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E XERCICES
DU CHAPITRE
27 – C OUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES
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Exercice 1
On dispose d’un meuble à trois tiroirs numérotés 1, 2 et 3, et de trois boules numérotées 1, 2 et 3. On place au hasard
les trois boules dans les tiroirs. On considère les variables aléatoires suivantes : X est le nombre de boules contenues
dans le tiroir numéro 1, et N est le nombre de tiroirs restés vides.
1. Déterminer la loi conjointe et les lois marginales du couple (X, N ).
2. Calculer la covariance de X et de N .
3. Les variables aléatoires X et N sont-elles indépendantes ?
Exercice 2
Soient n personnes (n ∈ N∗ ) qui se répartissent au hasard dans 3 hôtels H1 , H2 et H3 . Pour tout i ∈ {1, 2, 3}, on
appelle Xi la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant choisi l’hôtel Hi .
1. Quelle est la loi de Xi pour i ∈ {1, 2, 3} ?
2. Quelle est la loi de X1 + X2 ?
3. Calculer la variance de X1 + X2 . En déduire la covariance de X1 et de X2 puis l’espérance de X1 X2 .
Exercice 3
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires de Bernoulli, de paramètres respectifs, p1 , p2 ∈]0, 1[.
1. On pose p = P(X1 = 1, X2 = 1). Déterminer la loi du couple (X1 , X2 ).
2. Calculer la covariance de X1 et de X2 .
3. Montrer que X1 et X2 sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle.
Exercice 4
Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire un jeton au hasard, on appelle Z son numéro. On remet le
jeton dans l’urne, puis on tire sans remise Z jetons de l’urne et on les distribue au hasard dans trois boîtes B1 , B2 , B3 .
Soit Xi la variable aléatoire égale au nombre de jetons placés dans la boîte Bi , pour i ∈ {1, 2, 3}.
1. Déterminer la loi du couple (Z, Xi ).
2. En déduire la loi et l’espérance de Xi .
3. Calculer l’espérance de Xi /Z.
Exercice 5
Soient n, k ∈ N∗ tels que k ≤ n. On tire une à une, et sans remise, k boules d’une urne qui en contient n, les boules
étant numérotées de 1 à n.
Pour tout entier i compris entre 1 et k, on dit qu’il y a rencontre au i-ème tirage si on obtient la boule numéro i
au i-ème tirage ; on note Xi la variable de Bernoulli définie par Xi = 1 s’il y a rencontre au i-ème tirage et Xi = 0
sinon. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre total de rencontres au cours du tirage des k boules.
1. Exprimer X en fonction des Xi .
2. Déterminer la loi des Xi .
3. Calculer E(X).
4. Pour i 6= j, calculer Cov(Xi , Xj ).
5. Calculer V(X).
Exercice 6
On suppose qu’une urne contient 2N cartes, deux d’entre elles portant le numéro 1, deux autres le 2, deux autres le 3,
etc... On tire m cartes au hasard (m ≤ 2N ). Quel est le nombre moyen de paires encore présentes dans l’urne après
ce tirage ? On pourra introduire les variables aléatoires X1 , . . . , XN , où Xi est égale à 1 si la i-ème paire est intacte
et 0 sinon.
Ce problème a été posé et résolu pour la première fois par Daniel Bernoulli au 18ème siècle : Bernoulli a proposé
ce modèle comme l’un de ceux permettant de déterminer combien de couples mariés il reste après la mort de m
personnes dans un groupe composé exclusivement de N couples au départ.
Exercice 7
Tom est un ivrogne. Quand il n’a pas bu la veille, il s’enivre le jour même. Quand il a bu la veille, il y a une chance sur
trois pour qu’il reste sobre. Il a fêté la victoire de son club au pub, et le soir même il rentre ivre chez lui. On note X
la variable aléatoire égale au nombre de jours de sobriété de Tom pendant les quatre cents jours suivants. Calculer
l’espérance de X.
BCPST 1 Lycée J.B. Say
2013-14
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E XERCICES
DU CHAPITRE
27 – C OUPLES
ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES
Exercice 8
Un sécrétaire effectue n appels téléphoniques vers n personnes distinctes (n ∈ N est supérieur ou égal à 2). On
admet que les n appels constituent n expériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le
correspondant demandé est p ∈]0, 1[. On note q = 1 − p.
X désigne la variable aléatoire égale au nombre de correspondants obtenus.
1. Quelle est la loi de X ? Donner E(X) et V(X).
2. Après ses n appels, le secrétaire appelle une deuxième fois, et dans les mêmes conditions, chacun des n − k
correspondants qu’il n’a pas réussi à joindre la première fois. Soient Y le nombre de correspondants obtenus dans
la deuxième série d’appels, et Z = X + Y .
Quelles sont les valeurs prises par Z ? Que représente Z ?
3. Calculer la probabilité P(Z = 0) et montrer que P(Z = 1) = n p q 2n−2 (1 + q).
4. Déterminer, pour k ∈ [[0, n]] et ℓ ∈ [[0, n − k]], la probabilité conditionnelle P(Y = ℓ|X = k).
5. Calculer, pour s ∈ Z(Ω), P(Z = s). Quelle est la loi de Z ?
Exercice 9
Une urne contient n jetons (n ≥ 2) numérotés de 1 à n. On prélève une poignée aléatoire de jetons. On note N la
variable aléatoire égale au nombre de jetons prélevés et S la somme des points des jetons de la poignée.
Si la poignée est vide, c’est-à-dire si N = 0, on convient que S = 0.
1. On suppose dans cette question que toutes les poignées possibles sont équiprobables.
a. Déterminer la loi de N et calculer son espérance.
b. Pour i ∈ [[1, n]], on note Xi la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 si la poignée contient le jeton i et 0
sinon. Quel est le paramètre de Xi ?
c. Exprimer S à l’aide des Xi et en déduire E(S).
d. Montrer que les variables Xi sont indépendantes et en déduire la variance de S.
2. On suppose dans cette question que N suit la loi uniforme sur [[0, n]], c’est-à-dire que les tailles des poignées sont
équiprobables.
a. Quelle est l’espérance de N ?
b. Avec les notations du 1, calculer, pour k ∈ [[0, n]], la probabilité conditionnelle P(Xi = 1|N = k) et en déduire
le paramètre de la variable Xi .
c. Les variables Xi sont-elles indépendantes ? Que vaut Cov(Xi , Xj )pour i 6= j ?
Exercice 10
Une station de comptage de voitures dénombre les véhicules qui circulent sur une route. Pour tout nombre entier
naturel n, on note Xn le nombre de véhicules passés entre les instants 0 et n (on pose X0 = 0). On étudie un modèle
dans lequel les variables aléatoires Xn vérifient les hypothèses suivantes :
⊲ pour tout couple (m, n) de nombres entiers tels que 0 ≤ m ≤ n, les variables aléatoires Xm et Xn − Xm sont
indépendantes,
⊲ il existe un réel p ∈]0, 1[ tel que, pour tout couple (m, n) de nombres entiers tels que 0 ≤ m ≤ n, la variable
aléatoire Xn − Xm suit une loi B(n − m, p).
Soit (m, n) un couple de nombres entiers tels que 0 ≤ m ≤ n.
1. Montrer que l’espérance de Xm (Xn − Xm ) est égale à m (n − m) p2 .
2. Calculer la covariance de Xm et Xn .
3. Déterminer la loi du couple (Xm , Xn ).
4. On se place dans le cas où n est non nul, et on pose α = m
n . Pour tout nombre entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, exprimer
en fonction de α la loi de probabilité conditionnelle de Xm sachant que l’événement (Xn = k) est réalisé. De
quelle loi de probabilité s’agit-il ?
5. Pour tout entier naturel non nul n, on note An l’événement "n est le plus petit des entiers naturels non nuls j tels
qu’il soit passé au moins un véhicule entre les instants 0 et j".
a. Pour tout n ∈ N∗ , exprimer An à l’aide des variables aléatoires Xn−1 et Xn .
b. En déduire, pour tout n ∈ N∗ , la probabilité de An .
2013-14
BCPST 1 Lycée J.B. Say