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2nde – Probabilités
• On appelle expérience aléatoire une expérience dont les résultats dépendent du hasard.
• L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers, noté en général
Ω.
• Un événement est une partie de l’univers.
• Un événement élémentaire ne contient qu’un seul élément de l’univers.
Modéliser une expérience aléatoire :
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les distributions des
fréquences obtenues dans des séries de tailles n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devient
grand (exemple donné dans l’exercice 4 des activités).
Exemple : On lance un dé à 6 faces. Les résultats possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Soit B l’événement : « obtenir un nombre pair » B = {2,4,6}
A est un autre événement de Ω. A est l’événement contraire de A : ce sont tous les éléments de Ω qui
ne sont pas dans A. B = {1,3,5}
On appelle réunion de A et de B l’ensemble, noté A U B , des éléments qui sont dans A ou dans B.
Si A = {1,2,3} alors A U B = {1,2,3,4,6}
On appelle intersection de A et de B l’ensemble, noté A I B des éléments qui sont à la fois dans A et
dans B.
A I B = {2}
Deux événements sont disjoints si leur intersection est vide : A I A = ∅
Définition : Ω est un univers fini. On appelle probabilité sur Ω une application P de l’ensemble des
parties de l’univers dans [0, 1] telle que :
- P(Ω) = 1
- Si A est une partie de Ω, alors P(A) est la somme des probabilités des événements élémentaires
contenus dans A. (ou encore le nombre le rapport du nombre d’éléments favorables à A [Card(A) ]
par l’effectif total n de possibilités).
Exemple : On lance le dé à 6 faces. Le dé étant équilibré (il y a équiprobabilité), on a alors
1
P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =
6
Propriétés : 0 ≤ P( A ) ≤ 1
P(A ) = 1 − P(A)
P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A I B)
Si A I B = ∅, P(A I B) = 0
Dans ce cas, on dit que A et B sont
incompatibles et P(A U B) = P(A) + P(B)
A
AI B
B
Dans le cas d’équiprobabilité, si l’univers comporte n éléments, la probabilité de chaque événement vaut
1
.
n
Si A est un événement, la probabilité de A est égale à la somme des probabilités des événements
élémentaires qui constituent A.
3 1
Exemple : Pour le lancé de dé, P( B) = = .
6 2
Exercice 1 :
Une urne contient 60 boules blanches (B), 10 boules rouges (R) et 30 boules noires (N). On tire au hasard
une boule de l’urne et on note sa couleur.
a. Définir une loi de probabilité sur l’ensemble , , des issues de l’expérience.
b. Expliquer comment simuler un tirage à l’aide de la calculatrice.
c. Réaliser la simulation 500 fois. Comparer la distribution de fréquences obtenue à la loi de
probabilité.
Exercice 2 :
La roulette ci-contre donne pour résultat A ou B. Définir une loi
de probabilité sur Ω ; pour modéliser cette expérience.
Exercice 3 :
Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une première boule de l’urne puis,
sans la remettre, on tire une seconde boule. On note leurs numéros. Utiliser un arbre pour préciser la loi
de probabilité de l’expérience aléatoire.
Exercice 4 :
On dispose d’un dé pipé (truqué) dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
• Les faces numérotées de 1 à 5 ont la même probabilité de sortir.
• La probabilité d’obtenir la face 6 vaut 0,3.
Déterminer la probabilité de sortie de chaque face.
Exercice 5 :
Voici la composition d’une urne : quatre jetons portent le numéro 1, trois jetons le numéro 3, deux jetons
le numéro 2 et un jeton porte le numéro 4. On tire au hasard un jeton et on note le numéro n.
a. 1; 2; 3; 4 représente l’ensemble des issues. Définir une loi de probabilité sur E pour
modéliser l’expérience.
b. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
• A : « n est impair »
• B:«3»
Exercice 6 :
La répartition des groupes sanguins dans la population française est présentée dans le tableau suivant :
Groupe sanguin
O
A
B AB
Rh+ 37% 39% 7% 2%
Rhésus
Rh- 6% 6% 2% 1%
L’expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une personne dans cette population. On assimile les
probabilités aux fréquences observées. Quelle est la probabilité de chacun des événements :
• A : « La personne est du groupe A » ?
• B : « La personne est de rhésus positif » ?
• C : « La personne est du groupe AB rhésus négatif » ?
Exercice 7 :
On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite une pièce équilibrée : PFP est
un exemple d’issue (avec P pour Pile et F pour Face).
a. Utiliser un arbre pour obtenir l’ensemble Ω de toutes les issues.
b. Préciser la loi de probabilité sur Ω.
c. Calculer la probabilité de chacun des événements :
• A : « Obtenir une seule fois Pile » ?
• B : « Obtenir exactement deux fois Pile » ?
• C : « Obtenir exactement trois fois Pile » ?
• D : « Obtenir Pile au moins une fois » ?
Exercice 8 :
On place côte à côte de façon aléatoire une salière, un poivrier et un moutardier. Utiliser un arbre pour
calculer la probabilité de l’événement suivant : « La moutarde est placée entre le sel et le poivre ».
Exercice 9 :
Le plan est muni d’un repère. On choisit au hasard un point à coordonnées entières comprises entre 0 et 4.
Quelle est la probabilité pour que le point appartienne à la droite d’équation ?
Exercice 10 :
On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On lit le numéro obtenu. Soient les
événements suivants :
A : « Obtenir le numéro 1 »
B : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 2 »
C : « Obtenir un nombre pair »
a. Ecrire les événements A, B et C sous forme ensembliste. Représenter l’ensemble E de toutes les
issues, ainsi que A, B et C sous forme d’un schéma.
b. Déterminer les événements et . Déterminer la probabilité de chacun des événements
A, B, C, et .
Exercice 11 :
Dans un groupe de 20 personnes, 10 s’intéressent à la pêche, 8 à la lecture et 5 ne s’intéressent ni à la
pêche, ni à la lecture. On désigne au hasard une personne. Calculer la probabilité pour qu’elle s’intéresse :
a) A l’une au moins des deux activités.
b) Aux deux activités.
Exercice 12 :
En informatique, un octet est une suite de huit chiffres tous égaux à 0 ou 1. Par exemple, 10100101 et
00111001 sont des octets.
a. Combien peut-on former d’octets différents ?
b. On écrit un octet au hasard. Calculer la probabilité de chacun des événements :
• A : « Les deux premiers chiffres sont égaux à 1 »
• B : « Le dernier chiffre est égal à zéro »
• •