Transcript Annexe Autres exos à utiliser après la dim finie ou plus tard

PCSI2
Exercices – Chapitre 22: Variables aléatoires
 Eléments de correction en ligne
 Applications directes du cours
 1.1 Soit X une variable aléatoire telle que X() = {1, 2, 3, 4, 5}, P(X = 1) = P(X=2)
1
et P(X = k) =
pour k {3, 4, 5}.
k
a. Déterminer la loi de X
b. Calculer P(X < 2), P(X ≥ 4) et P( 1,3 < X ≤ 4.5 )
c. Représenter graphiquement la fonction FX :t→P( X ≤ t) appelée fonction de répartition de X.
d. On pose Y = 2X² + 3. Déterminer l’espérance et la variance de X ; l’espérance et la variance de
Y et enfin la loi de Y.
 1.2 Soit n ≥ 2, a
et X une variable aléatoire telle que X() = 1; n et pour tout k 1; n , on a
P(X = k) = ak(n−k). Déterminer a pour que X soit effectivement une variable aléatoire et calculer
E(X).
 1.3 On lance deux dés et on pose  = 1,6 ². On considère les variables aléatoires suivantes :
S égale à la somme des deux dés et P égal au produit des deux dés.
a. Donner les lois de S et P.
b. Déterminer l’espérance et la variance de S et P.
 1.4 Une urne contient n+1 tickets dont un en or donnant accès à une chocolaterie. On effectue
des tirages successifs sans remise dans cette urne et on note X la variable aléatoire égale au
rang d’apparition du ticket d’or.
a. Déterminer la loi de X.
b. Calculer E(X) et V(X).
1.5 Soit n ≥ 2. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n, dans laquelle on tire deux boules
sans remise. On note m la variable aléatoire égale au plus petit des numéros obtenus et M égale
au plus grand des numéros obtenus.
a. Pour tout k 1,n , calculer P(M ≤ k) et en déduire la loi de M.
b. Calculer E(M) et V(M).
c. Montrer que les variables aléatoires M et (n+1) – m ont la même loi, en déduire E(m) et V(m)
 1.6 Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement une boule
dans cette urne sans remise jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une seule couleur. On note X la
variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
a. Déterminer la loi de probabilités de X.
b. Calculer l’espérance puis la variance de X.
 1.7 Un urne contient n boules blanches et p boules noires. On tire successivement 3 boules de
cette urne en remettant la boule tirée seulement si elle est blanche. On note X le nombre de
boules dans l’urne à la fin du tirage. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
 Connaître les lois usuelles
 2.1 Donner la loi suivie par X dans les cas suivants
a. On choisit un jeton au hasard dans un sac contenant 10 jetons numérotés de 1 à 10. On note X
le numéro du jeton.
b. On note X le nombre de garçons dans une famille de 4 enfants.
c. On note X le nombre de voyelles dans un mot constitué de 8 lettres distinctes choisies au
hasard dans l’alphabet (le mot n’a donc pas nécessairement de sens).
d. On forme un jury de 6 personnes choisies au hasard dans un groupe composé de 5 hommes et 4
femmes. On note X le nombre de femmes dans le jury.
N. Véron-LMB-mai 2014
PCSI2
e. Paige Fox a égaré sa fiche sur les lois usuelles dans son classeur d’anglais qui compte 500
feuilles. Elle décide de la chercher en vérifiant toutes les pages dans l’ordre. X est égal au rang
d’apparition de sa précieuse fiche.
f. On range au hasard 9 clés dans 3 tiroirs. On note X le nombre de clés dans le premier tiroir.
g. Une urne contient 6 boules vertes, 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire successivement
et sans remise 10 boules de l’urne. On note X le nombre de boules vertes obtenues.
h. Seul 1% des trèfles possèdent 4 feuilles. On cueille 100 trèfles et on note X de nombre de
trèfles à 4 feuilles cueillis
 2.2 Une association met en vente des carnets de 10 tickets de tombola dont un est gagnant.
On souhaite acheter deux tickets. Est-il plus favorable d’en prendre deux dans un même carnet
ou un dans deux carnets différents ?
 2.3 On lance 6 dés parfaits. On note X le nombre de multiples de 3 obtenus.
a. Déterminer la loi de X. Préciser son espérance et son écart-type.
b. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux multiples de 3 sachant qu’on en a obtenu
au plus quatre.
 2.4 a. On tire 6 boules avec remise dans une urne contenant 4 boules rouges et 20 boules
noires. On note X le nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de X, E(X) et V(X).
b. Même question avec un tirage sans remise.
 2.5 On tire 8 cartes sans remise dans un jeu de 32 cartes et on gagne 10 euros par roi obtenu.
Pour quelle mise le jeu rapporte-t-il en moyenne 1 euro à l’organisateur ?
 2.6 Dans une loterie on met en vente 1000 dont 2 sont gagnants. On achète n billets.
a. Quelle est la loi du nombre X de billets gagnants achetés ? Quelle est son espérance ?
b. Combien faut-il acheter de billets pour que la probabilité de gagner quelque chose soit
supérieure ou égale à 95% ?
 2.7 On lance n fois un dé à 6 faces. On note de F la fréquence de la face 5.
a. Déterminer E(F) et V(F)
b. Déterminer le nombre minimum de lancers permettant d’affirmer avec un risque d’erreur de
5% que F diffère de 1/6 d’au plus 0.01
 2.8 Méthode de poolage
L'objet de cet exercice est de comparer l'efficacité de deux méthodes pour réaliser dans un
délai très court un contrôle médical sur 1000 personnes. Ce contrôle doit permettre de
déterminer la présence (résultat +), ou l'absence (résultat -) d'un virus, dont on sait qu'il atteint
un individu donné avec la probabilité p.
- Dans la méthode A, on analyse séparément les prélèvements effectués sur chaque personnes,
ce qui conduit à réaliser 1000 analyse.
- Dans la méthode B, on répartit d'abord les 1000 personnes en groupes de n personnes; on
mélange les prélèvements effectués au sein du groupe et on analyse le mélange. Si le résultat est
positif, on analyse alors séparément le sang des n personnes qui composent le groupe.
a. Soit X le nombre de groupes positifs dans la méthode B. Donner la loi de X.
b. Soit Y le nombre d’analyses effectuées dans la méthode B. Calculer E(Y).
c. Comparer les deux méthodes lorsque p = 0.01
 Couples de variables aléatoires :
N. Véron-LMB-mai 2014
PCSI2
 3.1 Soient p
et X, Y deux variables aléatoires suivant des lois de Bernoulli telles que la loi
conjointe du couple (X, Y) soit donnée par :
a.
b.
c.
d.
Que doit vérifier p pour que ce tableau représente effectivement une loi conjointe ?
Déterminer les lois marginales de X et de Y.
Calculer les espérances et variances de X et de Y.
Pour quelle(s) valeur(s) de p les variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
 3.2 On lance un dé honnête et on note X le nombre obtenu.
On relance ensuite X fois le dé et on note Y le nombre de 1 obtenus parmi ces X tirages.
Déterminer la loi conjointe de X et Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
 3.3 Soit n un entier naturel non nul.
On choisit au hasard, un nombre entier X dans 1, n , puis, au hasard, un nombre entier Y dans
1, X .
a. Déterminer la loi du couple (X, Y).
b. Déterminer la loi et l’espérance de Y.
c. Soit j 1, n , déterminer la loi conditionnelle de X sachant (Y = j).
 Exercices de synthèse
4.1 Soit p  3. On dispose de p boites identiques. On cache un objet dans l’une d’entre elles. On
ouvre les boites jusqu’à savoir où se trouve l’objet caché. On note X la variable aléatoire qui
compte le nombre de boites ouvertes au cours de cette expérience.
a. Déterminer la loi de X.
b. Calculer l’espérance de X.
*
4.2 Soit X une variable aléatoire telle que X ↪ ℬ(n, p) avec p [0, 1] et n
.
Les résultats de X sont affichés sur un compteur détraqué :
 Lorsque X ne prend pas la valeur 0, le compteur affiche X.
 Lorsque X prend la valeur 0, le compteur affiche un nombre au hasard entre 1 et n.
On note Y la variable aléatoire qui prend la valeur affichée par le compteur.
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de la variable aléatoire Y égale au résultat affiché
par le compteur.
4.3 Une urne contient initialement a boules rouges et b boules bleues avec a et b non nuls.
On effectue des tirages successifs au cours desquels on remet la boule tirée et on ajoute dans
l’urne une boule de même couleur. Ainsi, après chaque tirage, l’urne compte une boule de plus.
*
On note, pour tout k
, la variable aléatoire Xk égale à 1 si la k-ième boule tirée est rouge et
égale à 0 sinon. Pour n
*
, on pose Yn =
n
X
k 1
k
, la variable aléatoire égale au nombre de boules
rouges tirées au cours des n premiers tirages.
*
a. Soit n
. Déterminer les lois conditionnelles de Xn + 1 sachant (Yn = k)
*
b. Soit n
. Etablir une relation entre E(Xn + 1) et E(Yn).
1
a
*
c. Soit n
. Montrer que : E(Yn + 1) = E(Yn) +
E(Yn) +
n+a+b
n+a+b
*
d. Déterminer E(Yn) pour n
et en déduire la loi de Xn.
4.4 Une urne contient R boules rouges et B boules blanches. On pose N = R + B. On effectue une
suite de tirages au hasard d’une boule de cette urne selon le processus suivant :
 Lorsqu’on tire une boule rouge, celle-ci est enlevée de l’urne et remplacée par une boule
N. Véron-LMB-mai 2014
PCSI2
blanche, avant de passer au tirage suivant.
 Lorsqu’on tire une boule blanche, celle-ci est enlevée de l’urne et remplacée par une boule
rouge, avant de passer au tirage suivant.
Pour tout entier on note An l’événement « le n-ième tirage amène une boule rouge ».
Soit Rn la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges contenues dans l’urne à
l’issue du n-ième tirage.
a. Soit (n, k)
², déterminer la probabilité conditionnelle P(Rn = k) (An+1).
b. En déduire P(An+1) en fonction de l’espérance E(Rn).
c. Soit Xn+1 la variable qui vaut 1 si l’événement An+1 est réalisé et 0 sinon.
Exprimer Rn+1 en fonction de Rn et Xn+1.
d. En déduire une relation de récurrence sur la suite (E(R n))n .
e. Exprimer E(Rn) en fonction de n, E(R0) et de N et donner lim E(Rn).
*
4.5 Soit n
. Un employé de centre d’appels effectue n appels téléphoniques vers n
correspondants distincts dont chacun décroche avec une probabilité p [0, 1].
a. On note N1 le nombre de correspondants qui ont décroché. Quelle est la loi de N 1 ?
b. L’employé rappelle un peu plus tard les n – N1 correspondants qui n’ont pas décroché lors de sa
première série d’appels.
c. On note N2 le nombre de ces correspondants qui décrochent cette fois et N le nombre total
des correspondants qui ont décroché. Quelle est la loi de N ?
4.6 Soit n un entier tel que n  2. On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y
suivant la loi uniforme sur 1,n .
a. Déterminer la loi et l’espérance de S = max(X, Y).
Ind. On pourra commencer par calculer P(X  k).
b. Déterminer, presque sans calcul, l’espérance de T = min(X, Y).
c. Déterminer, presque sans calcul, l’espérance de ST.
d. Les variables aléatoires S et T sont-elles indépendantes ?
4.7 On dispose d’un dé à six faces non truqué et d’une pièce bien équilibrée.
*
Soit N
. Le dé est lancé N fois et la pièce autant de fois que le nombre de « 6 » obtenus lors
des N lancers du dé.
Soient X le nombre de « 6 » obtenus lors des N lancers et Y le nombre de « Pile » obtenus.
a. Préciser la loi, l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
b. Déterminer la loi conjointe de X et Y, puis la loi de Y.
4.8 Calvin jette n boulettes de papier sur Susie avec une probabilité p ]0,1[ de l’atteindre.
Chaque lancer est indépendants des précédents. On note X le numéro de la première boulette qui
fait mouche (avec X = 0 si Susie évite toutes les boulettes).
a. Déterminer la loi de X et calculer son espérance.
b. Calculer la probabilité que Calvin atteigne Susie au 1er jet sachant qu’il est certain d’atteindre
sa cible.
4.9 Soit (Xn)n≥1 une suite de va indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre
*
p ]0,1[. On pose n
, Sn = X1 + X2 + ...+ Xn et un la probabilité que Sn soit pair.
a. Préciser la loi de Sn.
b. Calculer u1, u2 et u3.
c. Ecrire une relation de récurrence vérifiée par (u n) et expliciter un. Quelle est sa limite ?
N. Véron-LMB-mai 2014