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Probabilités discrètes 2014-2015
1. (INA 2007) Un groupe de candidats répond à un QCM contenant deux questions Q 1 et Q 2 . Si le candidat
connaît la solution, il donne la bonne réponse. Sinon il choisit au hasard parmi les 4 réponses possibles.
3/4 des candidats ne connaissent pas la réponse à Q 1 , 2/3 des candidats ne connaissent pas la réponse
à Q 2 et 1/2 des candidats ne connaissent ni la réponse à Q 1 ni la réponse à Q 2 .
(a) Déterminer la probabilité qu’un élève ait donné la bonne réponse à la question Q 1 en répondant
au hasard.
(b) On prend un élève au hasard. Déterminer la probabilité qu’il donne la bonne réponse aux deux
questions.
(c) L’élève a donné la bonne réponse aux deux questions. Calculer la probabilité qu’il ait répondu au
hasard à 0,1 ou 2 questions.
2. (INA 2013)Dans un quiz télévisé les joueurs sont opposés de la manière suivante. La première manche
est disputée par les joueurs A 0 et A 1 . Le gagnant est opposé dans la deuxième manche à un nouveau
joueur A 2 , le gagnant de la deuxième manche est opposé le troisième jour à un joueur A 3 , etc. Le premier
joueur à avoir remporté trois manches consécutives remporte le prix. Tous les joueurs sont de même
force et chacun a donc une probabilité 1/2 de remporter une manche à laquelle il participe. Pour tout
entier n Ê 1, on note p n la probabilité que A n joue au moins une fois et q n celle qu’il remporte le prix.
(a) Calculer q 0 , q 1 , q 2 , q 3 .
(b) Si le joueur A n joue, quels joueurs est-il susceptible d’affronter lors de la première manche qu’il
1
1
dispute ? Montrer que pour n Ê 4, on a p n = p n−1 + p n−2 .
2
4
(c) Calculer pour tout entier naturel n les probabilités p n et q n . Quelle est la probabilité que le jeu ne
se termine jamais ?
3. On possède 3 pièces équilibrées dont une à deux "face". On choisit une pièce au hasard et on effectue
des lancers.
(a) Sachant que l’on a obtenu n fois "face" de suite, quelle est la probabilité que l’on ait pris la pièce
truquée ? Quelle est la limite quand n tend vers l’infini ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un "pile" en n lancers ?
4. On considère une famille ayant n enfants. On suppose que chaque fois qu’un enfant naît la probabilité
que ce soit une fille est 1/2. Les événements suivants A et B sont-ils indépendants ?
A : "la famille a au plus une fille"
B : "la famille a des enfants des deux sexes".
5. (INA 2013) On étudie 2 urnes U et V . On considère qu’au debut du jeu il y a 3 boules noires et deux
boules blanches dans U et uniquement 3 boules noires dans V . À chaque tour on prend au hasard une
boule dans chaque urne et on les échange.
(a) On note p i j la probabilité pour avoir i boules blanches dans V sachant qu’au tour d’avant on en
avait j ( i et j appartenant à {0, 1, 2}). Calculer p i j
(b) On note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches dans V après le n-ième
échange. On appelle x n = P (X n = 0) , y n = P (X n = 1) et z n = P (X n = 2) .
i. Exprimer x n+1 , y n+1 et z n+1 en fonction de x n , y n , et z n .
ii. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que ∀n ∈ N, E (X n+1 ) = aE (X n )+b. En déduire E (X n ).
6. (INA 2013) On dispose d’une urne contenant 1 jetons A et 1 jeton B . On tire au hasard et avec remise à
chaque fois 1 jeton. A chaque tour on rajoute en plus un jeton B dans l’urne. On appelle X le nombre
de tirages qu’il faut faire pour tirer le jeton B . Déterminer P (X > k), en déduire P (X = k). Vérifier que X
est une variable aléatoire Calculer son espérance.
1
7. (INA 2010) Soit X une variable aléatoire à valeurs positives. On pose Y =
son espérance si :
1
X +1
. Trouver la loi de Y et
(a) X suit une loi de Poisson de paramètre λ.
(b) X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
8. On tire n cartons avec remise dans une boîte contenant N cartons numérotés de 1 à N . Soit U le plus
grand numéro obtenu et V le plus petit. Déterminer les lois de U et V .
9. (INA 2012) On dispose de r + 1 urnes numérotées de 0 à r . L’urne Uk contient k boules blanches et r − k
noires. On choisit une urne au hasard et on y prélève des boules avec remise.
(a) Quelle est la probabilité que les n premiers tirages amènent n boules blanches ? Quelle est la limite
de cette probabilité quand r tend vers +∞ ?
(b) Sachant que l’on a obtenu n boules blanches aux n premiers tirages quelle est la probabilité de
tirer une boule blanche au (n + 1)e tirage ?
(c) Soit X le nombre de boules blanches tirées en n tirages. Quelle est la loi de X ? Calculer son
espérance.
10. Déterminer la loi de X si : X (Ω) = N∗ et ∀n ∈ N? , P (X = n) = kP (X Ê n), avec k ∈]0, 1[.
11. (INA 2013) A, B et C sont trois joueurs. Ils font un jeu de Pile ou Face avec une pièce équilibrée. A
commence à jouer. Si il obtient Pile il gagne, si il obtient Face, il perd, B gagne et A cède sa place à C
qui joue. Si C fait Pile il gagne. Si il fait Face il perd et échange sa place avec le perdant de la première
manche etc
On définit T A la variable aléatoire égale au numéro du lancer où A gagne pour la première fois. Soit
P (T A = k) = p k .
(a) Déterminer p 1 , p 2 , p 3 et p 4 , puis p k pour tout entier k.
Déterminer la loi de 12 (T A + 1). En déduire l’espérance de T A .
(b) Soit S A le numéro du lancer où A gagne 2 parties pour la première fois. On pose q k = P (S A = k).
Calculer q 1 , q 2 . Montrer que quelque soit k Ê 4, q k = (1/2)q k−2 + 1/4p k−3 . On pourra s’aider des
deux premières parties.
ai + j
pour (i , j ) ∈ N2 . Trouver k pour que cette relation définisse
i!j!
un couple de variables aléatoires. X et Y sont-elles indépendantes ?
12. Soit a ∈ R∗ . On pose P (X = i , Y = j ) = k
13. On lance deux dés. On appelle X le résultat du premier dé, Y celui du second. On pose S = X + Y et
D = X −Y .
(a) Calculer les espérances et variances de S et D.
(b) Calculer la covariance de S et D. S et D sont-elles indépendantes ?
(c) Quelle est la loi de S ?
14. Soit λ > 0, p ∈]0, 1[ et q = 1 − p. On pose :

p k q n−k

n −λ
P (X = n, Y = k) = λ e
si 0 É k É n
k!(n − k)!

P (X = n, Y = k) = 0 sinon
(a) Vérifier qu’il s’agit bien de la loi d’un couple. Trouver les lois marginales, calculer leurs espérances
et variances. X et Y sont-elles indépendantes ?
2
(b) Trouver la loi conditionnelle : Y /X = n.
(c) On pose Z = X − Y . Trouver la loi de Z . Y et Z sont-elles indépendantes ?
15.
(a) (INA 2013) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Vérifier que la série de terme général
(P (X = n))2 converge.
(b) X suit la loi géométrique sur N de paramètre p. Calculer
+∞
X
(P (X = k))2 .
k=1
(c) Soient X et Y deux variables aléatoires suivant la loi géométrique de paramètre p. Trouver la valeur
de p telle que les événements X = Y et X 6= Y soient équiprobables.
16. Une urne contient au départ une boule verte et une boule rouge. On tire successivement des boules de
l’urne. A chaque tour on remet la boule tirée en ajoutant une boule de la même couleur. On appelle X
la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la boule rouge
(a) Quelle est la loi de X ? Vérifier que c’est une variable aléatoire. Que peut-on dire de son espérance ?
(b) On appelle Y le nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la 2e fois une boule rouge. Quelle
est la loi de Y ?
17. (INA 2013) On fait des tirages avec remise dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N . On
note X i le numéro de la boule tirée au i -ème tour. Soit T la variable aléatoire égale au nombre de tirages
nécessaires pour que la somme des numéros soit strictement supérieure à N .
à ! Ã
!
r
X
i
r +1
(a) Démontrer par récurrence que
=
.
n +1
i =n n
(b) Quelles sont les valeurs prises par T ?
à !
j
. En déduire P (T > n).
(c) Démontrer que P (X 1 + X 2 + .... + X n É j ) = n
N n
1
(d) Montrer que E (T ) =
N
X
P (T > n). Chercher lim E (T ).
n=0
N →+∞
18. (INA 2013) On considère une variable aléatoire X suivant la loi géométrique sur N∗ de paramètre p. On
note Y la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si X est paire et la valeur 0 sinon.
(a) Donner la loi de la variable aléatoire Y et calculer son espérance.
(b) On pose Z = X + Y . Donner la loi de Z et calculer son espérance.
(c) Donner la loi du couple (X , Z ).
19. X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre p.
(a) Quelle est la fonction de répartition de X ? Calculer P (X > k).
(b) On note V = min(X , Y ) et U = max(X , Y ). Déterminer la fonction de répartition de U et la loi de U .
(c) Mêmes questions pour V .
20.
(d) On pose Z = X − Y . Trouver la loi de Z . V et Z sont-elles indépendantes ?
µ
¶
a 1
2
(a) (INA 2009) Pour (a, b) ∈ R , dans quel(s) cas la matrice
est elle diagonalisable ?
0 b
(b) Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers, indépendantes et de même
à !
n n 2
X
loi binomiale B(n, 12 ). Donner la loi de X + Y et en déduire la valeur de
.
k=0 k
3
µ
(c) Calculer la probabilité pour que la matrice M =
X
0
1
Y
¶
soit diagonalisable, puis la probabilité
pour que la matrice M soit inversible.
21. (INA 2009) Un enfant lance n balles dans n paniers distincts. À chaque lancer la probabilité que la balle
rentre dans le panier est p. On note X le nombre de lancers réussis. Après les n lancers, l’enfant relance
les n − X balles qu’il n’a pas réussi à marquer la première fois. On note Y le nombre de paniers obtenus
lors de la deuxième série de lancers et Z le nombre total de paniers au cours des deux séries de lancers :
Z = X +Y .
(a) Déterminer la loi, l’espérance et la variance de X .
(b) Montrer que Z suit une loi binomiale de paramètres à déterminer.
22. (INA 2009) On considère un concessionnaire de voitures. Soit X la variable aléatoire égale au nombre
de voitures vendues par jour. X suit une loi de Poisson de paramètre λ (λ > 0). On considère qu’un
acheteur de voiture fait un prêt pour se procurer sa voiture avec une probabilité p (0 < p < 1). Soit Y la
variable aléatoire égale au nombre d’acheteurs par jour de voitures qui font un prêt.
(a) Déterminer P (Y = k/X = n). En déduire la loi conjointe de (X , Y ).
(b) Déterminer la loi de Y . Donner E (Y ),V (Y ).
(c) On pose Z = X − Y . Quelle est la loi de Z ? Y et Z sont-elles indépendantes ? Calculer cov(X , Y ).
23. On choisit au hasard un nombre X entre 1 et n puis un nombre Y entre 1 et le premier numéro choisi.
(a) Quelle est la loi de X ? de Y ?
(b) Calculer E (Y ) et cov(X , Y ).
24. (INA 2007) Un éditeur de livres d’histoires met sur le marché N images pour illustrer. Pour k ∈ N∗ on
appelle Tk la variable aléatoire égale au nombre de pochettes achetées pour avoir pour la première fois
k images distinctes. On pose S k = Tk − Tk−1 pour k Ê 2.
(a) Trouver les lois de T1 et T2 .
(b) Trouver la loi de S k . Donner son espérance.
(c) Calculer E (Tk ).
25. (G2E 2010) n personnes choisissent au hasard un hôtel parmi 3 hôtels H1 , H2 , H3 . On appelle X i le
nombre de personnes qui choisissent l’hôtel Hi .
(a) Trouver les lois de X 1 , de X 2 , de X 1 + X 2 .
(b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X 1 et X 2 .
26. (INA 2009) Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l’intermédiaire de deux serveurs
A et B . Le serveur A est choisi dans 70% des jours et le serveur B est choisi dans 30% des jours. Les choix
des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres. On note les différents serveurs utilisés par
une suite de lettres.
Par exemple la suite A AB B B A... signifie que les deux premiers jours le serveur A a été choisi, les jours
3,4,5 le serveur B , le jour 6 le serveur A... Dans cet exemple on dit que l’on a une première série de
longueur 2 et une deuxième série de longueur 3. Ce qui est également le cas de la série B B A A AB....
On note L 1 la variable aléatoire représentant la longueur de la première série et L 2 variable aléatoire
représentant la longueur de la seconde série.
(a) Déterminer la loi de L 1 . Vérifier que
+∞
X
P (L 1 = k) = 1. Déterminer l’espérance de L 1 .
k=1
(b) Déterminer la loi du couple (L 1 , L 2 ). En déduire la loi de L 2 . Calculer E (L 2 ).
(c) Calculer la covariance de L 1 et L 2 . Comment interpréter son signe ?
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