Transcript I Loi binomiale

I
Première S
I
LOI BINOMIALE
Loi binomiale
Définition 1 (Épreuve de Bernoulli)
On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ayant exactement deux issues possibles, qu’on
appelle parfois, pour l’une, succès et, pour l’autre, échec.
Exemple 1
Si on lance un dé et qu’on nomme « succès » l’apparition de la face 6, on obtient la loi de Bernoulli suivante :
xi
1
0
p(X = xi )
1
6
5
6
Propriété 1
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli B(p), alors :
♦ L’espérance de X vaut E(X) = p.
♦ La variance de X vaut V (X) = pq.
Exemple 2
1
5
Dans l’exemple précédent, on obtient E(X) = et V (X) =
.
6
36
Définition 2 (Schéma de Bernoulli)
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de la même épreuve de Bernoulli les épreuves successives
étant supposées 2 à 2 indépendantes.
Exemple 3
On jette trois fois le dé.
Définition 3 (Loi binomiale)
Considérons un schéma de Bernoulli consistant en la repétition de n épreuves de Bernoulli identiques
et 2 à 2 indépendantes et notons p la probabilité d’un succès lors de chaque épreuve.
Soit X le nombre de succès .
On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, généralement notée B (n, p).
Elle est définie par :
 
n
P (X = k) =   × pk × q n−k , ∀ 0 ≤ k ≤ n.
k
Exemple 4
On lance 2 fois un dé bien équilibré. On s’intéresse à l’apparition de la face 6. Chaque lancer est une expérience de Bernouilli
1
.
de paramètre 16 . On obtient donc une loi binomiale B 2;
6
1
I
Première S
nombre de succès
0
1
2
probabilité
25
36
10
36
1
36
LOI BINOMIALE
Exemple 5
1
Soit X le nombres de six obtenus au cours des trois lancers. X suit alors une loi binomiale de paramètre (3, )
6
Exemple 6
On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante.
La probabilité du succès est p(S) = p, la probabilité de l’échec est p(S) = 1 − p = q.
L’expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l’aide d’un mot de trois lettres :
{S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S}
Pour obtenir la loi de probabilité du nombre de succès, on dresse un arbre et compte le nombre d’issues contenant k
succès.
issues
p
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
S
S
p
q
p
q
S
S
S
q
S
La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres 3 et p est
nombre de succès k
0
1
2
3
probabilité pi
q3
3 × p × q2
3 × p2 × q
p3
Remarque :
L’évènement A « obtenir au moins un succès » est l’évènement contraire de l’évènement F « obtenir trois échecs
consécutifs » d’où
p(A) = 1 − q 3
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant une loi Binomiale B(n, p), alors :
♦ L’espérance de X vaut E(X) = np.
♦ La variance de X vaut V (X) = npq.
2
I
Première S
LOI BINOMIALE
Exemple 7
1
5
Dans l’exemple précédent, on obtient E(X) = et V (X) =
.
3
18
Propriété 3
Soient n et p des entiers naturels tels que p ≤ n, on a les propriétés suivantes :
 
 
 

n n
♦   =   = 1.
n
0

n  n 
♦  =

n−p
p
n + 1
 n 
n




 
♦ Relation de Pascal :   + 
.
=
p+1
p+1
p
Triangle de pascal :
 
0
 
1
0
 
1
 
3
 
4
 
0
 
3
 
 
4
 
1
1
 
2
 
 
4
 
2
donne :
1
 
3
 
 
3
 
+
2
1
1
3
3
1
3
 
4
 
3
 
4
 
1
4
Propriété 4 (Formule du binôme de Newton)
Pour tous réels a et b et tout entier naturel n, on a :
 
n
X
n k n−k
(a + b)n =
 a b
k=0
.
1
2
2
1
0
 
 
1
0
 
 
2
2
 
1
 
1
0
 
 
Exemple 8
Développons (x + 2)4 :
3
k
4
6
4
1
II EXERCICES
Première S
 
n
  xk 24−k .
➔ (x + 2)4 =
k=0
k
4
P
➔ Le triangle de pascal nous donne les coefficients : pour n = 4, on obtient respectivement 1 - 4 - 6 - 4 - 1.
➔ Donc : (x + 2)4 = 1 × 24 × x0 + 4 × 23 × x1 + 6 × 22 × x2 + 4 × 21 × x3 + 1 × 20 × x4
= 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4 .
II
Exercices
Exercice 1
Une épreuve consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note S l’événement « la somme des numéros des deux dés est supérieure ou égale à 10 ».
On répète dix fois de suite cette épreuve dans les mêmes conditions.
1. Quelle est la probabilité de S lors d’une épreuve ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois la réalisation de S lors des dix épreuves ?
3. On répète cette épreuve n fois de suite.
(a) Prouver que la probabilité pn d’obtenir au moins une fois la réalisation de S est 1 − ( 65 )n
(b) Quel est le nombre minimum d’épreuves pour que cette probabilité soit supérieure à 0,9 ?
Exercice 2
Une course entre un lièvre et une tortue est simulée par le lancer d’un dé équilibré :
si le résultat est 6, le lièvre l’emporte, sinon, la tortue avance d’une case.
La tortue gagne si elle parvient à avancer de n cases, où n est un entier non nul.
On note pn (T ) la probabilité que la tortue gagne.
1. Proposer un algorithme permettant de simuler cette expérience aléatoire.
2. On se place dans le cas où n = 4.
(a) Calculer la probabilité que la tortue remporte la course.
(b) Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un vainqueur.
Déterminer la loi de probabilité de X et le nombre de lancer moyen nécessaire à l’obtention d’un
vainqueur.
(c) Dix parties indépendantes sont jouées. Quelle est la probabilité que la tortue gagne cinq fois ? Au
moins une fois ?
3. Dans cette question on suppose n quelconque.
(a) Calculer pn (T ) et déterminer pour quelle valeur de n le jeu est favorable à la tortue.
(b) Calculer l’espérance du nombre de parties remportées dans une série de 10 parties jouées.
Pour quelles valeurs de n la tortue peut-elle espérer gagner au moins 9 parties sur 10 ?
4