Transcript Article 299 2 du trait d amsterdam.pdf

ECE2
Probabilités 1 - Couples et suites de variables aléatoires discrètes
Novembre 2014
- E XERCICE 1 Soit a ∈ R et (X , Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2 , de loi conjointe :
P ([X = i ] ∩ [Y = j ]) =
a
2i +1 j !
.
1. Déterminer le réel a.
2. Déterminer les lois marginales.
3. X et Y sont-elle indépendantes ?
- E XERCICE 2 Soit un dé équilibré comprenant 1 face blanche et 5 faces rouges. On lance ce dé indéfiniment et on s’intéresse aux longueurs des séries successives de B ou R : par exemple si les lancers donnent les résultats
B B RRRRRRB B B RR . . . alors la première série (B B ) est de longueur 2 et la deuxième (RRRRRR) est de longueur 6.
Soient X 1 et X 2 les variables aléatoires égales aux longueurs de la première et deuxième série.
1. Déterminer la loi de X 1 .
2. Déterminer la loi du couple (X 1 , X 2 ).
3. En déduire la loi de X 2 .
4. En considérant P ([X 1 = 1] ∩ [X 2 = 1]) montrer que X 1 et X 2 ne sont pas indépendantes.
- E XERCICE 3 Une urne contient 2 boules blanches et n−2 boules rouges. On effectue n tirages sans remise de cette urne. On
appelle X le rang de sortie de la première boule blanche et Z le rang de sortie de la deuxième boule blanche.
1. Déterminer la loi du couple (X , Z ).
2. En déduire la loi de Z .
- E XERCICE 4 Soit n ∈ N, n > 2.
On considère une urne contenant 1 boule numérotée 1, 2 boules numérotées 2, . . . , n boules numérotés n.
1. On tire une boule de cette urne, on note X le numéro obtenu.
Déterminer la loi de X et calculer E (X ).
2. On effectue dans cette urne deux tirages successifs sans remise. On note T1 le numéro de la première boule
obtenue et T2 le numéro de la deuxième boule.
(a) Déterminer la loi du couple (T1 , T2 ).
(b) En déduire la loi des variables T1 et T2 .
(c) Les variables aléatoires T1 et T2 sont-elles indépendantes ?
(d) Déterminer E (T1 + T2 ).
- E XERCICE 5 On dispose de n boîtes numérotées de 1 à n. La boîte k contient k boules numérotées de 1 à k.
On choisit au hasard une boîte puis une boule dans cette boîte.
Soit X le numéro de la boîte et Y le numéro de la boule.
1. Déterminer la loi du couple (X , Y )
2. Calculer P (X = Y )
3. Déterminer la loi de Y et E (Y ).
- E XERCICE 6 On considère B et G deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement une loi de Bernoulli
B(1, p 0 ) et une loi géométrique G (p 0 ).
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire BG.
2. Calculer E (BG).
-1-
- E XERCICE 7 Soient X , Y et Z trois variables aléatoires mutuellement indépendantes et définies sur le même espace probabilisé (Ω, A , P ). On suppose que X , Y et Z suivent la loi uniforme sur J1; n K : U J1; n K (c’est-à-dire que :
1
∀k ∈ J1; n K, P (X = k) = P (Y = k) = P (Z = k) = ).
n
k −1
1. (a) Montrer que : ∀k ∈ J2; n + 1K P (X + Y = k) = 2 .
n
2n − k + 1
(b) Montrer que : ∀k ∈ Jn + 2; 2n K P (X + Y = k) =
.
n2
2. Utiliser la formule des probabilités totales pour déduire de la première question que :
P (X + Y = Z ) =
n −1
2n 2
3. (a) Montrer que la variable aléatoire T = n + 1 − Z suit la loi U J1; n K .
(b) Pourquoi T est-elle indépendante de X et de Y ?
(c) En faisant intervenir la variable T et en utilisant la deuxième question, déterminer la probabilité
P (X + Y + Z = n + 1).
- E XERCICE 8 Soit (X i )i ∈N une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p.
n
X
Soit Yi = X i X i +1 et S n =
Yi .
i =1
Pour tout i ∈ N, déterminer la loi de Yi puis calculer E (S n ).
- E XERCICE 9 (M IN , M AX ) On considère une urne contenant n boules numérotées de 1 à n et on tire au hasard deux boules, avec remise
dans cette urne.
On note X la variable aléatoire égale au numéro de la première boule et Y la variable aléatoire au numéro de
la deuxième boule.
1. Justifier que X et Y sont indépendantes.
2. On pose S = max(X , Y ).
(a) Justifier que pour tout k ∈ J1; n K, les évènements (S 6 k) et (X 6 k) ∩ (Y 6 k) sont égaux.
(b) En déduire P (S 6 k) puis donner la loi de S.
3. On pose T = mi n(X , Y ).
(a) Justifier que pour tout k ∈ J1; n K, les évènements (T > k) et (X > k) ∩ (Y > k) sont égaux.
(b) En déduire P (T > k) puis donner la loi de T .
- E XERCICE 10 On effectue une suite d’expériences aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de monnaie notées A et B . On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu’à chaque expérience les résultats des
deux pièces sont indépendants. On suppose que, lors d’une expérience, la probabilité que la pièce A donne
pile est a, et que la probabilité que la pièce B donne pile est b. On considère la variable aléatoire X représente
le nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que la pièce A donne face pour la première fois et la variable
aléatoire Y représente le nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que la pièce B donne face pour la
première fois.
1. Déterminer les lois de X et Y ainsi que leurs espérance et leur variance.
2. Donner, pour tout entier naturel k, la valeur de P (X > k).
3. On s’intéresse au nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que l’une au moins des pièces donne face
pour la première fois. Pour cela on note M la variable aléatoire définie par M = min (X , Y ) .
(a) Calculer, pour tout entier naturel k, la probabilité P (M ≥ k).
(b) En déduire la loi de probabilité de M .
4. Déterminer la probabilité que la pièce B ne donne pas face avant la pièce A, c’est-à-dire P(Y > X ).
-2-
- E XERCICE 11 Un auto-stoppeur attend au péage d’une autoroute pendant une certaine période. On admet que le nombre
de véhicules franchisant le péage pendant cette période est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de
paramètre λ > 0. A chaque fois qu’un véhicule franchit le péage, il lance une pièce truquée qui donne pile avec
la probabilité p. On pose q = 1 − p.
On note N , X et Y respectivement le nombre de lancers, le nombre de piles obtenus et le nombre de face
obtenus.
1. (a) Pour tout couple (i , j ) d’entiers naturels, calculer la probabilité P (N = j ) (X = i ).
(b) En déduire la loi du couple (X , N ).
(c) Montrer que X suit une loi de Poisson de paramètre λp.
2. Expliquer sans aucun calcul pourquoi Y suit une loi de Poisson de paramètre λq.
3. Montrer que X et Y sont indépendantes.
4. (a) Montrer que : V (Y ) = V (N ) + V (X ) − 2cov(N , X ).
(b) En déduire cov(N , X ).
(c) Donner de même cov(N , Y ).
- E XERCICE 12 On lance deux dés équilibrés à 4 faces, on note X le maximum, et Y le minimum.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (X , Y ), puis les lois marginales de X et Y .
2. Déterminer la covariance du couple (X , Y ). Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
- E XERCICE 13 Soit X une VAR discrète dont la loi est donnée par :
xi
P (X = x i )
On considère la variable Y = X 2 .
−2
1
6
−1
1
4
0
1
6
1
1
4
2
1
6
1. Déterminer la loi de Y ainsi que celle du couple (X , Y ).
2. X et Y sont-elle indépendantes ?
3. Calculer cov(X , Y ) et faire une remarque sur ce résultat.
- E XERCICE 14 On considère trois variables aléatoires U , V et W , indépendantes et telles que U et W suivent la loi de Poisson
de paramètre λ > 0 et V suit la loi de Poisson de paramètre µ > 0.
On pose : X = U + V et Y = V + W .
1. Rappeler les lois de X et de Y .
2. (a) Montrer que cov(X , Y ) existe et la calculer.
(b) En déduire le coefficient de corrélation linéaire de X et Y .
- E XERCICE 15 On considère une urne U contenant n boules numérotées de 1 à n et indiscernables au toucher (n > 2).
On effectue une suite de tirages d’une boule avec remise de la boule dans l’urne U .
Soit k un entier supérieur ou égal à 1. Pour tout i ∈ J1; n K, on note X i la variable aléatoire égale au nombre
d’obtentions de la boule numéro i au cours des k premiers tirages.
1. Soit i ∈ J1; n K. Donner la loi de X i . Rappeler l’espérance et la variance de X i .
2. Les variables aléatoires X 1 , X 2 , . . . , X n sont-elles indépendantes ?
3. Soit (i , j ) ∈ J1; n K2 tel que i 6= j .
(a) Déterminer la loi de la variable X i + X j . Rappeler la variance de X i + X j .
(b) En déduire la covariance du couple (X i , X j ).
-3-
- E XERCICE 16 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes admettant un moment d’ordre 2. Soit λ ∈ R.
1. Développer V (X + λY ) puis, en s’aidant du signe du polynôme en λ obtenu, montrer que :
(cov (X , Y ))2 6 V (X )V (Y )
2. Préciser les cas d’égalité dans la relation précédente.
3. Montrer que le coefficient de corrélation linéaire ρ(X , Y ) est compris entre −1 et 1. Préciser les cas d’égalité
- E XERCICE 17 On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de n urnes, numérotées de 1 à n, contenant chacune n boules. On répète n épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à en extraire
une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns des autres.
Pour tout i de {1, 2, ..., n}, on note X i la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l’urne numérotée i contient
toujours n boules au bout de ces n épreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.
1. (a) Pour tout i et tout k, éléments de {1, 2, ..., n}, on note Ui ,k l’événement "l’urne numéro i est choisie à la
k ème épreuve".
Écrire l’événement (X i = 1) à l’aide de certains des événements Ui ,k , puis montrer que :
µ
¶
1 n
.
∀i ∈ {1, 2, ..., n} , P (X i = 1) = 1 −
n
(b) Justifier également que, si i et j sont deux entiers distincts, éléments de {1, 2, ..., n}, on a :
µ
¶
¡
£
¤¢
2 n
P [X i = 1] ∩ X j = 1 = 1 −
.
n
¶
µ
¶
µ
1 2
2
et 1 −
et en déduire que, si i et j sont deux entiers distincts, éléments de
(c) Comparer 1 −
n
n
{1, 2, ..., n}, alors les variables X i et X j ne sont pas indépendantes.
n
X
2. On pose Yn =
Xi .
k=1
(a) Déterminer l’espérance de Yn , notée E (Yn ).
E (Yn )
(b) En déduire lim
et donner un équivalent de E (Yn ) lorsque n est au voisinage de +∞.
n→+∞
n
3. Pour tout i de {1, 2, ..., n} , on note Ni la variable aléatoire égale au nombre de boules manquantes dans
l’urne numérotée i à la fin de ces n épreuves.
(a) Donner sans calcul la loi de Ni ainsi que la valeur de E (Ni ).
(b) Que vaut le produit Ni X i ?
(c) Les variables Ni et X i sont-elles indépendantes ?
-4-