Transcript Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7

Définitions
Soient A et B deux événements d’un univers Ω. On appelle :
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de A et B, et on note A ∩ B (se lit « A et B »), l’événement formé
des éventualités qui réalisent à la fois l’événement A et l’événement B ;
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de A et B, et on note A ∪ B (se lit « A ou B »), l’événement formé
des éventualités qui réalisent l’événement A ou l’événement B, c’est-à-dire au moins l’un des deux ;
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de A, et on note A, l’événement formé
des éventualités de Ω qui ne réalisent pas A.
Dans le cas où aucune éventualité ne réalise simultanément les événements A et B (c’est-à-dire lorsque A ∩ B = ∅),
on dit que ces deux événements sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 4
On considère le diagramme de Venn ci-dessous :
5
A
6
10
2
4
3
Ω
1. Calculer m = 2 × 3 × 5 × 7.
2. En déduire un entier compris entre 200 et 210 qui
ne soit multiple ni de 2, ni de 3, ni de 5, ni de 7.
B
8
Exercice 5
9
3. On choisit au hasard un entier appartenant à
[200; 210]. Donner le nombre d’issues de cette expérience aléatoire. Sont-elles équiprobables ?
7
1
1. Expliciter Ω, A, B, A, A ∩ B et A ∪ B.
2. Donner un exemple d’expérience aléatoire et deux
événements A et B pour lesquels le diagramme de
Venn ci-dessus est une illustration.
4. n désignant un entier naturel non nul, on note An
l’événement « L’entier choisi est un multiple de n. ».
Définir par une phrase chacun des événements
A2 ∩A3 ∩A5 ∩A7 et A2 ∩A3 ∩A5 ∩A7 puis déterminer
leurs probabilités respectives.
5. Ces événements sont-ils contraires l’un de l’autre ?
Propositions
Soient A et B deux événements d’un univers Ω.
① Si A et B sont incompatibles alors
② En général, P (A ∪ B) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
P (A ∪ B) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 6
On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32.
Déterminer la probabilité de chacun des événements :
1. A : « La carte choisie est une figure. »
2. B : « La carte choisie est un carreau. »
3. C : « La carte choisie est un carreau ou une figure. »
Exercice 7
Un hôpital dispose de deux salles d’opération, nommées A et B, qui ont la même probabilité d’être occupées. La probabilité que l’une des salles au moins soit
occupée est 0,9. Celle que les deux soient simultanément occupées est 0,5.
Quelle est la probabilité que la salle A soit occupée ?
Exercice 8
Un sac contient 500 jetons indiscernables au toucher.
Ceux-ci sont d’une des trois couleurs rouge, blanche,
jaune et portent soit le numéro 1 soit le numéro 2.
• 250 sont rouges dont 20 % marqués du numéro 1 ;
• 25 % sont marqués du numéro 1 et 30 % sont blancs ;
• le quart des jetons jaunes sont marqués du numéro 2.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
③ En général, P (A) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. On choisit un jeton au hasard parmi les 500. Calculer les probabilités des événements suivants :
• A : « Le jeton choisi est rouge » ;
• B : « Le jeton choisi porte le numéro 2 » ;
• C : « Le jeton choisi est rouge ou porte le numéro 2 ».
3. On choisit un jeton ; il porte le numéro 1. Quelle
est la probabilité qu’il soit de couleur rouge ?
Exercice 9
1. Soient A et B deux événements incompatibles tels
que P (A) = 0,4 et P (B) = 0,7.
Calculer P (B) puis P (A ∪ B).
2. Soient E et F deux événements tels que P (E) = 0,3,
P (E ∪ F ) = 0,7, P (E ∩ F ) = 0,2. Calculer P (F ).
Exercice 10
On a effectué un test de dépistage d’une maladie sur
mille personnes et on a obtenu les résultats suivants :
• trente-huit tests se sont révélés positifs ;
• trente personnes sont malades et, parmi elles, vingtneuf ont un test positif.
1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
Nb. de personnes
Blanc
Numéro 1
Numéro 2
Total
Rouge
Jaune
Total
avec test positif
avec test négatif
Total
malades
non
malades
Total
On choisit au hasard une de ces mille personnes et on
considère les événements T : « La personne choisie a un
test positif. » et M : « La personne choisie est atteinte
par la maladie. ».
2. Définir par une phrase chacun des événéments T ,
M ∩ T et M ∩ T puis calculer leurs probabilités
respectives.
3. Déterminer la probabilité de l’événement E : « Le
résultat du test est erroné. »
Exercice 11
Un appareil fabriqué en très grande série peut être défectueux à cause de deux défauts notés a et b.
Dans un lot de 1000 appareils prélevés, on a constaté
que 10 présentaient le défaut a, 8 présentaient le défaut b et 4 présentaient simultanément les deux.
1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
Nb. d’appareils
avec défaut a
sans défaut a
Total
avec défaut b
sans défaut b
Total
2. Un client achète un des appareils et on considère
les événements suivants :
• A : « L’appareil choisi présente le défaut a. »
• B : « L’appareil choisi présente le défaut b. »
Définir par une phrase et calculer la probabilité de
chacun des événements suivants :
a) A ∩ B ;
b) A ∪ B ;
c) A ∩ B.
Exercice 12
Dans un lycée de 1300 élèves, 416 se sont faits vacciner
contre la grippe en début d’année scolaire.
Une épidémie de grippe a affecté la population au
cours de l’hiver, et 234 élèves ont contracté la maladie,
dont 13 étaient vaccinés.
1. Compléter, sans justifier, le tableau suivant :
Nb. d’élèves
vaccinés
non
vaccinés
Total
7. Pourquoi peut-on affirmer que ce vaccin, bien
qu’imparfait, a été efficace ?
Exercice 13
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, il est demandé de retrouver la
seule réponse exacte parmi les trois proposées.
Un orthophoniste étudie sa clientèle sur l’année qui
vient de s’écouler. Sur 620 clients, il remarque que :
• 75 % sont des personnes mineures ;
• 30 % sont de sexe féminin ;
• 31 clients sont des hommes majeurs.
Il choisit au hasard la fiche de l’un de ses patients.
On considère les événements suivants :
• m : « La fiche est celle d’une personne mineure. »
et m son événement contraire ;
• H : « La fiche est celle d’une personne de sexe masculin. » et H son événement contraire.
Les résultats proposés sont arrondis à 0,01 près.
1. La probabilité que la fiche soit celle d’un homme
majeur est :
• 0,05
• 0,07
• 0,31
2. La probabilité que la fiche soit celle d’une fille mineure est :
• 0,10
• 0,13
• 0,33
3. L’événement : « la fiche est celle d’une femme ou
d’une personne mineure » est :
• m∪H
• m∩H
• m∪H
4. La probabilité que la fiche soit celle d’une personne
majeure ou d’une personne de sexe masculin est :
• 0,05
• 0,90
• 0,95
5. Sachant que l’on a tiré une fiche d’une personne
mineure, la probabilité que ce soit une fille est :
• 0,10
• 0,13
• 0,33
Exercice 14
ayant eu
la grippe
n’ayant pas
eu la grippe
Total
6. On choisit au hasard un élève parmi ceux qui n’ont
pas été vaccinés. Calculer la probabilité qu’il ait eu
la grippe.
1300
2. On choisit au hasard l’un des élèves de ce lycée.
Calculer la probabilité de chacun des événements :
⋆ V : « L’élève choisi a été vacciné. »
⋆ G : « L’élève choisi a eu la grippe. »
3. Définir par une phrase l’événement V ∩ G puis calculer sa probabilité.
Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4
indiscernables au toucher.
On vide cette urne par tirages successifs et on considère le nombre formé par les numéros indiqués sur les
boules en respectant l’ordre des tirages.
Exemple : Si l’on choisit, dans cet ordre, les boules
numérotées 2, 3, 1 et 4, le nombre obtenu est 2314.
1. Justifier que cette expérience aléatoire admet
vingt-quatre issues. Sont-elles équiprobables ?
2. Montrer que l’événement C : « Le nombre obtenu
est divisible par 3. » est l’événement impossible.
4. Calculer la probabilité de l’événement « L’élève
choisi a été vacciné ou a eu la grippe. ».
3. Déterminer les probabilités respectives des événements A : « Le nombre obtenu est supérieur à
4000. » et B : « Le nombre obtenu est pair. ».
5. On choisit au hasard un élève parmi ceux qui ont
été vaccinés. Vérifier que la probabilité qu’il ait eu
la grippe est égale à 0,03125.
4. Définir par une phrase chacun des événements A∩B
et A ∪ B puis déterminer leurs probabilités respectives.