Transcript Des situations familières concernant les instruments produisant du hasard PP FF PP P FF F G P P G Le lancer de punaise : P F G P G En lançant un grand nombre de fois la punaise, on.

Des situations familières concernant les instruments produisant du
hasard
PP
FF
PP
P
FF
F
G
P
P
G
1
Le lancer de punaise :
P
F
G
P
G
En lançant
un grand nombre de fois la punaise, on obtient une suite de
G et de P.
P
Quelle est la probabilité d’obtenir G ?
2
« On peut supposer qu’une chose particulière se produira ou non
autant de fois qu’elle s’est produite ou non dans le passé, dans des
circonstances semblables ».
« Même le plus stupide des hommes, par quelque instinct de la nature,
par lui-même et sans aucune instruction (et c’est une chose
remarquable), est convaincu que plus on fait d’observations, moins on
risque de s’écarter de notre but ».
Bernouilli
3
Pour certains des jeux évoqués précédemment, on peut obtenir la
F
probabilité d’un résultat (d’une issue) par Pdes considérations
de
symétrie ou de comparaison.
P
PP
F
FF
P
F
Pour chacun des
jeux, chacun des
deux résultats
possibles ont la
même probabilité :
1/2
La probabilité de
gagner est 1/4, …
G
P
G
La probabilité
d’obtenir une
boule jaune est
2/5.
On a 3 chances
sur 5 d’obtenir
une boule rouge.
P
4
P
F
Pour le lancer de punaise : approche fréquentiste…
G
P
En lançant un grand nombre de fois la punaise, on obtient une suite de
G et de P. Pour un petit nombre d’expériences, cette suite ne semble
suivre Gaucune loi ; mais le résultat global laisse apparaître une
régularité dans la fréquence de sortie de P et de G.
Au début,P la fréquence (relative) du nombre de G varie très fortement.
Mais à la longue, elle tend à se stabiliser autour d’une valeur p [qui
vaut à peu près 5/6].
C’est pour traduire ce fait empirique que l’on dit que la probabilité
d’obtenir G est p.
Pour le lancer de la punaise, on ne peut approcher cette
probabilité que par l’expérimentation.
5
Autres exemples :
2
1
3
Chaque résultat a la même
probabilité : 1/6.
6
4
5
1
2
3
1
3
1
4
5
2
4
3
1
Les résultats 1, 2, 3, 4 et 5 ont respectivement
comme probabilités :
1/3, 1/6, 1/4, 1/6 et 1/12.
La probabilité d’obtenir un résultat pair est
1/6 + 1/6, c’est-à-dire 1/3.
6
1
1
3
2
2
3
10
9
6
8 7
5
0,5
10
9
8 7
6
5
2
3
1
Un tireur novice tire parfaitement au hasard sur la
1
4
5
cible ci-contre. Tous les cercles sont concentriques et
4 rayons
3
1 sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et 6r.
leurs
90
Quelles sont
les probabilités pour le tireur
d’atteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ?
Réponse : 1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36.
Le même tireur tire parfaitement au hasard sur cette
nouvelle cible. Tous les cercles sont concentriques et
leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et le carré a un côté
de longueur 12r.
Quelles sont les probabilités pour le tireur
d’atteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ?
Réponse : 0,022 ; 0,065 ; 0,109 ; 0,153 ; 0,196 ; 0,455.
7
Expériences à deux épreuves : jeu de croix ou pile
1er jet :
P(G:½)
F (½)
alors 2ème jet :
P (G : ½ du 2ème jet)
F (P : ½ du 2ème jet)
Proportion de parties gagnées =
½ au 1er jet + ½ de ½ au 2ème jet =
½ + ½x½ = ½+¼ = ¾
8
Expériences à deux épreuves : jeu de croix ou pile
Simulation au tableur :
Proportion de parties gagnées =
½ au 1er jet + ½ de ½ au 2ème jet =
½ + ½x½ = ½+¼ = ¾
9
Expériences à deux épreuves : suite
R
1
3
2
3
B
2
1/6
1/4
R
1/2
2
1
2
1/3
3
1/6
3/4
B
1
1/2
1/3
Les résultats possibles
sont (R, 1), (R, 2), (R, 3),
(B, 1), (B, 2), (B, 3).
Chacun de ces résultats est
représenté dans l’arbre cicontre par une branche (ou
chemin).
Comment évaluer la
probabilité de chacun d’eux ?
2
3
10
Imaginons que l’on reproduise 120 (ou N) fois l’expérience.
1/4 de ces expériences suivront la branche vers R, et
parmi celles-ci 1/6 iront vers 1. Donc il y en aura :
 1 1

1 1
 120 ou   N 
 6 4

6 4
 1

soit 5 ou
 N 
 24

La fréquence (relative) du résultat (R, 1) est donc 5/120
(ou 1/24).

Ceci conduit à admettre que, de manière générale, la
probabilité “d’un chemin” est égale au produit des
probabilités “rencontrées le long de ce chemin”.
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On peut traiter avec ces représentations en arbres les questions
relatives à deux tirages successifs dans une urne, avec remise ou
sans remise.
Urne avec 3 boules Orange, 2 boules Jaunes, 1 boule Rouge
Probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur.
Tirages avec remise
Tirages sans remise
P(E) = 1/3  1/5 + 1/2  2/5
= 4/15
 27%
1/6
1/3
R
J
1/2
O
2/5
3/5
P(E) = 1/6  1/6 + 1/3  1/3 + 1/2  1/2
= 7/18
 39 %
RR
J
R
O
R
1/5
1/5
J
3/5
O
1/5
R
2/5
J
2/5
O
1/6
1/3
J
J
1/2
O
R
1/6
1/3 J
O
1/2
R
O
J
O
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En résumé
Deux interprétations de la probabilité sont possibles en 3e :
• Approche fréquentiste – La probabilité est estimée à partir de la
fréquence.
• Détermination de la probabilité par comparaison ou symétrie
(cette seconde approche ne doit pas empêcher d’expérimenter).
L’arbre est un moyen de traitement intéressant qu’il convient de
mettre en place sur des expériences à une épreuve. Mais son
utilisation deviendra vraiment intéressante pour des expériences à
deux épreuves.
13
fin
14