Transcript Probabilités - Maths

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Probabilités
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Passer du langage probabiliste au
langage courant et réciproquement.
Calculer la probabilité d'un événement
par addition des probabilités
d'événements élémentaires.
Reconnaître et réinvestir des situations
de probabilités issues d'expériences
aléatoires connues : tirages aléatoires
avec ou sans remise, urnes.
Calculer la probabilité d'un événement
contraire.
Calculer la probabilité de la réunion
d'événements incompatibles.
Utiliser la formule reliant la probabilité
de "union" et de "inter".
Expérience aléatoire, événement
élémentaire, univers, événement.
Réunion et intersection d'événements.
Evénements incompatibles, événements
contraires.
Probabilité d'un événement.
Evénements élémentaires équiprobables.
Evénements élémentaires non
équiprobables.
Activité 1
La saisie intuitive a été développée à partir de 1985, comme méthode de
communication téléphonique avec les malentendants. Aujourd'hui, elle trouve son
utilité principale dans le service de messagerie textuelle des téléphones mobiles. Le
T9 est le mode le plus répandu.
1. Si vous tapez sur votre service de messages textuels le nombre 227, en mode T9
désactivé, quel mot s'affiche à l'écran ?
AAP AAQ AAR
2. Voici la liste des combinaisons de lettres
ABR
ABS
possibles en n'utilisant que les touches 2, 2
BAP BAQ BAR
et 7 dans cet ordre :
BBR
BBS
AAS
ABP
ABQ
ACP ACQ ACR ACS
BAS
BBP
BBQ
BCP BCQ BCR BCS
CAP CAQ CAR CAS
CBP CBQ
CBR CBS CCP CCQ CCR CCS
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Chaque triplet ordonné de lettres constitue un événement élémentaire.
L'ensemble de tous ces événements élémentaires constitue l'univers Ω.
Combien y a-t-il d'événements élémentaires au total ?
3. Soit l'événement 𝐴 : "le mot existe". Entourer au crayon à papier les triplets de
lettres correspondant à l'événement A. Combien y en a-t-il en tout ?
4. Soit l'événement 𝐴 (événement contraire de l'événement 𝐴) :"le mot n'existe pas".
Combien y a-t-il de triplets de lettres correspondant à l'événement 𝐴 ?
5. Sur ces combinaisons de lettres, quelle est la fréquence de mots éliminés par le
mode T9 ?
6. Choisissez un mot de trois lettres qui existe. Combien de touches auriez-vous du
actionner pour afficher ce mot sans le mode T9 ?
7. Le mode T9 est-il utile ? Justifier votre réponse.
Activité 2 - Quelle est la probabilité pour que Tom tire au sort le sujet M3 de
maths-sciences ?
Au cours de l'épreuve de l'oral de contrôle du baccalauréat professionnel de la
session 2012, Tom doit tirer au sort parmi l'épreuve de maths-sciences ou l'épreuve
professionnelle.
Une fois l'épreuve choisie, il doit de nouveau tirer au sort le sujet qu'il faudra traiter.
Pour les maths-sciences, il y a quatre sujets possibles : M1, M2, M3, M4.
Pour l'épreuve professionnelle, il y a quatre sujets possibles : P1, P2, P3, P4.
Tom est le premier candidat à tirer au sort.
Déterminer la probabilité qu'à Tom de tirer au sort le sujet M3.
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I. Probabilité d'un événement
L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est nommé univers :
Ω = {𝑥! , 𝑥! , … , 𝑥! }
On attribue une probabilité 𝑝! comprise entre 0 et 1 à chaque issue 𝑥! avec :
𝑝! + 𝑝! + ⋯ + 𝑝! = 1
Un événement formé d'une seule issue est appelé événement élémentaire.
Si les événements élémentaires ont tous la même probabilité, ils sont dits
équiprobables. La probabilité de l'événement est :
𝑝=
1
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 Ω
La probabilité d'un événement 𝐴, notée 𝑝(𝐴), est la somme des probabilités des
issues qui le réalisent.
Ex.: Lancer d'un dé.
Evénement : sortie d'un nombre pair. Ω = {2, 4, 6}
𝑝(𝑝𝑎𝑖𝑟) = 𝑝(2) + 𝑝(4) + 𝑝(6) =
1 1 1
3
1
+ + = = 6 6 6
6
2
II. Opérations sur les événements
1. Réunion et intersection d'événements
La réunion de 2 événements 𝐴 et 𝐵 est l'événement constitué des résultats qui
réalisent l'événement 𝐴 ou l'événement 𝐵.
On note 𝑨 ∪ 𝑩 et on lit "A union B".
L'intersection de 2 événements 𝐴 et 𝐵 est l'événement constitué des résultats qui
réalisent à la fois l'événement 𝐴 et l'événement 𝐵.
On note 𝑨 ∩ 𝑩 et on lit "A inter B".
Les probabilités de ces deux événements sont liées par :
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
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Ex.: On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
L'univers est l'ensemble des 32 cartes du jeu.
On s'intéresse aux événements :
𝐴 : "la carte tirée est un as"
𝐵 : "la carte tirée est un cœur"
!
!
!
!
L'événement 𝐴 est constitué de 4 événements élémentaires : 𝑝(𝐴) = !" = ! L'événement 𝐵 est constitué de 8 événements élémentaires. 𝑝(𝐵) = !" = !
𝐴 ∪ 𝐵 correspond à l'événement : "la carte tirée est un as ou un cœur"
!
𝐴 ∩ 𝐵 correspond à l'événement : "la carte tirée est un as de cœur" 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = !"
!
!
!
!!
Ainsi : 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = !" + !" − !" = !"
2. Evénements incompatibles, événements contraires
Deux événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucun résultat en
commun. On note 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (ensemble vide)
Il est impossible dans ce cas de réaliser 𝐴 et 𝐵 simultanément.
Ex.: considérons l'événement 𝐶 : "la carte tirée est un valet"
Les événements 𝐴 et 𝐶 sont incompatibles.
Deux événements sont contraires si :
- ils n'ont aucun résultat en commun ;
- la réunion de leurs résultats forme l'univers.
On note 𝐴 l'événement contraire de 𝐴. On lit "𝐴 barre".
𝑝(𝐴 ) = 1 − 𝑝(𝐴)
Ex.: l'événement contraire de 𝐶 est :
𝐶 :"la carte tirée n'est pas un valet"
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Exercices
Exercice 1
Une urne contient trois boules de couleurs différentes (jaune, vert, noir). On tire au
hasard une première boule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. On
note leurs couleurs.
1. À l'aide d'un arbre, déterminer toutes les issues de cette expérience aléatoire.
2. Déterminer les issues de l'événement "les deux boules sont de la même couleur".
3. Donner un exemple d'événements élémentaires pour ce tirage.
Exercice 2
Un fabricant réalise des antivols de vélo à combinaison. Une combinaison est formée
de trois chiffres, chaque chiffre pouvant être compris entre 1 et 5.
a. Représenter la situation à l'aide d'un arbre.
b. Déterminer la probabilité pour avoir une combinaison avec deux chiffres identiques
sur les trois.
Exercice 3
Un site météorologique annonce : « Il pleuvra demain dans la ville X avec une
probabilité de 0,7 ». Quelle est la probabilité qu'il n'y pleuve pas ?
Exercice 4
On lance un dé équilibré. On considère les
événements A « sortie du 6 » et B
« sortie
d'un nombre pair ».
1. L'expérience était une expérience aléatoire dans
les issues sont équiprobables ?
2. Calculez la probabilité de l'événement 𝐴, noté et entre (A) à 0,001 près.
3. Calculez la probabilité de l'événement B.
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Exercice 5
Le tableau suivant donne les résultats d'une enquête auprès de 10 000 personnes
portant sur la pratique d'une activité sportive.
Nombre de fois par semaines
TOTAL
Jamais
1
2
3
Femmes
200
1450
850
1000
3500
Hommes
500
1250
4000
750
6500
TOTAL
700
2700
4850
1750
10 000
On considère les événements :
- A : « Pratiquer un sport une fois par semaine »
- B : « Être un homme »
- C : « Être une femme »
1. Calculer 𝑝(𝐴), 𝑝(𝐵) et 𝑝(𝐶).
2. Exprimer l'événement 𝐵 ∪ 𝐴 et calculer 𝑝(𝐵 ∪ 𝐴).
3. Exprimer l'événement 𝐵 ∪ 𝐶 et calculer 𝑝(𝐵 ∪ 𝐶).
Exercice 6
Deux joueurs décident de lancer un dé non truqué à 6 faces pour savoir qui
commencera une partie de dominos.
1. Quelle est la probabilité que le premier
joueur obtienne la face 1 ?
2. Le deuxième joueur a-t-il la même
probabilité d'obtenir cette face 1 ?
3. Le premier joueur obtient la face 4.
Quelle est la probabilité pour que le
deuxième
joueur
obtienne
une
face
supérieure à 4 ?
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Exercice 7
Dans un casino, un groupe d'amis a décidé de jouer à la roulette. La roulette
comporte des cases numérotées de 0 à 36.
1. a. La sortie d'un nombre est-elle une expérience aléatoire ?
b. Combien d'issues constituent l'univers de cette expérience ?
2. Toutes les issues ont la même probabilité. Il y a équiprobabilité.
a. Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10-3 près, de la
probabilité de sortie du nombre 32.
b. L'événement A est « la boule s'est arrêté sur un nombre multiple de 4 ».
Indiquer le nombre d'issues qui réalisent A.
c. Sur une longue période, le croupier du casino à relever que lors de 100 lancers
de la boule l'événement A s'est produit 29 fois, puis sur 1000 lancés 263 fois.
Vers quelle valeur se rapproche la fréquence de réalisation de l'événement A lorsque
l'on augmente beaucoup le nombre d'observations ?
3. Dans le groupe d'amis, Amaury affirme que la boule à une probabilité plus grande
de s'arrêter sur un nombre supérieur ou égal à 25 que sur un multiple de 4.
a. Déterminer le nombre d'issue qui réalise l'événement B « la boule s'est arrêté
sur un nombre supérieur ou égal à 25 ».
b. Calculer 𝑝(𝐵) à 10-3 près.
c. L'affirmation d'Amaury est-elle exacte ?
Exercice 8
En utilisant les lettres du mot LIMOGES et seulement celles-ci, combien peut-on
former :
1. De mot de trois lettres différentes ?
2. De mot de trois lettres ?
3. De mot de trois lettres différentes commençant par la lettre E ?
On précise, que dans cet exercice, la formation d'un mot de trois lettres est un
assemblage ordonné de trois lettres pouvant être utilisé plusieurs fois. Le mot formé
n'a pas nécessairement un sens.
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