Transcript Mathématiques Ch. 2 Complexes : Exercices

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- LYCÉE L OUIS PAYEN TS Enseignement obligatoire
Cours J-L NEULAT
Mathématiques
Ch. 2 Complexes : Exercices
1 Calculs algébriques
1.1 Forme algébrique
E XERCICE 1
Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
z1 = (3 − 2i )(1 + 5i )
;
z2 = (1 − 2i )2 − (2 − i )(2 + i )
;
z3 = (3 − 2i )3
E XERCICE 2
Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
z1 = (1 + i )(2 − 3i )(1 + i )
;
2
z2 = (1 − 2i ) (1 − 2i ) ;
à p
p !Ã p
p !
2
2
2
2
z3 = −
−i
+i
−
2
2
2
2
E XERCICE 3
p
1
3 + 4i 1 + i 2
9 − 2i
;
;
;
Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
p
2i
2+i 3+i
i− 2
E XERCICE 4
40 p. 212.
E XERCICE 5
Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
z1 =
4
3 − 6i
+
3+i
3−i
;
z2 =
4 − 6i 1 + 3i
×
2 − 3i 3 + 2i
E XERCICE 6
42 p. 212.
E XERCICE 7
Résoudre dans C :
1. 1 − 2i z + 4z = 3i (1 + 5i )
2. (i − 5)z = (2 − i )(2 + i ) − 5z
E XERCICE 8
Résoudre dans C :
1. (1 + i )z = 3 − i
2. 2z + 1 − i = i z + 2
3. (2z + 1 − i )(i z + 3) = 0
z +1
4.
= 2i
z −1
5.
z
= 2+i
z −i
2 EQUATION DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS
2
1.2 Conjugué d’un nombre complexe
E XERCICE 9
65/66 p. 213.
E XERCICE 10
70 p. 213.
E XERCICE 11
E XERCICE 12
69 p. 213.
73 p. 213.
E XERCICE 13
74 p. 213.
E XERCICE 14
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que (z + 1)(z − 2) ∈ R.
E XERCICE 15
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que
z + 2i
∈ R.
z − 4i
2 Equation du second degré à coefficients réels
2.1 Résolution dans C de az 2 + bz + c = 0 où a, b, c sont des réels, a 6= 0
E XERCICE 16
Résoudre dans C, (E) : z 2 + 2z + 5 = 0.
E XERCICE 17
Résoudre dans C, (E) : 2z 2 + 3z − 1 = 0.
E XERCICE 18
Résoudre dans C, (E) : 2z 2 + 3z + 3 = 0.
E XERCICE 19
Résoudre dans C les équations suivantes :
1. 2z 2 − 6z + 5 = 0 ;
2. z 2 − 5z + 9 = 0 ;
3. z 2 + z + 1 = 0 ;
E XERCICE 20
Résoudre dans C les équations suivantes :
³
p ´
p
1. z 2 − 2 1 + 2 z + 2 2 + 4 = 0 ;
2. z 2 − (2cos θ)z + 1 = 0 (où θ est un nombre réel donné) ;
E XERCICE 21
Résoudre dans C les équations suivantes :
1. z 4 + 3z 2 + 2 = 0 ;
E XERCICE 22
81 p. 214.
2. z 4 − 32z 2 − 144 = 0
;
4. z 2 − 2z + 3 = 0 ;
2.2 Somme et produit de racines
3
2.2 Somme et produit de racines
E XERCICE 23
Résoudre : 3z 2 − 4i z − 1 = 0.
E XERCICE 24
Résoudre dans C l’équation : i z 2 + (2 + i )z + 2 = 0.
3 Interprétations géométriques : affixe, point image, vecteur image
E XERCICE 25
¡ − →
¢
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, →
ı , − . Placer les points A, B, C et D d’affixes respectives : z A = 1+2i ;
7
zB = 4 − 2i ; zc = 5 et zD = + 2i .
2
1. Démontrer que le quadrilatère AOBC est un parallélogramme.
2. Démontrer que les droites (AB) et (C D) sont parallèles.
E XERCICE 26
92 p. 214
E XERCICE 27
93 p. 215.
E XERCICE 28
94 p. 215.
E XERCICE 29
Soit A, B, C , D quatre points du plan d’affixes respectives a, b, c, d. Démontrer que ABC D est un parallélogramme si et seulement si a + c = b + d.
4 Forme trigonométrique
4.1 Module et argument d’un nombre complexe
E XERCICE 30
Mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :
p
z1 = 2 + 2i 3 ;
E XERCICE 31
115 p. 216.
p
p
z2 = − 2 + i 2 ;
z3 = 4 − 4i
;
z4 = −2i
;
p
1
3
z5 = − + i
4
4
;
z6 =
4
1−i
4 FORME TRIGONOMÉTRIQUE
4
4.2 Application trigonométrique
E XERCICE 32
126/127 p. 216.
E XERCICE 33
128 p. 216.
4.3 Application géométrique
E XERCICE 34
103 p. 215.
E XERCICE 35
¯ p
¯
Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z tels que ¯z − 2 + 3i ¯ = 2
1. Par l’analytique en posant z = x + i y ;
¯
¯
2. En interprétant ce que représente géométriquement ¯z − 2 + 3i ¯ pour le point M après avoir remarquer
que z − 2 + 3i = z − 2 − 3i .
E XERCICE 36
1. Démontrer que, quels que soient les nombres complexes z et z ′ :
|z + z ′ |2 + |z − z ′ |2 = 2(|z|2 + |z ′ |2 )
2. En déduire une propriété du parallélogramme.
E XERCICE 37
i
On considère l’application qui à tout M d’affixe non nulle z associe le point M ′ d’affixe z ′ = 2 .
z
p
On pose : A( 3 + i ).
1. Construire le point B image de A.
2. Trouver une relation simple entre |z| et |z ′ |, arg(z) et arg(z ′ ).
3. Quel est le lieu du point M ′ lorsque M décrit le cercle de centre O passant par A ?
4. Quel est le lieu du point M ′ lorsque M décrit la demi-droite ]O A) ?
5. Quel est le lieu du point M ′ lorsque M décrit la droite (O A) privée de 0 (que l’on peut noter (O A) \ {O}) ?
E XERCICE 38
On considère l’application qui à tout M d’affixe non nulle z associe le point M ′ d’affixe z ′ =
1. Trouver une relation simple entre |z| et |z ′ |, arg(z) et arg(z ′ ).
2. On considère le point A dont l’affixe a et telle que |a| = 2 et arg(a) ≡
centre O, de rayon 2, privé de O.
π
4
−2
.
z
(2π). On note D le disque de
(a) Quel est le lieu du point M ′ lorsque M décrit D ?
(b) Quel est le lieu du point M ′ lorsque M décrit le segment ]O A] ?
4.4 Propriétés du module et des arguments, écriture exponentielle
E XERCICE 39
Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
5
p
• z1 = 2 3 + 6i
p
• z2 = (1+i ) 3 eiπ/3
³
p ´
• z3 = 1 − 2 eiπ/4
³
p ´4
• z4 = 1 + i 3
E XERCICE 40
p
p
1. Mettre sous forme exponentielle (1 + i 3). En déduire la forme exponentielle de (1 − i 3).
2. En utilisant la première question mettre sus forme canonique :
³
p ´5
p ´5 ³
z1 = 1 + i 3 + 1 − i 3
et
E XERCICE 41
On considère les deux nombres complexes : z1 = −1 − i et z2 =
1. Ecrire
³
p ´5 ³
p ´5
z2 = 1 + i 3 − 1 − i 3
p
1
3
+i
.
2
2
z1
z2
(a) sous forme algébrique
(b) sous forme exponentielle
2. En déduire le module et l’argument de
11π
11π
z1
, puis les valeurs exactes de cos
et sin
z2
12
12
E XERCICE 42
Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C , D d’affixes respectives :
p
p
3
3 − iπ
3
iπ/3
a = 1 et b = e
et c = +
i et d =
e 6
2
2
2
1. Ecrire c sous forme exponentielle et d sous forme algébrique.
2.
(a) Placer les points A, B, C , D dans un repère (unité graphique : 4cm).
(b) Démontrer que le quadrilatère O AC B est un losange.
(c) Démontrer que D est aligné avec A et C .
(d) Quelle est la nature du triangle O AD ? Justifier.
5 Géométrie et nombres complexes
E XERCICE 43
149 p. 217.
E XERCICE 44
150 p. 217.
E XERCICE 45
155 p. 218.
E XERCICE 46
¡ − →
¢
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal O, →
u, −
v (unité graphique : 4 cm), on considère
l’application f , définie sur C, qui à tout nombre complexe z différent de −2i associe :
Z = f (z) =
z −2+i
z + 2i
5 GÉOMÉTRIE ET NOMBRES COMPLEXES
6
1. On pose z = x + i y avec x ∈ R et y ∈ R. Exprimer en fonction de x et y la ârtie réelle et la partei imaginaire
de Z . Vérifier que :
x 2 + y 2 − 2x + 3y + 2
Re(Z ) =
x 2 + (y + 2)2
2.
(a) En déduire l’ensemble E des points M d’affixe z tels que Z ∈ R. Représenter E .
(b) En déduire l’ensemble F des points M d’affixe z tels que Z ∈ i R. Représenter F .
3. On appelle A et B les points d’affixes respectives z A = 2 − i et zB = −2i . En remarquant que Z =
retrouver les deux résultats de la question précédente par une méthode géométrique.
z − zA
,
z − zB
4. Calculer pour tout z ∈ C \ {−2i } p
: | f (z) − 1| × |z + 2i |. En déduire que lorsque le point M d’affixe z parcourt
le cercle de centre B et d rayon 5, les points M ′ d’affixe Z sont sur un même cercle que l’on déterminera.
E XERCICE 47
Dans le plan complexe P, on associe à tout point M d’affixe z le nombre complexe :
z′ =
z − 2i
z −1
1. Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels : |z ′ | = 1.
2. Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels : z ′ ∈ R. Préciser le sous ensemble pour lequel z ′ ∈ R+ .
3. Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels : z ′ ∈ i R+ .