Transcript Variables aléatoires

PCSI 2, 2013/2014
Lycée Berthollet
Exercices chapitre 22
Variables aléatoires
Exercice 1.
Une urne contient 3 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement 3 boules, sans
remise. Notons X le nombre de boules noires obtenues.
Déterminer la loi de X .
Exercice 2.
Soit Y une variable aléatoire telle que Y (Ω) = {3, 4, 5, 6}.
Déterminer la loi de Y sachant que P (Y < 5) = 1/3, P (Y > 5) = 1/2, P (Y = 3) = P (Y = 4).
Exercice 3.
On lance deux fois un dé et on dénit deux variables aléatoires réelles : X désigne le résultat du
premier lancer, Y le résultat du second. On appelle distance entre X et Y la variable aléatoire
D = |X − Y |.
1. Déterminer la loi de D.
2. Quelle est la distance moyenne entre X et Y ?
3. Tracer le graphe de la loi de D.
Exercice 4.
On lance un dé équilibré mais dont les faces achent 1, 4, 9, 16, 25, 36. On note X le résultat
obtenu. Déterminer la loi de X et calculer E(X). Commentaire ?
Exercice 5.
Une pièce truquée donne pile avec probabilité p et face avec probabilité q = 1−p (où p ∈]0, 1[).
On lance n fois cette pièce (n ∈ N∗ ).
On note X la variable aléatoire valant 0 si on n'obtient que des faces et prenant la valeur du
rang du premier pile obtenu sinon.
Déterminer la loi de X et son espérance.
Exercice 6.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivants toutes les deux une loi binomiale de paramètre n ∈ N∗ et p = 21 .
n 2
X
n
2n
1. Démontrer
=
. En déduire la probabilité P (X = Y ).
k
n
k=0
2. Montrer que P (X < Y ) = P (Y < X). En déduire P (X < Y ).
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Exercice 7.
Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent des lois binomiales de tailles n et m
et de même paramètre p. Peut-on identier la loi suivie par la variable aléatoire Z = X + Y ?
Exercice 8.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoires X + Y et X − Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 9.
Une variable aléatoire X suit une loi du binôme de paramètre p et de taille n.
1. Établir pour ε > 0,
P
X
−p >ε
n
6
p(1 − p)
.
nε2
2. Que peut-on dire de la répartition des résultats quand n tend vers +∞ ?
Exercice 10.
Un dé est pipé : la probabilité d'obtenir k est proportionnelle à k pour k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On
lance ce dé et on note X le résultat obtenu.
1. Déterminer la loi de X .
2. Calculer E(X).
3. On pose Y =
1
X.
Déterminer la loi et l'espérance de Y .
4. On organise le jeu suivant : un joueur paie 10 euros, lance le dé et gagne k 2 euros s'il
obtient la face k . Quel est le gain moyen de ce jeu ? Cela vaut-il le coup de jouer ?
Exercice 11.
Une urne contient une boule rouge, deux boules noires, et trois boules jaunes. On eectue des
tirages successifs jusqu'à ce qu'il ne reste plus dans l'urne que deux couleurs diérentes. Soit
X le nombre de tirages eectués. Déterminer la loi de X , son espérance et sa variance.
Exercice 12.
Une urne contient 8 boules : 3 noires et 5 blanches. On tire l'une après l'autre deux boules de
l'urne sans les y remettre.
On note N1 l'évènement "obtenir une boule noire au premier tirage", N2 "obtenir une boule
noire au deuxième tirage", et de la même façon B1 et B2 obtenir une boule blanche au premier
et au deuxième tirage.
1. (a) Quelles sont les probabilités de N1 et de B1 ?
(b) On a tiré une boule blanche au premier tirage. Quelle est la probabilité d'avoir alors
une boule noire au deuxième tirage ?
(c) Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche puis une boule noire ?
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(d) Déterminer la probabilité de N2 . Ce résultat était-il prévisible ?
On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues lors des
deux tirages.
2. (a) Décomposer l'évènement (X = 0) et en déduire sa probablilité.
(b) Déterminer de même la probablité de l'évènement (X = 2) et de (X = 1).
(c) Donner dans un tableau la loi de X et calculer le nombre moyen de boules blanches
obtenues lors de ces deux tirages.
Exercice 13.
Une urne contient p jetons numérotés de 1 à p (p > 2). On eectue N tirages successifs (N > 1).
Chaque tirage consiste à prendre un jeton dans l'urne, noter son numéro, puis remettre le jeton
dans l'urne. Pour tout entier i compris entre 1 et p, on dénit les variables aléatoires Fi et Xi
comme suit :
Fi est le nombre de fois où le jeton numéroté i a été tiré ;
Xi prend la valeur 0 si le jeton numéroté i n'a pas été tiré et prend la valeur 1 si le jeton
numéroté i a été tiré au moins une fois.
1.
Étude des variables aléatoires
Fi
(a) Pour tout i compris entre 1 et p, déterminer l'espérance et la variance de la variable
aléatoire Fi .
p
P
(b) On considère la variable aléatoire F =
Fi . Que vaut F ? Calculer l'espérance et
i=1
la variance de F .
(c) Est-ce que les variables aléatoires Fi sont deux à deux indépendantes ?
2.
Étude des variables aléatoires
Xi
(a) Pour tout i compris entre 1 et p, déterminer l'espérance et la variance de la variable
aléatoire Xi .
(b) Soient i et j deux entiers distincts compris entre 1 et p. Déterminer la probabilité
pour que Xi = 0 sachant que Xj = 0. Est-ce que les variables aléatoires Xi et Xj
sont indépendantes ?
p
X
(c) Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X =
Xi .
i=1
Exercice 14.
Un plateau est constitué de 25 cases. Derrière deux de ces cases se cache une pièce d'or. On
xe un entier n ∈ [[1, 25]] et on retourne n cases au hasard. Soit Xn la variable aléatoire égale
au nombre de pièces découvertes.
Déterminer la loi de probabilité de Xn , ainsi que son espérance.
Exercice 15.
On tire, avec remise, cinq boules d'une urne contenant dix boules numérotées de 1 à 10. On
note X la variable égale au maximum des cinq numéros obtenus et Y la variable égale au
minimum des cinq numéros obtenus.
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1. Déterminer X(Ω) et Y (Ω).
2. Calculer P (X 6 k) pour k ∈ X(Ω) et P (Y > k) pour k ∈ Y (Ω).
En déduire les lois de X et Y , et la loi conjointe de (X, Y ).
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
4. Donner la loi conditionnelle de X(Y =5) .
Exercice 16.
Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle
sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendantes, et la probabilité
qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 1/4.
1. Un même client a appelé le service à 8 dates diérentes. Soit X le nombre de retards que
ce client a subi. Donner la loi de probabilité de X . Calculer E(X) et V (X).
2. On considère un ensemble de 8 clients diérents. 2 d'entre eux sont mécontents parce
qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients
mécontents parmi les 4 contactés. Donner explicitement la loi de M . Calculer E(M ).
Exercice 17.
Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules
avec remise. S'il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3. Soit Xn le nombre
de boules blanches et Yn le nombre de points obtenus.
Déterminer la loi de Xn , puis E(Xn ) et V (Xn ).
Exprimer Yn en fonction de Xn . En déduire la loi de Yn , puis E(Yn ) et V (Yn ).
Exercice 18.
Un dé comporte 20 faces marquées dont 7 faces numérotées 1, 8 faces numérotées 2, 5 faces
(i)
numérotées 3. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé et on note Xn le nombre
de faces numérotées i obtenues au cours des n lancers.
(i)
1. Donner les lois des Xn ainsi que leurs espérances et leurs variances.
2. Lors des n lancers, pour chaque face numérotée 1 (resp. 2,3) obtenue on gagne 1 euro
(resp. −2 euros, resp. a euros). Pour quelles valeurs de a le gain moyen du jeu est-il
positif ?
Exercice 19.
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. Un jeu consiste à tirer 5 boules du sac avec
remise. Pour chaque numéro tiré, le joueur gagne (−1)i+1 i euros, où i est le numéro tiré (gain
algébrique).
1. On note Xi la variable aléatoire égale au nombre de fois où le jeton i est tiré du sac.
Quelle est la loi de Xi ?
2. Calculer le gain moyen G du jeu. Ce jeu est-il favorable au joueur ?
3. Le joueur gagne un bonus d'autant de points que de numéros diérents tirés.
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(a) On note Yi la variable aléatoire qui vaut 1 si le jeton i a été tiré du sac au moins une
fois et 0 sinon. Déterminer la loi de Yi .
(b) Quel est le gain moyen G0 avec cette nouvelle règle ? Le jeu est-il favorable au joueur ?
9 5
(on donne ( 10
) ≈ 0, 59).
Exercice 20.
Paul a dans sa poche deux boîtes d'allumettes indiscernables : l'une contient 5 allumettes,
l'autre 2. À chaque coup, il choisit au hasard l'une des deux boîtes. Si la boîte choisie n'est
pas vide, il allume sa cigarette avec une seule allumette puis remet la boîte dans sa poche. Si
elle est vide, il la remet simplement dans sa poche. Il eectue des tirages successifs et on note
X la variable aléatoire représentant le nombre de cigarettes allumées avant que l'une des deux
boîtes soit vide.
1. Vérier qu'après 6 tirages, l'une des deux boîtes est forcément vide.
2. On considère dans la suite qu'il eectue exactement 6 tirages. Écrire un espace de probabilité correspondant à cette expérience.
3. Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer sa loi.
4. Calculer son espérance.
Exercice 21.
On s'intéresse à la reproduction d'une variété de plantes. Pour cela, on observe le nombre de
plantes issues de la reproduction d'une plante-parent. On note X le nombre de ses descendants
et on suppose que X suit une loi uniforme sur {0, .., 9}.
1. Combien cette plante a-t-elle de descendants en moyenne ?
2. De plus, chaque descendant de la plante-parent a en fait 20% de chances d'être stérile.
On note Y le nombre de descendants stériles.
(a) X et Y sont-elles indépendantes ?
(b) Pour (n, i) ∈ {0, .., 9}2 , calculer P (Y = i|X = n)
(c) En déduire P (Y = i ∩ X = n) puis exprimer P (Y = i) sous forme d'une somme.
(d) Calculer E(Y ). Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Exercice 22.
On considère un couple de variables aléatoires (X, Y ) prenant les valeurs (i, j) avec la probabilité pij donnée dans le tableau ci-dessous :
1. Vérier la loi de (X, Y )
2. Déterminer les lois marginales de X et de Y . X et HH
Y
H
Y son-elles indépendantes ?
X HH
H
3. Calculer l'espérance et la variance de X et de Y .
1
2
4. Soit (i, j) ∈ [[1, 3]] × [[0, 3]]. Donner les lois condi3
tionnelles de Y(X=i) et X(Y =j) .
5. Déterminer la loi de la variable V = min(X, Y ).
5
0
1
2
3
0,1
0,1
0,1
0,2
0
0
0,1
0
0,2
0,1
0,1
0