Transcript CH07F01 ∶ Coe//icients

𝐶𝐻07𝐹01 ∶ 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑢𝑥 Exercice 1: (objectif : reconnaître un schéma de Bernoulli) Pour chaque situation, préciser s’il s’agit d’un schéma de Bernoulli et si c’est la cas prèciser ses paramètres. 1) On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on s’intéresse au nombre de PILES obtenu. 2) On lance un dé équilibré 20 fois de suite et on s’intéresse au nombre de fois où le nombre obtenu est inférieur à 2. 3) Dans une urne contenant 8 boules, il y a 5 blanches. On effectue 3 tirages successifs sans remise. On s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues. 4) Dans une université il y a 3 000 élèves. Parmi ces 3 000 élèves 55% sont des filles. On rencontre 5 élèves au hasard. On s’intéresse au nombre de filles rencontrées. 5) On tire 3 cartes au hasard avec remise dans un jeu de 52 cartes. On s’intéresse au nombre d’as obtenus. Exercice 2 : (coefficients binomiaux) En utilisant un arbre 3 niveaux représentant un schéma de Bernoulli, donner la valeur de : !
!
a)
b) !
!
c) !
!
d) !
!
Exercice 3 : (coefficients binomiaux et calculatrice) ; Calculer à l’aide de la calculatrice ; !
!
a)
b ) !"
!"
c) !"
!
Exercice 4 : déterminer en expliquant votre démarche a) !
!
b) !
!
Exercice 5 : (loi Binomiale) Pour chaque situation suivante on note X la variable aléatoire qui suit la loi Binomiale calculer : a)
b)
c)
d)
P(X=2) lorsque X suit la loi binomiale B(3 ;0,4) P(x=4) lorsque X suit la loi binomiale B(5 ;0,5) P(x=1) lorsque X suit la loi binomiale B(2 ;0,6) P(x<2) lorsque X suit la loi binomiale B(5 ;0,2) CH07F02 : Loi binomiale Exercice1 : Trois amis achètent à Martin sans se concerter une viennoiserie. Ils savent que Martin n’aime que les pains au chocolat et les croissants. On admet que les achats de l’une ou de l’autre de ces viennoiseries sont équiprobables. On note X la variable aléatoire égale au nombre de pains au chocolat apportés à Martin. 1)
2)
3)
4)
Reconnaître la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres Donner l’ensemble des valeurs prises par X Ecrire une phrase traduisant l’évènement (X=2), puis l’évènement (X ≥ 1) Donner sous la forme d’un coefficient binomial le nombre d’issues de l’évènement (X=2) (attention ici on ne demande pas de calculer une probabilité !) 5) Construire l’arbre pondéré représentant la situation 6) Calculer la probabilité que Martin ait 2 pains au chocolat et un croissant 7) Calculer la probabilité que Martin puisse manger au moins un croissant. Exercice 2 : Sur son lecteur MP3, Alexandre écoute 25 chansons de son groupe préféré. Chansons parmi les 25 sont inédites. Il choisit au hasard 4 chansons. Une chanson peut-­‐être choisie plusieurs fois. On note X la variable aléatoire égale au nombre de chansons inédites écoutées. 1) Reconnaître la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres Donner l’ensemble des valeurs prises par X 2) Traduire en écriture probabiliste les évènements : A : « obtenir 3 chansons inédites ». B : « obtenir au moins une chanson inédite». 3) Construire l’arbre pondéré représentant la situation. 4) Donner les coefficients binomiaux correspondants aux issues (X=2) et (X=4) 5) Sans calculer le résultat donner chaque probabilité sous la forme !! 𝑝 ! (1 − 𝑝)!!! a) P(X=2) b) P(X=3) c) P(X=5) Exercice 3 : tirage successifs avec remise Une urne contient 10 boules, dont n bleues, n étant un entier compris entre 1 et 10. On tire successivement avec remise 2 boules de l’urne. 1) Construire l’arbre pondéré correspondant à l’expérience. 2) On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules bleues tirées. ! Justifier que la loi de probabilités suivie par X est une loi Binomiale B (2 ; ) !"
3) Calculer en fonction de n la probabilité d’obtenir : -­‐exactement une boule bleue -­‐au moins une boule bleue. 4) Déterminer le nombre de boules bleues que doit contenir l’urne pour que la probabilité d’obtenir au moins une boule bleue soit égale à 0,96 5) Déterminer le nombre minimal de boules bleues que doit contenir l’urne pour que l’espérance soit supérieure ou égale à 1. Interpréter ce résultat. Exercice 4 : Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que sa probabilité de marquer un panier est égale à 0,6 quel que soit son lancer et s’il a marqué ou non lors de ses précédents lancers. On note X la variable aléatoire égale au nombre de paniers marqués au cours de n lancers successifs. 1) Julien lance le ballon 4 fois de suite. a) Calculer la probabilité qu’il marque 3 paniers b) Montrer que la probabilité que julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256. c) Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier. 2) A l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de lancers que doit réaliser Julien pour que la probabilité de marquer au moins panier soit supérieure à 0,999 ? Exercice 5 : Pour chaque situation on vous demande : -­‐ définir une variable aléatoire suivant une loi binomiale dont on donnera les paramètres (on n’oubliera pas de donner les justifications nécessaires) -­‐ répondre à la question posée Situation1 : on lance 30 fois une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 10 fois « PILE » ? Situation 2 : on tire trois cartes au hasard avec remise dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n’obtenir aucun cœur ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 1 cœur ?