1
2
3
4
5
k
Exercice 9.
On répartit 10 œufs indiscernables dans 3 paniers discernables.
1. Probabilité d’avoir la répartition (2, 5, 3).
2. Probabilité pour que tous les œufs soient dans le même panier.
3. Probabilité pour que tous les œufs ne soient pas dans le même panier.
Exercice 10.
Déterminer la probabilité que parmi n personnes, il y en ait deux au moins qui soient nées le même
jour de l’année. Montrer que 23 personnes est le premier entier qui donne une probabilité supérieure à
50 %.
Niveau 2
Exercice 11.
Le but de l’exercice est de calculer les sommes S1 =
n
X
kCnk , S2 =
k=0
1. Considérons la fonction f (x) =
n
X
Cnk xk .
k=0
a) Donner une expression de f sans symbole somme.
b) Dériver f sous ses deux formes et en déduire S1 .
c) En dérivant la fonction x 7→ x.f 0 (x) en déduire S2 .
d) Trouver la primitive de f nulle en 0. En déduire S3
2. Autre méthode pour la première somme.
k−1
a) Montrer que kCnk = nCn−1
.
b) En déduire S1 .
3
n
X
k=0
k 2 Cnk et S3 =
n
X
k=0
1
Ck
k+1 n
Exercice 12.
1. Dans une assemblée de n personnes, combien y-a-il de façons de choisir un bureau de p personnes
et un président.
p
2. En déduire que nCn−1
= (n − p)Cnp = (p + 1)Cnp+1
Exercice 13.
Une urne contient des boules blanches indiscernables et des boules noires indiscernables. On tire
successivement n boules de l’urne en remettant chaque fois la boule tirée.
1. Quel est le nombre de résultats possibles ?
2. Parmi ces résultats combien y-en-a-t-il contenant :
a) 1 boule noire au plus ?
b) 3 boules blanches exactement ?
c) 1 boule blanche au moins ?
Exercice 14.
Un jeu comporte 32 cartes dont 8 par couleur (coeur, pique, carreau, trèfle). Une main est constituée
de 8 cartes non ordonnées.
1. Quels est le nombre de mains possibles ?
2. Combien de mains contiennent un as au moins ?
3. Combien comprennent au moins un coeur ou une dame ?
4. Combien ne contiennent que des cartes de deux couleurs au plus.
j
k
R
Exercice 15.
En calculant (1 +
x)2n
de 2 manières différentes, montrer que
n X
Cnk
2
n
= C2n
k=0
Exercice 16.
On dispose au hasard 8 tours indiscernables sur un échiquier (64 cases).
1. De combien de manières peut-on disposer ces 8 tours.
2. De combien de manières peut-on disposer ces 8 tours, pour que respectivement :
a) sur chaque ligne, il n’y ait qu’une seule tour.
b) sur chaque ligne et chaque colonne, il n’y ait qu’une seule tour.
c) sur chaque colonne, il n’y ait qu’une seule tour, mais deux par deux, les tours sont sur une
même ligne.
4
Niveau 3
Exercice 17.
1. Montrer que
X
(a1 + a2 + . . . + ap )n =
n1 +n2 +...+np =n
ni ≥0
n!
n
an1 1 an2 2 . . . ap p
n1 !n2 ! . . . np !
2. Déterminer le nombre de termes dans le développement de (a1 + a2 + . . . + ap )n .
Exercice 18.
Une entreprise emploie 16 femmes et 19 hommes. On élit le bureau directeur du comité d’entreprise,
composé d’un président, d’un vice-président et d’un trésorier. Les postes ne sont pas cumulables.
1. Quel est le nombre de bureaux possibles ?
2. Quel est le nombre de bureau :
a) où le poste de vice-président est occupé par une femme ?
b) où le président et le trésorier sont des hommes ?
c) où le président et le vice-président ? sont de sexes différents.
3. Quel est le nombre de bureaux possibles, sachant que le président est un homme, le vice-président,
une femme et que M. Dupond refuse siéger avec Mme Dupuis ?
Exercice 19.
Soit E un ensemble fini tel que |E| = n. Calculer
X
X
|A|
|A ∩ B|
A⊂E
A⊂E, B⊂E
X
A⊂E, B⊂E
5
|A ∪ B|