Schéma de Bernoulli/Loi Binomiale

1°) Schéma de Bernoulli

a) Epreuve Bernoulli

Dans un sac , on a mis 3 jetons blancs et 7 jetons noirs . On tire un jeton au hasard . Quelle est la probabilité p d’obtenir un jeton blanc ? Quelle est la probabilité q d’obtenir un jeton noir ? Réponse : p = ……….. et q = …………. L’expérience précédente admet deux issues « blanc » ou « noir » que l’on peut convenir d’appeler respectivement S ( succès ) et E ( échec ) . Dans ces conditions , l’expérience s’appelle une

épreuve de Bernoulli de paramètre p

.

Définition :Une

épreuve de Bernoulli

est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux

p q S E

issues appelées succès (noté S) et échec (noté S ), de probabilités respectives p et 1 – p. La loi de probabilité est appelée

loi de Bernoulli

de paramètre p. issue probabilité

S p S 1 – p

b) Schéma de 3 épreuves de Bernoulli

On réalise 3 tirages successifs en remettant chaque fois le jeton dans le sac . Il s’agit de reproduire 3 fois de suite l’épreuve de Bernoulli précédente . La mise en place d’un arbre de probabilités permet d’analyser les différentes possibilités et leurs probabilités . q p q On obtient ainsi un S E p q p q E S E S p q p q p q p q S E S E S E S E

listes ( S , S , S ) ( S , S , E ) ( S , E , S ) ( S , E , E ) ( E , S , S ) ( E , S , E ) ( E , E , S ) ( E , E , E ) probabilités

schéma de Bernoulli de paramètres 3 et 0,3

.

p p p

2 2 2 × × ×

p q

× × × 3 3

q q

2

q

2 2 Calculer les probabilités des événements suivants : A : « on obtient 2 jetons blancs » B : « on obtient 3 jetons blancs » C : « on obtient au moins 2 jetons blancs » D : « on obtient moins de 2 jetons blancs »

P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = P ( D ) =

c) Loi binomiale

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des 3 tirages . On dit que la variable aléatoire X suit la

loi binomiale de paramètre 3 et 0,3

. Loi de probabilité de X : ) Espérance mathématique E ( X ) = Variance V ( X ) = la loi de probabilité de X se présente aussi sous la forme k ( nombre de succès ) 0 k ( nombre de succès ) 1 0 1 2 3 2 3 )

Exercice :

Une urne contient 70 boules rouges et 30 boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne. Expliquer pourquoi cette expérience est une épreuve de Bernoulli. On appelle succès « le tirage d’une boule rouge ». Donner la loi de probabilité.

2°) Loi binomiale

Définitions : a) Un

schéma de Bernoulli

est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions d’indépendance. b) Un schéma de Bernoulli est constitué de n épreuves indépendantes. X est la variable aléatoire qui, à chaque liste de n résultats, associe le nombre de succès. c) La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée

loi binomiale de paramètre n et p

. Cette loi est notée B (n ; p).

Propriétés : a) Pour tout entier k, avec 0

≤

k

≤

n,

=

k

) = ( )

n k . b) L’espérance mathématique est

=

n p et la variance

= ( )

.

Exercice :

On reprend l'exercice précédent et on réalise de manière indépendante 10 expériences. Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre de boules rouges obtenues après les 10 expériences. Justifier la loi de probabilité de X. Calculer P(X=7) ; P(X=0) ; P(X ≥ 2) ; E(X) et interpréter.