Transcript Eléménts de probabilités

PCSI 2, 2013/2014
Lycée Berthollet
Exercices chapitre 18
Éléments de probabilités
Exercice 1.
Déterminer une probabilité sur Ω = {1, 2, . . . , n} telle que la probabilité de l'évènement {k}
soit proportionnelle à k.
Exercice 2.
À quelle(s) condition(s) sur (x, y) ∈ R2 existe-t-il une probabilité sur Ω = {a, b, c} vériant
P ({a, b}) = x
et
P ({b, c}) = y ?
Exercice 3.
Soient A et B deux évènements d'un espace probabilisé.
Montrer
max {0, P (A) + P (B) − 1} 6 P (A ∩ B) 6 min {P (A), P (B)} .
Exercice 4.
On lance simultanement deux dés non truqués, un vert et un rouge.
1. Déterminer l'univers associé à cette expérience aléatoire.
2. Expliciter les événements suivants et calculer leurs probabilités :
(a) A = "le dé vert a donné 1".
(b) B = "le double du résultat du dé vert a été inférieur ou égal au résultat du dé rouge".
(c) C = "la somme des deux dés est 4".
(d) D = B ∩ C .
(e) E = "on a au moins un six".
(f) F = E .
(g) G = "on obtient un double six".
(h) Pour tout n ∈ {2, 3, . . . , 12}, on note An l'événement "la somme des dés vaut n".
Calculer P (An ).
Exercice 5.
Soit A, B, C trois événements, associés à une expérience aléatoire quelconque. Dessiner le
diagramme de Venn des événements suivants et les exprimer à l'aide des opérations habituelles
sur les ensembles (union, intersection, passage à l'événement complémentaire, etc.) :
1. Au moins un des événements A, B, C est réalisé.
2. Un et un seul des événements A, B est réalisé.
3. Au moins deux événements parmi A, B, C sont réalisés.
4. Au plus un des événements A, B, C est réalisé.
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Exercice 6.
On compose au hasard un numéro de téléphone (de dix chires).
1. Indiquer l'univers associé à l'expérience et son cardinal.
2. Quelle est la probabilité que tous les chires soient distincts ?
3. Quelle est la probabilité qu'il commence par 02 ?
4. Quelle est la probabilité que ses chires forment une suite strictement croissante ?
Exercice 7.
Un dé pipé possède la fonction de probabilité P décrite par le tableau suivant :
1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/3 1/9 1/9 1/9
Soit A l'évènement "on obtient 1 ou 2" et soit B l'évènement "on obtient 2 ou 3".
1. Étudier l'indépendance de A et B .
2. Même question si le dé n'était pas pipé.
Exercice 8.
On lance deux fois un dé puis on considère les évènements :
- A1 = " le premier nombre obtenu est pair "
- A2 = " le second nombre obtenu est impair "
- A3 = " la somme des deux nombres obtenus est paire "
1. Montrer que ces évènements sont deux à deux indépendants.
2. Montrer qu'ils ne sont pas indépendants.
Exercice 9.
On lance deux fois une pièce. On suppose que la pièce tombe sur Pile avec probabilité p et
sur Face avec probabilité 1 − p. On note A l'évènement "on fait pile au premier lancer" et B
l'évènement "la pièce tombe les deux fois du même côté".
Déterminer la valeur de p pour laquelle les évènements A et B sont indépendants.
Exercice 10.
Soient A et B deux évènements avec P (A) > 0. Comparer les probabilités conditionnelles
P (A ∩ B | A ∪ B) et P (A ∩ B | A) .
Exercice 11.
On considère N cores. Avec une probabilité p un trésor à été placé dans l'un de ses cores,
chaque core pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert N − 1 cores sans trouver
le trésor. Quelle est la probabilité pour qu'il gure dans le dernier core ?
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Exercice 12.
On se donne N + 1 urnes numérotées de 0 à N . L'urne de numéro k contient k boules blanches
et N − k boules noires. On choisit une urne au hasard, chaque choix étant équiprobable. Dans
l'urne choisie, on tire des boules avec remise.
1. Quelle est la probabilité que (n + 1)-ième boule tirées soit blanche sachant que les n
précédentes l'étaient toutes ?
2. Que devient cette probabilité lorsque N → +∞ ?
Exercice 13.
Une succession d'individus A1 , . . . , An se transmet une information binaire du type "oui" ou
"non".
Chaque individu Ak transmet l'information qu'il a reçu avec la probabilité p à l'individu
Ak+1 ou la transforme en son inverse avec la probabilité 1 − p. Chaque individu se comporte
indépendamment des autres.
1. Calculer la probabilité pn pour que l'information reçu par An soit identique à celle émise
par A1 .
2. On suppose 0 < p < 1. Quelle est la limite de pn quand n tend vers l'inni ?
Exercice 14.
Dans un supermarché se trouvent 150 packs de lait dont 50 avariés. Les acheteurs prennent
un pack au hasard, dans l'ordre de leurs arrivées. Le but de l'exercice est de répondre à la
question : Vaut-il mieux être le premier, le deuxième,. . . , ou le 150-ème acheteur ?
1. On note L1 , L2 , . . . , L150 les packs de lait, en convenant que L1 , L2 , . . . , L50 sont avariés.
Les 150 packs de lait sont achetés dans un certain ordre (aléatoire) : Combien d'ordres
existe-t-il ?
2. Parmi ces ordres, combien sont tels que le premier pack acheté est avarié ? Quelle est la
probabilité pour que le premier client achète un pack avarié ?
3. Soit k ∈ {1, 2, . . . , 150}. Quelle est la probabilité pour que le k-ème client achète un pack
avarié ? Conclure.
Exercice 15.
Soit n un entier ≥ 1. On suppose que n messieurs se rendent à une soirée et laissent leur
chapeau au vestiaire. À la n de la soirée, les chapeaux leur sont rendus aléatoirement. Le
but est de calculer la probabilité pn qu'aucun ne reparte avec son chapeau. An de calculer
cette probabilité, on numérote les messieurs de 1 à n puis les chapeaux de 1 à n. On note Ai
l'événement : le i-ième monsieur
repart avec le i-ième chapeau.
n
1. Montrer qu'il y a
façons de choisir k indices i1 , . . . , ik vériant 1 6 i1 < i2 < . . . <
k
ik 6 n.
2. Montrer que CardAi = (n − 1)! pour tout i compris entre 1 et n.
3. Montrer que pour tout k compris entre 1 et n et tous indices i1 , . . . , ik vériant 1 6 i1 <
i2 < . . . < ik 6 n, on a
Card(Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ) = (n − k)! .
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4. En déduire que P (A1 ∪ · · · ∪ An ) =
5. En déduire l'expression de pn .
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n
X
(−1)k+1
k!
k=1
.
Exercice 16.
Dans une population, une personne sur 10 000 soure d'une pathologie. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif chez 99 % des malades mais
aussi faussement positif chez 0,1 % des personnes non atteintes. Un individu passe ce test et
obtient un résultat positif.
Quelle est sa probabilité d'être malade ? Qu'en conclure ?
Exercice 17.
Le quart d'une population a été vaccinée. Parmi les vaccinés, on compte un douzième de
malades. Parmi les malades, il y a quatre fois plus de non vaccinés que de vaccinés. Quelle est
la probabilité pour un non vacciné de tomber malade ?
Exercice 18.
Un élève a le choix entre quatre chemins A, B, C, D pour aller au lycée. La probabilité pour
qu'il choisisse A (resp. B, C ) est 1/3 (resp. 1/4, 1/12). La probabilité d'arriver en retard en
passant par A (resp. B, C ) est 1/20 (resp. 1/10, 1/5). En passant par D, on n'est jamais en
retard.
1. Quelle est la probabilité pour que l'élève choisisse D ?
2. L'élève arrive en retard. Quelle est la probabilité pour qu'il soit passé par C ?
Exercice 19.
On lance 2 fois une pièce dont la probabilité d'obtenir pile est p. Ensuite on relance la pièce
autant de fois que l'on a obtenu pile aux deux premiers lancers.
Calculer la probabilité d'obtenir k piles lorsque k vaut 0, 1, 2, 3 et 4.
Exercice 20.
Une urne contient 7 boules dont 4 blanches et 3 noires. On pioche sans remise 3 boules dans
l'urne. Pour chaque boule noire obtenue, on pioche sans remise une carte dans un jeu de 32.
Calculer les probabilites d'obtenir :
1. exactement 2 coeurs,
2. un brelan,
3. aucune carte,
4. au moins un as.
Exercice 21.
Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires. On tire successivement 3 boules : si
on tire une noire, on l'enlève, si on tire une blanche, on l'enlève et on rajoute une noire à la
place.
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1. Quelle est la probabilité de tirer 3 blanches ?
2. Quelle est la probabilité de tirer 3 noires ?
Exercice 22.
Deux urnes contiennent respectivement 4 boules rouges et 3 boules vertes, 5 boules rouges et
3 boules vertes. On tire au hasard une boule dans la première urne (sans l'y remettre), puis
on procède au tirage d'une deuxième boule, dans la même urne si la première boule tirée est
rouge, dans l'autre urne si la première boule tirée est verte.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 boules vertes ? 2 boules rouges ?
2. On sait que les 2 boules tirées sont de la même couleur. Quelle est la probabilité qu'elles
soient rouges ?
3. Quelle est la probabilité d'obtenir 1 boule rouge et 1 boule verte ?
Exercice 23.
Dans une ville, un tiers des habitants ont des sympathies pour le UMP. Parmi eux, 80% sont
favorables au projet de construction d'une ligne de métro et 90% pour la prohibition de la
vente d'alcool après 22h. On suppose que leurs opinions à l'égard de la construction du métro
d'une part et de la prohibition de la vente d'alcool d'autre part sont indépendantes.
Un sixième des habitants ont des sympathies pour l'UDI. Parmi eux, 50% sont favorables au
projet de construction d'une ligne de métro et 40% pour la prohibition de la vente d'alcool
après 22h. Il y a également indépendance entre ces deux opinions.
L'autre moitié des habitants ont des sympathies pour le PS. Parmi eux, 70% sont favorables
au projet de construction d'une ligne de métro et 20% pour la prohibition de la vente d'alcool
après 22h. Il y a également indépendance entre ces deux opinions.
Un individu se déclare favorable au projet de construction d'une ligne de métro et pour la
prohibition de la vente d'alcool après 22h. Avec quelle probabilité est-il pour l'UMP ? L'UDI ?
Le PS ?
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