Transcript Grimpeurs - Tour de Normandie cycliste
TS. Contrôle 1
♣
le 17-10-14
1
( 5 points ) Un volume constant de 2 200 m 3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
Pour tout entier naturel
n
, on modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante : • on note
a n
le volume d’eau, exprimé en m 3 , contenu dans le bassin A à la fin du • • on note
b n
le volume d’eau, exprimé en m pour tout entier naturel
n
, 3 , contenu dans le bassin B à la fin du
n n
-ième jour de fonctionnement ; -ième jour de fonctionnement ; d’eau, on a donc
a
0 = 800 et
b
0 = 1 400.
1.
Par quelle relation entre
a n
et
b n
traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
2.
L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de
n
à partir de laquelle
a n
égal à 1 100. Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
est supérieur ou Variables Initialisation Traitement
n
est un entier naturel,
a
est un nombre réel
n
prend la valeur
. . .
a
prend la valeur Tant que
a . . .
. . . . . . . . .
faire prend la valeur
n
prend la valeur
. . .
. . .
Fin Afficher
. . .
Sortie
3.
4.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
a n
= 1 320 − 520 × µ 3 ¶
n
4 .
On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
2
( 6 points ) Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.
• • On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 3.
Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 8.
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis.
Pour tout entier naturel • T
n n
non nul, on considère les évènements : : « le manchot utilise le toboggan lors de son
n
ième passage » • P
n
: « le manchot utilise le plongeoir lors de son
n
ième passage » On considère la suite ¡
u n
¢ définie pour tout
n
> 1 par :
u n
=
p
(T
n
) où
p
(T
n
) est la probabilité de l’évènement T
n
.
1.
a.
Donner les valeurs des probabilités
p
(P 1 ),
p
T 1 (T 2 ) et
p
P 1 (T 2 ).
p
(T 1 ),
b.
Montrer que
p
(T 2 ) = 1 4
c.
Recopier et compléter l’arbre ci-contre : T
n u n
. . .
P
n
d.
Démontrer que pour tout entier naturel
n
on a :
u n
+ 1 = 0, 1
u n
+ 0, 2 > 1 . . .
. . .
. . .
. . .
e.
À l’aide de votre calculatrice, conjecturer la limite de la suite ¡
u n
¢ .
T
n
+ 1 P
n
+ 1 T
n
+ 1
2.
On considère la suite
a.
b.
¡
v n
¢ définie pour tout entier naturel
n
> 1 par :
v n
=
u n
− 2 9 Démontrer que la suite Exprimer
v n
¡
v n
en fonction de ¢ est géométrique de raison
q n
. En déduire l’expression de =
u n
1 10 . Préciser
v
1 .
en fonction de
n
.
c.
Calculer la limite de la suite ¡
u n
¢ . Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en
1.e.
?
P
n
+ 1
3
( 3 points )
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
1.
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont noires et 3 sont blanches. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules noires et 1 boule blanche est égale à : • 21 40 • 7 10 × 6 9 × 1 3 • 7 10 7 × 10 × 1 3
2.
De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules blanches et 2 boules noires est égale à : • 3 3 × 7 2 10 5 • Ã 5 !
× 2 µ 3 10 ¶ 2 × µ 7 10 ¶ 3 • Ã 5 !
× 2 µ 3 10 ¶ 3 × µ 7 10 ¶ 2
3.
De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est noire, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est blanche, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule noire est égale à : • 7 60 • 14 23 • 1 2 × 7 10 1 6 × + 1 2 1 6 × 1 4
4
( 6 points ) Soit
k
un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une urne contient
k
boules noires et 3 boules blanches. Ces
k
+ 3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante : — un joueur perd 9 € si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; — un joueur perd 1 € si les deux boules tirées sont de couleur noire ; — un joueur gagne 5 € si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu’il gagne la partie.
Partie A
Dans la partie A, on pose
k
= 7. Ainsi l’urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.
1.
Un joueur joue une partie. On note
p
la probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire la probabilité qu’il ait tiré deux boules de couleurs différentes.
Démontrer que
p
= 0, 42.
2.
Soit
n
un entier tel que
n
> 2. Un joueur joue
n
parties identiques et indépendantes.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et
p n
le joueur gagne au moins une fois au cours des
n
parties.
la probabilité que
a.
Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres
n
et
p
.
b.
Exprimer
p n
en fonction de
n
, puis calculer
p
10 en arrondissant au millième.
c.
Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.
Partie B
Dans la partie B, le nombre
k
est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur joue une partie. On note Y
k
la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1.
a.
b.
Justifier l’égalité :
p
(Y
k
= 5) = (
k
6
k
+ 3) 2 Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Y
k
2.
On note E(Y
k
) l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y
k
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Y
k
) est strictement positive.
Déterminer les valeurs de
k
pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.