Transcript Probabilités en MPSI ou en PCSI

Probabilités en MPSI ou en PCSI
Pascal BEAUGENDRE
ii
Sommaire
Notations fréquemment utilisées
I
vii
Cours
1
1 En guise de préambule P
1.1 Utilisation du symbole
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . P
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Manipulations sur les symboles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Une autre identité remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Exemples de sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ensembles, opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Le passage au complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Produit (cartésien) de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Partie d’un ensemble et ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Applications, injections, surjections, bijections. Composition des applications
1.3.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Bijection réciproque d’une bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 La composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Travaux dirigés : premières applications de la formule du binôme de Newton
1.4.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Correction succincte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
2 Dénombrements
2.1 Ensembles …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ensembles équipotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ensembles …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Rappel de quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dénombrements usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Les produits cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Le principe du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Les p-listes. Lien avec le nombre d’applications . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Les arrangements. Lien avec le nombre d’injections . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Autres dénombrements faisant intervenir des coe¢ cients binomiaux . . . . . . .
2.3.1 Nombre de j-listes strictement croissantes formées d’entiers appartenant
2.3.2 Nombre de n-listes contenant p fois l’élément 0 et n p fois l’élément 1
2.3.3 Anagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Travaux dirigés : la formule du crible (démonstration et applications) . . . . .
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à
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Nn .
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iv
3 Les espaces probabilisés …nis
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Une première version de la formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le cas particulier de l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales et formule de Bayes . . . . . . . .
3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Probabilités conditionnelles : dé…nition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 La formule des probabilités totales (seconde version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 La formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Indépendance d’une famille d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Variables aléatoires réelles attachées à un espace probabilisé …ni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle …nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Espérance, variance, écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Indépendance de variables aléatoires réelles …nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle …nie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Loi certaine, loi quasi certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.7 Variable aléatoire de Bernoulli, variable aléatoire binomiale, schéma de Bernoulli . . . .
3.5.8 Autres lois …nies usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Vecteurs aléatoires …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Couples de variables aléatoires réelles …nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Généralisation : vecteurs aléatoires de dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et quelques compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 L’inégalité de Markov (MPSI uniquement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 La loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Approximation d’une variable aléatoire hypergéométrique par une variable aléatoire binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Travaux dirigés : Des exercices classiques sur la formule des probabilités totales et la formule de
Bayes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Travaux dirigés : Les fonctions génératrices de variables aléatoires réelles …nies . . . . . . . . .
II
Exercices
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. 48
. 49
53
1 Techniques de base (exercices)
55
1.1 Ensembles, relations, opérations
sur
les
ensembles
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P
1.2 Utilisation du symbole
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 Dénombrements (exercices)
59
3 Les espaces probabilisés …nis (exercices)
65
3.1 Généralités, le cas particulier de l’équiprobabilité, indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Variables aléatoires et vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Préface
Ce petit livre est destiné aux étudiants de MPSI ou de PCSI. Il est consacré aux probabilités (sur un univers
…ni). Un long préambule rappelle quelques notions et méthodes utiles pour manipuler les objets étudiés. Ensuite
un chapitre complet est consacré aux dénombrements. Tout cela est indispensable pour aborder convenablement
les probabilités.
On trouvera également un grand nombre d’exercices dont beaucoup sont corrigés.
- Quand rien n’est signalé, il s’agit d’une réponse succincte ou uniquement numérique.
- Le signe (}) signale une réponse dans laquelle quelques calculs ou quelques raisonnements classiques n’ont pas
été détaillés.
- Le signe (}}) signale une réponse qui constitue une correction complète (tous les détails y …gurent).
Version gratuite sans les démonstrations et sans les réponses
v
vi
Notations fréquemment utilisées
Voici les notations les plus courantes classées par ordre d’apparition.
non A est la négation de l’assertion A.
P Pn
, k=0 uk etc. : voir page 3.
n
p
désigne l’entier
n!
p!(n p)! .
A \ B désigne l’intersection des ensembles A et B.
A [ B désigne la réunion des ensembles A et B.
A désigne le complémentaire de A dans
E
. Il se note aussi
nA ou AC ou C (A).
F désigne le produit cartésien de E par F .
A (E; F ) ou F E désigne l’ensemble des applications de E dans F .
bxc désigne la partie entière de x ; on utilise aussi les notations Ent (x), E (x).
Soient n0 et n deux éléments de N.
L’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à n0 se note [[n0 ; +1[[.
Si n0 est inférieur ou égal à n, alors l’ensemble des entiers compris entre n0 et n se note fn0 ; :::; ng ou
bien [[n0 ; n]].
Si n est strictement positif, l’ensemble des entiers compris entre 1 et n se note aussi Nn .
card(E) désigne le cardinal de l’ensemble E. On peut aussi rencontrer la notation #(E).
( ; P ( ) ; P ) désigne un espace probabilisé (…ni en première année).
v.a.r. est l’abréviation de variable aléatoire réelle.
(X = a) = f! 2
; X (!) = ag désigne l’ensemble des antécédents de a par la variable aléatoire réelle X.
(X 2 A) = f! 2 ; X (!) 2 Ag désigne l’ensemble des antécédents des éléments de A par la variable
aléatoire réelle X.
X ,! B (n; p) se lit « X suit la loi binomiale de paramètres n et p» .
X ,! U (n) se lit « X suit la loi uniforme sur f1; :::; ng» .
vii
viii
Partie I
Cours
1
Chapitre 1
En guise de préambule
Dans ce chapitre, on présente quelques outils et techniques de base utiles pour les dénombrements et les probabilités.
1.1
1.1.1
Utilisation du symbole
Généralités
P
Dé…nition 1.1.1 Soit n appartenant à N et soient u0 ; u1 ; :::; un des réels ou des complexes,
la somme pour k variant de 0 à n des nombres uk .
Ainsi
n
X
uk = u0 + u1 + ::: + un :
Pn
k=0
uk désigne
k=0
Par exemple
10
P
k = 0 + 1 + 2 + ::: + 10 ; il y a 11 termes dans cette somme.
k=0P
n
Dans la somme k=0 uk , l’entier k est appelé l’indice de sommation. C’est un indice muet, c’est-à-dire que
son nom est sans importance.
Ainsi, on a
n
n
X
X
uk =
ui :
i=0
k=0
Bien sûr, les sommes peuvent commencer à un autre rang que 0. Par exemple
10
X
k = 2 + 3 + ::: + 10:
k=2
Remarque 1.1.2 Si n0 et n sont deux entiers véri…ant n0
termes.
n, alors la somme
Pn
k=n0
uk contient n
n0 + 1
Remarque
1.1.3 Souvent, on prendra la convention suivante : Si n0 et n sont deux entiers et si n0 > n, on
Pn
pose k=n0 ::: = 0. Bien que ce soit une convention habituelle, il est préférable de la rappeler lorsqu’on l’utilise.
Exercice 1.1.4
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a
n
X
k=
k=0
n (n + 1)
:
2
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a
n
X
k=0
k2 =
n (n + 1) (2n + 1)
:
6
3
4
Pascal BEAUGENDRE
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a
n
X
2
n (n + 1)
2
k3 =
k=0
:
L’exercice suivant propose une méthode permettant de trouver l’expression
de
n
P
n
P
k 2 lorsque l’on connaît celle
k=0
k. Comme elle est un peu longue il est souhaitable de connaître les formules de l’exercice précédent.
k=0
Exercice 1.1.5
1. Donner, pour tout entier naturel n la valeur de
n
P
k.
k=0
2. Montrer que, pour tout k appartenant à N, on a
3
(k + 1) = 1 + 3k + 3k 2 + k 3 :
3. Soit n appartenant à N. En sommant les égalités précédentes pour k variant de 0 à n, déterminer la valeur
n
P
de
k2 .
k=0
1.1.2
P
Manipulations sur les symboles
1. Factorisation. Si chaque terme possède un même facteur indépendant de l’indice de sommation, on peut
mettre ce terme en facteur de la somme.
Par exemple, pour tout réel x, on a
n
n
X
X
xk+1 = x
xk :
k=0
k=0
2. Couper une somme. Soient u0 ; u1 ; :::; un et v0 ; v1 ; :::; vn des réels ou des complexes. La propriété de
commutativité de l’addition permet d’écrire
n
X
n
X
(uk + vk ) =
k=0
Par exemple, on a
n
X
(k + 1) =
k=0
uk +
k=0
n
X
k+
n
X
vk :
k=0
1=
k=0
k=0
n
X
n (n + 1)
+ (n + 1) :
2
3. Faire un changement d’indice.
Il est clair que
k 2 f0; :::; ng , k + 1 2 f1; :::; n + 1g :
Donc, en posant k 0 = k + 1, on obtient
n
X
uk =
k=0
n+1
X
uk0
1:
k0 =1
En écrivant cette égalité, on dit que l’on a fait le changement d’indice k 0 = k + 1. De plus, comme l’indice
est muet, on peut écrire
n
n+1
X
X
uk =
uk 1 :
k=0
k=1
N. B. : On peut faire d’autres changements d’indice : k 0 = k + 2, k 0 = k
Par exemple, on a
n
n+1
X
X
(k + 1) =
k0 :
k=0
k0 =1
1 etc.
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5
Par exemple, pour tout réel x, on a
n
X
xk+2 =
k=0
n+2
X
xk :
k=2
4. Modi…er le rang d’une somme. Une formule peut en donner d’autres par « décalage» .
Par exemple, on sait que
n
X
n (n + 1)
8n 2 N;
:
k=
2
k=0
On peut en déduire que
n+1
X
8n 2 N;
k=
k=0
On peut également en déduire que
8n 2 N ;
n
X1
(n + 1) (n + 2)
:
2
(n
k=
1) n
2
k=0
:
Attention aux quanti…cateurs !
1.1.3
La formule du binôme de Newton
Soient n et p deux entiers naturels véri…ant p
n.
n
p
Le coe¢ cient binomial
désigne l’entier
coe¢ cient binomial p parmi n» .
Comme on le verra plus tard,
n
p
n!
p!(n p)! .
On lira « le coe¢ cient binomial n, p» ou bien « le
est le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.
Par convention, si n < 0 ou si p > n ou si p < 0, on pose
Remarque 1.1.6 Autrefois on notait Cnp le coe¢ cient
n
p
n
p
= 0.
.
Proposition 1.1.7 (formule du triangle de Pascal) Soient n et p deux entiers naturels véri…ant p
En utilisant la convention précédente, on a
n
p
1
+
n
p
=
n.
n+1
:
p
Dans tout ce paragraphe, on utilise aussi la convention habituelle suivante :
8x 2 K; x0 = 1:
(1.1)
Proposition 1.1.8 (formule du binôme de Newton) Soient a, b appartenant à R ou à C et soit n appartenant à N, on a
n
X
n p n p
n
(a + b) =
a b
.
p
p=0
Remarque 1.1.9 On a commencé la récurrence au rang 1 pour éviter d’avoir à considérer une somme
On peut alléger un peu la démonstration en utilisant la convention 1.1.3 page 3.
P0
p=1
(:::).
Remarque
1.1.10
en
dirigés
calculer
quelques sommes
on a souvent
besoin :
PnOn verra
Pntravaux
P comment
P
Pn dont
Pn
Pn
k n
n
n
n
n
n
n
1
2 n
,
,
,
,
(
1)
,
k
,
k
k=0
k=0
0 2k n 2k
0 2k+1 n 2k+1
k=0 k+1 k
k=0 k n k .
k=0
k
k
k
(Voir page 13.)
Exercice 1.1.11 Montrer qu’il existe a et b appartenant à Z tels que
p
1
p
8 = a + b 2:
2 1
6
Pascal BEAUGENDRE
1.1.4
Une autre identité remarquable
Proposition 1.1.12 Soient a, b appartenant à R ou à C et soit n appartenant à N. En utilisant la convention
(1.1) page 5 et la convention de la remarque 1.1.3 page 3, on a
an
bn = (a
b)
n
X1
an
1 p p
b .
p=0
1.1.5
Exemples de sommes doubles
Pour simpli…er, on se limite aux sommes de réels. Le cas des sommes de nombres complexes n’est guère di¤érent.
Soient n, m appartenant à N et soient up;q pour 1 p n et 1 q m des réels. On peut considérer la
somme de ces réels ; il s’agit de la somme double
X
up;q :
1 p n
1 q m
On a
X
up;q = (u1;1 + ::: + u1;m ) + (u2;1 + ::: + u2;m ) + ::: + (un;1 + ::: + un;m ) =
n
m
X
X
p=1
1 p n
1 q m
up;q
q=1
et aussi
X
up;q = (u1;1 + ::: + un;1 ) + (u1;2 + ::: + un;2 ) + ::: + (u1;m + ::: + un;m ) =
m
n
X
X
q=1
1 p n
1 q m
On retiendra donc que
X
up;q =
n
m
X
X
p=1
1 p n
1 q m
up;q
q=1
!
=
m
n
X
X
q=1
up;q
p=1
!
p=1
up;q
!
!
:
:
Si on représente les couples (p; q) dans le plan euclidien usuel, la somme porte sur les couples d’entiers appartenant à un rectangle. Dans les premier cas cette somme s’e¤ectue colonne par colonne, dans le second cas elle
s’e¤ectue ligne par ligne.
Exemple 1.1.13 Calculer de deux façons
X
(p + pq) :
1 p 5
1 q 10
Soit n appartenant à N et soient up;q pour 1
réels, il s’agit de la somme double
X
1 p q n
up;q =
p
n
n
X
X
p=1
q
n des réels. On peut considérer la somme de ces
up;q
q=p
!
=
q
n
X
X
q=1
p=1
up;q
!
(suivant que l’on somme colonne par colonne ou ligne par ligne).
Exemple 1.1.14 Calculer
X
pq:
1 p q 10
Remarque 1.1.15 On peut considérer d’autres sommes, comme par exemple,
X
up;q :
1 p<q n
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1.2
1.2.1
7
Ensembles, opérations sur les ensembles
Intersection
Dé…nition 1.2.1 Soient A et B deux ensembles, on appelle intersection de A et de B l’ensemble formé des
éléments qui appartiennent à A et à B. Cet ensemble est noté A \ B.
Ainsi
A \ B = fx; x 2 A et x 2 Bg
(et on lit « A inter B égal l’ensemble des x tels que x appartient à A et x appartient à B» ).
Généralisation 1.2.2 Soient A; B et C trois ensembles, l’intersection de ces trois ensembles est
A \ B \ C = fx; x 2 A et x 2 B et x 2 Cg :
Propriété 1.2.3 (d’associativité) Soient A; B et C trois ensembles, on a
A \ B \ C = A \ (B \ C) = (A \ B) \ C:
Généralisation 1.2.4 Soit (Ai )1
Ai pour i 2 f1; :::; ng est
i n
une famille de n ensembles (avec n appartenant à N ), l’intersection des
n
\
i=1
Ai = fx; 8i 2 f1; :::; ng ; x 2 Ai g :
Remarque 1.2.5 Compte tenu de la propriété d’associativité, on peut aussi dé…nir l’intersection
n
T
i=1
n
\
i=1
Ai = (::: ((A1 \ A2 ) \ A3 ) \ ::: \ An
1)
\ An :
Exemple 1.2.6 On a
] 1; 2] \ ] 1; 3] = ] 1; 2] :
Exemple 1.2.7 Si
A = fn 2 N, n est multiple de 2g
et si
B = fn 2 N, n est multiple de 3g ;
alors
A \ B = fn 2 N, n est multiple de 6g :
Ai par
8
1.2.2
Pascal BEAUGENDRE
Réunion
Dé…nition 1.2.8 Soient A et B deux ensembles, on appelle réunion de A et de B l’ensemble formé des éléments
qui appartiennent à A ou à B. Cet ensemble est noté A [ B.
Ainsi
A [ B = fx; x 2 A ou x 2 Bg
(et on lit « A union B égal l’ensemble des x tels que x appartient à A ou x appartient à B» ).
Généralisation 1.2.9 Soient A; B et C trois ensembles la réunion de ces trois ensembles est
A [ B [ C = fx; x 2 A ou x 2 B ou x 2 Cg :
Propriété 1.2.10 (d’associativité) Soient A; B et C trois ensembles, alors
A [ B [ C = A [ (B [ C) = (A [ B) [ C:
Généralisation 1.2.11 Soit (Ai )1
Ai pour i 2 f1; :::; ng est
i n
n
[
i=1
une famille de n ensembles (avec n appartenant à N ), la réunion des
Ai = fx; 9i 2 f1; :::; ng ; x 2 Ai g :
Remarque 1.2.12 Compte tenu de la propriété d’associativité, on peut aussi dé…nir la réunion
n
S
Ai par
i=1
n
[
i=1
Ai = (::: ((A1 [ A2 ) [ A3 ) [ ::: [ An
1)
[ An :
Exemple 1.2.13 On a
] 2; 3] [ ]1; +1[ = ] 2; +1[ :
Proposition 1.2.14 Ces deux opérations sont distributives l’une par rapport à l’autre. C’est-à-dire que, si
A; B et C sont trois ensembles, on a
A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)
et
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) :
Remarque 1.2.15 Plus généralement, si (Ai )1 i n est une famille de n ensembles (avec n appartenant à N )
et si A est un ensemble, on a
!
n
n
[
[
A\
Ai =
(A \ Ai )
i=1
et
A[
n
\
i=1
i=1
Ai
!
=
n
\
i=1
(A [ Ai ):
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1.2.3
9
Le passage au complémentaire
Dé…nition 1.2.16 Soit E un ensemble et soit A un sous-ensemble de E. Le complémentaire de A dans E est
CE A = fx 2 E; x 2
= Ag :
On peut aussi le noter EnA.
S’il n’y a pas de confusion possible, on peut aussi utiliser les notations suivantes AC ou A.
Par exemple, R = Rnf0g est le complémentaire de f0g dans R.
Propriété 1.2.17 Soit E un ensemble et soit A un sous-ensemble de E, alors, on a
A = A:
Théorème 1.2.18 (formules de Morgan) Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E alors
A[B =A\B
et
A \ B = A [ B:
Ces formules sont connues sous le nom de formules de Morgan. Elles se généralisent à plus de deux ensembles.
Exercice 1.2.19 Démontrer la deuxième égalité.
Exercice 1.2.20 Démontrer la généralisation suivante.
Soit (Ai )1 i n une famille de n sous-ensembles de E (avec n appartenant à N ), on a
n
[
Ai =
i=1
Remarque 1.2.21 Si (Ai )1
aussi
i n
n
\
Ai et
i=1
n
\
Ai =
i=1
n
[
Ai .
i=1
est une famille de n sous-ensembles de E (avec n appartenant à N ), on a
n
[
i=1
Ai =
n
\
i=1
Ai et
n
\
i=1
Ai =
n
[
Ai .
i=1
Remarque 1.2.22 Soit E un ensemble et soient A et B deux sous-ensembles de E. L’ensemble
AnB = fx 2 A; x 2
= Bg
est appelé la di¤érence de A et de B.
10
Pascal BEAUGENDRE
1.2.4
Produit (cartésien) de deux ensembles
Soient E et F deux ensembles. En choisissant a appartenant à E et b appartenant à F , on peut considérer un
nouvel objet : le couple (a; b). Ces couples sont les éléments d’un nouvel ensemble que l’on nomme le produit
cartésien de E par F , ce qui conduit à la dé…nition suivante.
Dé…nition 1.2.23 Soient E et F deux ensembles, on appelle produit (cartésien) de E par F l’ensemble des
couples (a; b), avec a appartenant à E et b appartenant à F . On le note
E
F
et on lit « E croix F » .
Remarque 1.2.24 Si E est vide ou si F est vide, alors E
F est vide.
Exemple 1.2.25 R R = R2 . On verra que R2 peut être identi…é à l’ensemble des points du plan lorsqu’un
repère est choisi. Il peut aussi être identi…é à l’ensemble des vecteurs du plan lorsqu’une base est choisie.
Exemple 1.2.26 Les éléments de f1; 2; 3g
f1; 2g sont (1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2).
Il y a deux représentations naturelles.
1. A l’aide de deux axes.
2. A l’aide d’un tableau.
1.2.5
EnF
b
a
(a; b)
Partie d’un ensemble et ensemble des parties
Dé…nition 1.2.27 Soit E un ensemble, on appelle partie de E ou sous-ensemble de E tout ensemble inclus
dans E.
Notation 1.2.28 Soit E un ensemble, l’ensemble des parties de E est noté P (E).
Exemple 1.2.29 Soit E = f1; 2; 3g, donner P (E).
Exercice 1.2.30 Soit E = f1; 2; 3; 4g, donner l’ensemble des parties de E à 3 éléments.
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1.3
Applications, injections, surjections, bijections.
des applications
1.3.1
11
Composition
Applications
Dé…nition 1.3.1 Soient E et F deux ensembles, on appelle application de E dans F toute fonction de E dans
F dé…nie sur E. L’ensemble des applications de E dans F se note A (E; F ) ou F E .
Remarque 1.3.2 Bien que les notations soient souvent les mêmes, il convient de ne pas confondre fonction et application.
1.
f : R ! R ; x 7! x2
est une application.
2. En revanche
g : R ! R ; x 7!
p
x
n’est pas une application car elle n’est pas dé…nie sur R.
1.3.2
Injections, surjections, bijections
Dé…nitions 1.3.3 Soient E et F deux ensembles et soit f : E ! F une application.
1. Soient x appartenant à E et y appartenant à F ; si y = f (x), on dit y est l’image de x par f et que x est
un antécédent de y par f . L’ensemble des images des éléments de E par f s’appelle l’image de E par f
et se note f (E) ou Im(f ).
Ainsi, on peut écrire
f (E) = fy 2 F; 9x 2 E; y = f (x)g :
2. On dit que f est injective lorsque tout élément de F a au plus un antécédent par f , c’est-à-dire lorsque
l’on a
8(x1 ; x2 ) 2 E 2 ; (f (x1 ) = f (x2 )) ) (x1 = x2 ):
Soit, de façon équivalente, lorsque l’on a
8(x1 ; x2 ) 2 E 2 ; (x1 6= x2 ) ) (f (x1 ) 6= f (x2 )) :
(En e¤et tout le monde a reconnu la contraposée.)
Dessin :
3. On dit que f est surjective lorsque tout élément de F a au moins un antécédent par f , c’est-à-dire lorsque
l’on a
8y 2 F; 9x 2 E; y = f (x) :
Cela revient à dire que f (E) = F .
Dessin :
12
Pascal BEAUGENDRE
On retient que f « surcharge» l’ensemble d’arrivée.
4. On dit que f est bijective lorsque f est injective et surjective, c’est-à-dire lorsque l’on a
8y 2 F; 9!x 2 E; y = f (x) :
C’est-à-dire lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée a exactement un antécédent.
Dessin :
Exemples 1.3.4
1. L’application
f : R ! R ; x 7! x3
est injective. En e¤et, pour tout (x1 ; x2 ) appartenant à R2 , on a
(f (x1 ) = f (x2 )) ) (x31 = x32 ) ) x31
x32 = 0 ) (x1
x2 ) x21 + x1 x2 + x22 = 0 :
Or
x21 + x1 x2 + x22 6= 0
donc
(x1
On a donc prouvé que
x2 ) x21 + x1 x2 + x22 = 0 ) (x1
x2 = 0) ) (x1 = x2 ) :
8(x1 ; x2 ) 2 R2 ; (f (x1 ) = f (x2 )) ) (x1 = x2 )
ce qui signi…e que l’application f : R ! R ; x 7! x3 est injective.
2. L’application
n’est pas injective, en e¤et, on a
f : R ! R ; x 7! x2
f (1) = f ( 1) :
3. L’application
est surjective, en e¤et,
f : R ! R+ ; x 7! x2
p
8y 2 R+ ; f ( y) = y:
Donc tout y appartenant à R+ a au moins un antécédent par f .
Exercice 1.3.5 Montrer que l’application
f : R ! R+ ; x 7! 3x
est bijective.
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1.3.3
13
Bijection réciproque d’une bijection
Dé…nition 1.3.6 Soit f : E ! F une bijection. A tout y de F , on peut faire correspondre son antécédent par
f . On obtient ainsi une nouvelle application, notée f 1 . L’application f 1 est encore une bijection, elle est
appelée la bijection réciproque de f (ou plus simplement la réciproque de f ).
1.3.4
La composition des applications
Dé…nition 1.3.7 Soient E; F et G trois ensembles et soient f : E ! F et g : F ! G deux applications. On
appelle composée de f et de g l’application g f de E dans G dé…nie par
8x 2 E; g f (x) = g (f (x)) :
On retient le schéma suivant
f
E
g
F
%
g f
&
!
G:
Remarque 1.3.8 La composition n’est pas, en général, une opération commutative.
Propriété 1.3.9 (l’associativité de la composition) Soient f : E ! F , g : F ! G et h : G ! H trois
applications, alors
h (g f ) = (h g) f:
Proposition 1.3.10 Si f : E ! F est bijective, alors en notant
idE : E ! E ; x 7! x et idF : F ! F ; y 7! y;
on a
f
1
f = idE et f
f
1
= idF :
La proposition précédente admet une réciproque qui est la proposition suivante.
Proposition 1.3.11 Si f : E ! F et g : F ! E sont deux applications telles que g
alors f et g sont bijectives et chacune est réciproque de l’autre.
f = idE et f
g = idF ,
Proposition 1.3.12 Soient f : E ! F et g : F ! G deux applications. Si f et g sont bijectives, alors g
est bijective et
1
(g f ) = f 1 g 1 :
1.4
1.4.1
f
Travaux dirigés : premières applications de la formule du binôme
de Newton
Enoncé
6
1. Soit x un réel ou un complexe. Développer réduire et ordonner (2 + x) .
p 6
p
2. Trouver deux entiers relatifs a et b tels que 1
3 = a + b 3.
3. Soit n appartenant à N , calculer
n
=
n
X
k
( 1)
k=0
4. (a) Soit n appartenant à N, calculer
Sn =
n
X
k=0
n
k
n
:
k
n
:
k
On pourra considérer la fonction fn : x 7! (1 + x) et la dériver de deux façons.
14
Pascal BEAUGENDRE
(b) Soit n appartenant à N, calculer
Sn0
=
n
X
n
.
k
k2
k=0
5. Soit n appartenant à N, calculer
X
n
:
2k
0 2k n
6. Soit n appartenant à N, calculer
X
n
:
2k + 1
0 2k+1 n
Remarque : par convention, si n = 0, cette somme est nulle.
7. Soit n appartenant à N, calculer
In =
n
X
k=0
8. Soit n appartenant à N, calculer
Sn =
n
X
n
k
k+1
:
n
:
k
k2k
k=0
2n
9. Soit n appartenant à N, en développant de deux façons la fonction polynomiale x 7! (x + 1) , calculer
n
X
n
k
k=0
n
n
k
:
10. (La formule de Vandermonde). Avec les conventions habituelles, montrer que, pour tout (a; b; n) appartenant à N3 , on a
n
X
a
b
a+b
=
:
k
n k
n
k=0
1.4.2
Correction succincte
1. Soit x un réel ou un complexe, on a
(2 + x)
6
6
X
6 p 6
x 2
p
p=0
=
26 + 6
=
p
25 x + 15
24 x2 + 20
23 x3 + 15
22 x4 + 6
2x5 + x6
64 + 192x + 240x2 + 160x3 + 60x4 + 12x5 + x6 :
=
2. On a
1
p
6
3
=
6
X
6
p
p=0
=
1+6
=
208
p
p
3
p
3 + 15
p
120 3:
p
p
2
3
+ 20
3
3
+ 15
p
4
3
+6
p
3. Soit n appartenant à N , on a
n
=
n
X
k=0
k
( 1)
n
k
n
= (( 1) + 1) = 0n = 0
(puisque n
1).
5
3
+
p
6
3
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15
4. Soit n appartenant à N.
Pour tout x appartenant à R, on pose
n
fn (x) = (1 + x) :
On dé…nit ainsi une fonction fn , deux fois dérivable sur R, telle que
n
X
n k
x :
k
n
8x 2 R; fn (x) = (1 + x) =
k=0
Dans les calculs qui suivent, on prend la convention suivante :
8
0h0 1 = 0
<
0 (0 1) h0 2 = 0
8h 2 R;
:
1 (1 1) h1 2 = 0
En dérivant fn deux fois, on obtient
n
X
n
kxk
k
8x 2 R; fn0 (x) =
et
8x 2 R; fn00 (x) =
n 1
1
= n (1 + x)
2
= n (n
k=0
n
X
n
k (k
k
1) xk
n 2
1) (1 + x)
:
k=0
(a) On en déduit que
Sn = fn0 (1) = n2n
1
:
(b) On en déduit également que
fn00 (1) =
n
X
k (k
1)
k=0
n
k
= n (n
1) 2n
2
ce qui entraîne
Sn0
=
n
X
k2
k=0
= n (n
n
k
=
n
X
n
k (k
k=0
n 2
1) 2
1)
n 1
+ n2
X n
n
+
k
k
k
k=0
n 2
= n (n + 1) 2
.
Remarque : on peut calculer Sn et Sn0 par une autre méthode en se souvenant que k
5. Soit n appartenant à N, on a
(1 + 1)
n
=
(1
n
=
1)
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
+ :::
0
1
2
3
4
5
6
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+ :::
0
1
2
3
4
5
6
En additionnant ces deux égalités, on obtient
2n + 0n = 2
X
0 2k n
Il s’ensuit que
X
0 2k n
n
2k
=
2n + 0n
=
2
n
:
2k
2n 1 si n 0
1 si n = 0:
n
k
=n
n 1
k 1
.
16
Pascal BEAUGENDRE
6. Soit n appartenant à N, par la même méthode (mais en faisant la di¤érence), on obtient
X
n
2k + 1
0 2k+1 n
2n
=
0n
2
2n 1 si n 0
0 si n = 0:
=
Remarque : par convention, si n = 0, cette somme est nulle.
7. On utilise les notations de la question 4.
Pour tout n appartenant à N, on a
n
X
n
k
k2k
k=0
=2
n
X
k2k
1
k=0
n
k
= 2fn0 (2) = 2n3n
1
:
8. Pour tout n appartenant à N, on a
n
X
k=0
n
k
k+1
=
n Z
X
k=0
=
"
1
k
t dt =
Z
n
X
n k
t
k
1
0
0
n+1
(t + 1)
n+1
#1
=
0
k=0
!
dt =
Z
1
n
(t + 1) dt
0
2n+1 1
:
n+1
Remarque : On peut calculer In par une autre méthode en remarquant que
n
k
k+1
=
n+1
k+1
n+1
.
9. Soit n appartenant à N, on développe de deux façons la fonction polynomiale
x 7! (x + 1)
2n
2n
=
:
(a)
8x 2 R; (x + 1)
2n
X
2n k
x
k
k=0
(b)
8x 2 R; (x + 1)
2n
"
n
X
n k
= (x + 1) (x + 1) =
x
k
n
n
k=0
2n
.
Pnn
n
k=0 k
#"
n
X
k0 =0
#
n k0
x
:
k0
Le coe¢ cient de xn dans l’expression du (a) est
n
Le coe¢ cient de xn dans l’expression du (b) est
n k .
Comme l’écriture d’une fonction polynomiale est unique, il s’ensuit que
n
X
n
k
n
n
k=0
k
=
2n
:
n
10. La formule de Vandermonde est une généralisation de la formule établie à la question 9. ; elle se démontre
de la même façon.
Soit (a; b; n) appartenant à N3 . On développe de deux façons la fonction polynomiale
x 7! (x + 1)
a+b
puis on calcule le coe¢ cient de xn dans chacun de ces deux développements et on obtient
n
X
a
k
k=0
b
n
k
=
a+b
:
n
Chapitre 2
Dénombrements
Notations : si n est un élément de N , l’ensemble f1; :::; ng se note aussi [[1; n]] ou bien Nn .
2.1
2.1.1
Ensembles …nis
Ensembles équipotents
Dé…nition 2.1.1 On dit que deux ensembles sont équipotents lorsqu’il existe une bijection de l’un sur l’autre.
Exemple 2.1.2 Les ensembles N10 et f11; :::; 10g sont équipotents. En e¤et, l’application
f : N10 ! f11; :::; 20g ; k 7! k + 10
est une bijection.
Ce n’est pas la seule bijection entre ces deux ensembles. Il y a aussi, par exemple,
g : N10 ! f11; :::; 20g ; k 7! 21
k:
On verra qu’il y en a 3628 800. (Voir page 20.)
Lemme 2.1.3 Soient m et n deux entiers strictement positifs. Si Nn et Nm sont équipotents, alors n = m.
2.1.2
Ensembles …nis
Intuitivement, un ensemble est …ni si l’on peut lui associer un entier naturel n obtenu en comptant ses éléments.
De façon précise, on pose la dé…nition suivante.
Dé…nition 2.1.4 Un ensemble E est …ni s’il est vide ou s’il existe un entier n strictement positif tel que E
soit en bijection avec Nn . Dans ce cas, cet entier n est unique, on l’appelle le cardinal de E ou encore le nombre
d’éléments de E et on note n = card(E) ou parfois n = #(E). Par convention, on pose card (?) = 0.
Remarque 2.1.5 L’unicité découle du lemme 2.1.3.
Remarque 2.1.6 Si card (E) = n avec n > 0, on peut numéroter les éléments de E ; en les notant e1 ; :::; en .
Alors, on peut écrire
E = fe1 ; :::; en g :
Cette notation sous-entend que les ei sont deux à deux distincts.
Théorème 2.1.7 Soient E et F deux ensembles …nis non vides.
1. Les ensembles E et F sont équipotents si, et seulement si, card (E) = card (F ).
17
18
Pascal BEAUGENDRE
2. Soit f une application de E dans F . On suppose que card (E) = card (F ), alors les conditions suivantes
sont équivalentes :
(1) f est injective
(2) f est surjective
(3) f est bijective.
2.1.3
Rappel de quelques propriétés
(Si elles n’étaient pas connues, on se contentera de les admettre.)
Dons tout ce paragraphe, E désigne un ensemble …ni.
1. Soit A une partie de E, alors A est un ensemble …ni et
card(A)
card (E) :
2. Soit A une partie de E, alors le complémentaire de A dans E, noté A, est …ni et
card(A) = card (E)
card(A):
3. Soient A1 et A2 deux ensembles …nis.
(a) Si A1 \ A2 = ?, alors
card (A1 [ A2 ) = card(A1 ) + card(A2 ):
(b) Dans le cas général, on a
card (A1 [ A2 ) = card(A1 ) + card(A2 )
4. Soit (Ai )1
i n
card (A1 \ A2 ) :
une famille de n ensembles …nis deux à deux disjoints (avec n
!
n
n
[
X
card
Ai =
card (Ai ) :
i=1
1), on a
i=1
Remarque 2.1.8 Il y a un théorème qui permet de calculer le cardinal d’une réunion dans le cas général : il
s’agit de l’énoncé hors programme suivant.
n
S
Théorème. Soit (Ai )1 i n une famille de n ensembles …nis (avec n 1). Alors
Ai est un ensemble …ni et
i=1
card
n
[
i=1
Ai
!
=
2
n 6
X
6
j+1
6( 1)
4
j=1
X
3
!
j
7
\
7
Ai k 7 :
5
card
j
k=1
(i1 ;:::;ij )2N ;
1 i1 <:::<ij n
Cette relation est appelée la formule du crible ou encore la formule de Poincaré.
On étudiera tout cela en détail dans les travaux dirigés page 22.
2.2
2.2.1
Dénombrements usuels
Les produits cartésiens
Exercice 2.2.1 (Pour s’échau¤er) Dénombrer l’ensemble N2
N3 .
Théorème 2.2.2 Si E et F sont deux ensembles …nis, alors l’ensemble E
card (E
F ) = card(E) card(F ):
Remarque 2.2.3 En particulier, si E est un ensemble …ni, on a
card(E 2 ) = card (E
2
E) = (card(E)) :
F est …ni et
Probabilités en MPSI ou en PCSI Version gratuite sans les démonstrations et sans les réponses
2.2.2
19
Le principe du produit
Proposition 2.2.4 (cas de deux étapes.) Si une situation comporte deux étapes o¤ rant respectivement n1 ,
n2 possibilités, où chacun des nombres n1 , n2 ne dépend que du numéro de l’étape, alors le nombre total de
situations possibles est n1 n2 .
Proposition 2.2.5 (cas de p étapes.) Si une situation comporte p étapes (p
1) o¤ rant respectivement n1 ,
n2 , :::, np possibilités, où chacun des nombres ni ne dépend que du numéro de l’étape, alors le nombre total de
situations possibles est n1 n2 ::: np .
2.2.3
Les p-listes. Lien avec le nombre d’applications
Dans tout ce paragraphe n désigne un entier naturel.
Dé…nition 2.2.6 Soit p appartenant à N et soit E un ensemble de cardinal n. Une p-liste formée d’éléments
de E est une suite formée de p éléments de E. Ainsi, l’ensemble des p-listes formée d’éléments de E est E p .
Une p-liste formée d’éléments de E est aussi appelée un p-uplet d’éléments de E.
Exemples 2.2.7 Si p = 2, une 2-liste formée d’éléments de E est un élément de E 2 . Dans ce cas on dit aussi
que les éléments de E 2 sont des couples d’éléments de E.
Si p = 3, une 3-liste formée d’éléments de E est un élément de E 3 . Dans ce cas, on dit aussi que les éléments
de E 3 sont des triplets d’éléments de E.
Théorème 2.2.8 Soit p appartenant à N et soit E un ensemble de cardinal n, alors, on a
card (E p ) = np :
Théorème 2.2.9 Soit p appartenant à N . Le nombre d’applications d’un ensemble à p éléments dans un
ensemble à n éléments est np .
Exercice 2.2.10 On lance 3 fois un dé pour former un nombre à 3 chi¤res. Déterminer le nombre de résultats
possibles.
Exercice 2.2.11 Ecrire toutes les applications de N2 dans N3 .
2.2.4
Les arrangements. Lien avec le nombre d’injections
Dé…nition 2.2.12 Soit (p; n) appartenant à N2 avec 1
p
n. Soit E un ensemble de cardinal n. Un
arrangement à p éléments de E est une p-liste formée d’éléments de E deux à deux distincts.
Exercice 2.2.13 Ecrire tous les arrangements à deux éléments de N3 .
Théorème 2.2.14 Soit (p; n) appartenant à N2 avec 1 p n et soit E un ensemble de cardinal n. Le nombre
n!
. On note ce nombre Apn .
d’arrangements à p éléments de E est
(n p)!
Remarque 2.2.15 (Conventions)
1. Si n
0 et si p = 0, on prend la convention que A0n = 1. On peut donc encore écrire A0n =
n!
(n
0)!
(même si n = 0 compte tenu de la convention habituelle : 0! = 1).
2. Si p > n, on prend la convention que Apn = 0.
Théorème 2.2.16 Soit (p; n) appartenant à N2 avec 1
éléments dans un ensemble à n éléments est Apn .
p
n. Le nombre d’injections d’un ensemble à p
20
Pascal BEAUGENDRE
2.2.5
Permutations
Dé…nition 2.2.17 Soit E un ensemble. Une bijection de E dans lui-même s’appelle une permutation de E.
Théorème 2.2.18 Soit n appartenant à N . Le nombre de bijections d’un ensemble à n éléments dans un
ensemble à n éléments est n! .
En particulier, le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est n! .
Exemple 2.2.19 Le nombre de bijections d’un ensemble à 10 éléments dans un ensemble à 10 éléments est
10! = 3628 800.
Remarque 2.2.20 Soit E un ensemble …ni de cardinal n appartenant à N . Par abus, un arrangement de n
éléments de E est aussi appelé une permutation de E.
2.2.6
Combinaisons
Dé…nition 2.2.21 Soit (n; p) appartenant à N2 avec 0 p n et soit E un ensemble …ni de cardinal n. Une
combinaison à p éléments de E est une partie de E de cardinal p.
Exercice 2.2.22 Ecrire toutes les combinaisons à 2 éléments de N4 . Ecrire ensuite tous les arrangements à 2
éléments de N4 et comparer.
Théorème 2.2.23 Soit (n; p) appartenant à N2 avec 0 p n et soit E un ensemble …ni de cardinal n. Le
nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments est
n!
:
p! (n p)
On note
n
p
ce nombre. Ainsi, on a
n
p
=
Apn
:
p!
Remarque 2.2.24 Parfois (autrefois surtout) on note Cnp à la place de
n
p
Remarque 2.2.25 Si p > n ou si p < 0, alors, par convention,
n
p
. Voir la remarque 1.1.6 page 5.
= 0.
Exercice 2.2.26 Combien de grilles à six numéros peut-on former au Loto ? (Selon les règles en vigueur avant
2008.)
Propriétés 2.2.27 Les propriétés suivantes sont immédiates.
1. Soient n et p appartenant à N, avec p
n. Alors
n
p
n
=
n
p
:
Compte tenu des conventions habituelles, cette formule reste vraie si p > n.
2. Soit n appartenant à N, alors
3. Soit n appartenant à N , alors
n
0
n
1
n
n
=
=
= 1:
n
n
1
= n:
Compte tenu des conventions habituelles, cette formule reste vraie si n = 0.
Probabilités en MPSI ou en PCSI Version gratuite sans les démonstrations et sans les réponses
4. Soient n et p appartenant à N, avec p
21
n. Alors
p
n
p
n
p
=n
1
:
1
Compte tenu des conventions habituelles, cette formule est bien vraie si n = 0 ou si p = 0.
Proposition 2.2.28 (formule du triangle de Pascal) Soient n et p appartenant à N, avec p
utilisant les conventions habituelles, on a
n
p
+
1
n
p
=
n. En
n+1
:
p
Application : le triangle de Pascal permet de calculer les coe¢ cients binomiaux de proche en proche.
nnp
0
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
0
1
3
6+
10
15
5
3
=
4
4
+
2
3
3
0
0
0
1
4
10
20
4
0
0
0
0
1
5
15
5
0
0
0
0
0
1
6
6
0
0
0
0
0
0
1
Par exemple, on a
= 6 + 4 = 10:
Dans la proposition qui suit K désigne R ou C et on utilise aussi la convention habituelle suivante :
8x 2 R ou C; x0 = 1:
Proposition 2.2.29 Soient a, b appartenant à K et soit n appartenant à N, on a
n
(a + b) =
n
X
n p n
a b
p
p=0
p
.
Remarque 2.2.30 C’est en raison de cette formule que les coe¢ cients
binomiaux.
n
p
sont souvent appelés les coe¢ cients
Corollaire 2.2.31 Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n .
Remarque 2.2.32 On peut aussi démontrer ce résultat en prouvant que P (E) est équipotent à l’ensemble
f0; 1gn .
Remarque 2.2.33 Il faut revoir les sommes faisant intervenir des coe¢ cients binomiaux. (Cf les travaux
dirigés page 13.)
Pn
Pn
Les exemples classiques sont k=0 k nk , k=0 k 2 nk et la formule de Vandermonde :
8 (a; b; n) 2 N3 ;
(avec les conventions habituelles).
n
X
a
k
k=0
b
n
k
=
a+b
n
22
Pascal BEAUGENDRE
2.3
Autres dénombrements faisant intervenir des coe¢ cients binomiaux
2.3.1
Nombre de j-listes strictement croissantes formées d’entiers appartenant à
Nn .
Théorème 2.3.1 Soit (j; n) appartenant à N2 tel que 1
card (i1 ; :::; ij ) 2 Nj ; 1
2.3.2
j
n. On a
i1 < ::: < ij
n =
n
j
Nombre de n-listes contenant p fois l’élément 0 et n
:
p fois l’élément 1
Théorème 2.3.2 Soit n un entier naturel non nul et soit p un entier appartenant à f0; : : : ; ng. Le nombre de
n
n-listes contenant p fois l’élément « 0» et n p fois l’élément « 1» est
.
p
2.3.3
Anagrammes
Dé…nition 2.3.3 Une anagramme est un mot obtenu en permutant les lettres d’un mot donné.
Remarque 2.3.4 On ne s’occupe pas de savoir si les mots ont un sens ou non.
Exercice 2.3.5 Déterminer le nombre d’anagrammes du mot MATHS.
Exercice 2.3.6 Déterminer le nombre d’anagrammes du mot CONCOURS.
Plus généralement, on peut retenir le théorème suivant.
Théorème 2.3.7 Soient x1 ; :::; xk k éléments deux à deux distincts et soient n1 ; :::; nk des entiers non tous
nuls. On pose n = n1 + ::: + nk . Le nombre de n-uplets contenant
8
>
> n1 fois l’élément x1
>
< n2 fois l’élément x2
..
>
.
>
>
:
nk fois l’élément xk
est
n!
:
n1 !n2 !:::nk !
Il est intéressant de dégager le cas particulier suivant qui correspond à k = 2 et qui permet de retrouver un
théorème déjà vu.
Corollaire 2.3.8 Soit n un entier non nul et soit p un entier appartenant à f0; : : : ; ng. Le nombre de n-listes
n
contenant p fois l’élément « 0» et n p fois l’élément « 1» est
.
p
2.4
Travaux dirigés : la formule du crible (démonstration et applications)
On rappelle qu’il s’agit du théorème suivant. Il avait été énoncé sans démonstration page 18.
Probabilités en MPSI ou en PCSI Version gratuite sans les démonstrations et sans les réponses
Théorème 2.4.1 Soit (Ai )1
n
S
Ai est un ensemble …ni et
i n
23
une famille de n ensembles …nis (avec n un entier naturel non nul). Alors
i=1
n
[
card
Ai
i=1
soit
card
n
[
Ai
i=1
=
n
X
X
1 i1 <i2 n
j+1
+ ( 1)
=
2
n 6
X
6
j+1
6( 1)
4
j=1
X
3
!
j
7
\
7
Ai k 7
5
card
j
(2.1)
k=1
(i1 ;:::;ij )2N ;
1 i1 <:::<ij n
!
card (Ai1 )
i1 =1
!
X
1 i1 <:::<ij
n
card (Ai1 \ Ai2 ) +
X
1 i1 <i2 <i3 n
card (Ai1 \ Ai2 \ Ai3 ) + :::
card Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aij + ::: + ( 1)
n+1
card (A1 \ A2 \ ::: \ An ) :
Remarque 2.4.2 Si les ensembles formant la famille (Ai )1 i n sont deux à deux disjoints, on retrouve la
formule connue
!
n
n
[
X
card
Ai =
card (Aj ) :
i=1
j=1
Remarque 2.4.3 Si n = 2, on retrouve la formule connue
card (A1 [ A2 ) = card(A1 ) + card(A2 )
card (A1 \ A2 ) :
Remarque 2.4.4 Si n = 3, la formule s’écrit
card(A1 [ A2 [ A3 )
=
card(A1 ) + card(A2 ) + card(A3 )
card(A1 \ A2 )
card(A1 \ A3 )
card(A2 \ A3 )
+ card(A1 \ A2 \ A3 ).
Exercice 2.1 Ecrire la formule pour n = 4.
Remarque 2.4.5 On a vu que, pour tout (j; n) appartenant à N2 tel que 1
card (i1 ; :::; ij ) 2 Nj ; 1
i1 < ::: < ij
n =
j
n
j
n, on a
:
(Cf le théorème 2.3.1 page 22.)
Dans la formule (2.1), la somme entre les crochets a donc
n
j
termes.
Le cas particulier suivant est très utile.
Théorème 2.4.6 Soit (Ai )1 i n une famille de n ensembles …nis (avec n supérieur ou égal à 1.) On suppose
que, pour tout j appartenant à Nn et pour tout (i1 ; :::; ij ) appartenant à Nj véri…ant 1 i1 < ::: < ij n, on a
!
!
j
j
\
\
card
Aik = card
Ak :
k=1
k=1
Alors la formule du crible se simpli…e et devient
!
"
n
n
[
X
j+1 n
card
Ai =
( 1)
card
j
i=1
j=1
j
\
k=1
Ak
!#
:
(2.2)
24
Pascal BEAUGENDRE
N. B. : Cette simpli…cation a lieu lorsque
card Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aij
ne dépend que de j.
Exercice 2.2 Dans un établissement scolaire, 14% des élèves apprennent le russe, 78 % de élèves n’apprennent
ni le russe ni le japonais. Aucun élève n’apprend ces deux langues. Quel est le pourcentage d’élèves qui
apprennent le japonais ?
Exercice 2.3 Dans une classe on sait que 16 élèves étudient l’anglais, 13 élèves étudient l’espagnol, 13 élèves
étudient l’allemand, 4 élèves étudient l’anglais et l’espagnol. 6 élèves étudient l’espagnol et l’allemand, 5 élèves
étudient l’anglais et l’allemand, 3 élèves étudient les trois langues. Tous les élèves étudient au moins une langue.
Quel est le nombre d’élèves de cette classe ?
Exercice 2.4 Problème des coïncidences. Soit n un entier strictement positif.
1. Quel est le nombre de façons de mettre n lettres dans n enveloppes ?
2. Quel est le nombre de façons de mettre n lettres dans n enveloppes de façon qu’au moins une lettre arrive
à son destinataire ?
Qui était POINCARÉ ?
Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, physicien
et philosophe français. Il a réalisé des travaux d’importance majeure en optique et en calcul in…nitésimal. Ses
avancées sur le problème des trois corps en font un fondateur de l’étude qualitative des systèmes d’équations
di¤érentielles et de la théorie du chaos ; il est aussi un précurseur majeur de la théorie de la relativité restreinte.
On le considère comme un des derniers grands savants universels, maîtrisant en particulier l’ensemble des
branches des mathématiques
Et les autres POINCARÉ ?
Son père, Léon, était professeur à la faculté de médecine de Nancy ; le frère de Léon, Antoine, qui était
ingénieur polytechnicien, eut deux …ls ; de ces deux cousins d’Henri Poincaré, l’un, Lucien Poincaré, occupa de
hautes fonctions administratives dans l’Université et l’autre, Raymond Poincaré, fut président de la République
de 1913 à 1920, plusieurs fois président du Conseil et ministre.
Chapitre 3
Les espaces probabilisés …nis
L’objectif est de réviser le cours de probabilité de la classe de terminale en utilisant dès maintenant le vocabulaire
et la plupart des notations de la théorie des espaces probabilisés généraux de Kolmogorov1 .
3.1
Généralités
3.1.1
Dé…nitions
Dé…nition 3.1.1 Soit un ensemble …ni. Le couple ( ; P ( )) est appelé espace probabilisable …ni. On rappelle
que P ( ) désigne l’ensemble des parties de . L’ensemble est l’ensemble des possibles.
Dé…nition 3.1.2 Soit ( ; P ( )) un espace probabilisable …ni. On appelle événement tout élément de P ( ).
Tout singleton f!g
est appelé un événement élémentaire.
Exemple 3.1.3 On lance deux dés cubiques. L’ensemble des possibles est
résultats possibles de l’expérience.)
Si l’on considère l’événement
= N6
N6 . (C’est l’ensemble des
A = « la somme est supérieure ou égale à 10» ,
alors
A = f(4; 6); (6; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 5)(6; 6)g :
Dé…nition 3.1.4 Soit ( ; P ( )) un espace probabilisable …ni. On appelle probabilité sur cet espace toute
application
P : P ( ) ! [0; 1]
véri…ant les deux conditions suivantes
(1) P ( ) = 1 ;
(2) Pour tout couple d’événements (A; B) véri…ant A \ B = ?, on a
P (A [ B) = P (A) + P (B) :
Dans ce cas, le triplet ( ; P ( ) ; P ) est appelé un espace probabilisé …ni.
1 Andreï
Nikolaïevitch Kolmogorov (1903-1987) était un mathématicien russe.
25
26
Pascal BEAUGENDRE
3.1.2
Premières propriétés
Dans tout ce paragraphe, on suppose que ( ; P ( ) ; P ) est un espace probabilisé …ni.
Propriétés 3.1.5
1. P (?) = 0. (Ce qui implique que
2. Soit n un entier naturel non nul et soit (Ai )1
0
1 i n
On rappelle que
[
1 i n
une famille d’événements deux à deux disjoints, on a
i n
[
P@
6= ?).
1
Ai A =
n
X
P (Ai ) :
i=1
Ai désigne l’événement A1 [ A2 [ ::: [ An .
3. Soit A un événement, on a
P A =1
P (A) :
(3.1)
Ici A désigne le complémentaire de A dans .
N. B. : il est parfois plus facile de calculer P A que P (A).
4. Soient A et B deux événements véri…ant A B.
Alors
P (BnA) = P (B)
P (A)
et donc
P (A)
P (B) :
(On dit que l’application P est croissante relativement à l’inclusion.)
5. Pour tout couple d’événements (A; B), on a
P (A [ B) = P (A) + P (B)
P (A \ B) :
6. (Complément hors programme) Soit n un entier naturel non nul et soit (Ai )1 i n une famille de n événements, on a
2
3
!
!
j
n 6
n
7
X
X
\
[
6
7
j+1
P
Ai k 7
P
Ai =
6( 1)
4
5
j
j=1
i=1
k=1
(i1 ;:::;ij )2N ;
1 i1 <:::<ij n
(C’est la formule du crible ou de Poincaré.)
Si pour tout j appartenant à Nn et tout (i1 ; :::; ij ) appartenant à Nj tels que 1
P
j
\
Ai k
k=1
!
=P
j
\
Ak
k=1
!
i1 < ::: < ij
n, on a
;
alors la formule se simpli…e et devient
P
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
j=1
"
( 1)
j+1
n
P
j
j
\
k=1
Ak
!#
:
Remarque 3.1.6 Pour démontrer la propriété 3., on n’a pas utilisé que P est une application à valeurs dans
[0; 1]. On a seulement utilisé que P est à valeurs dans R+ . Comme l’inégalité (3.1) de la propriété 3. implique
que
8A 2 T ; P (A) 2 [0; 1] ;
on peut remplacer l’hypothèse « P est une application de T dans [0; 1]» de la dé…nition 3.1.4 page 25 par
l’hypothèse plus faible : « P est une application de T dans R+ » .
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27
Remarque 3.1.7 Comme ( ; P ( ) ; P ) est un espace probabilisé …ni, la probabilité P est caractérisée par ses
valeurs sur les singletons, c’est-à-dire par la donnée des valeurs de P (f!g), pour ! appartenant à .
En e¤et, si A est un événement, on a
X
P (A) =
P (f!g) :
!2A
3.1.3
Une première version de la formule des probabilités totales
Dé…nition 3.1.8 Soit (Ai )1 i n une famille d’événements (avec n 1). On dit que (Ai )1 i n est un système
complet d’événements lorsque les événements qui la composent sont deux à deux disjoints et de réunion .
Exemple 3.1.9 Si A est un événement, alors A; A est un système complet d’événements.
Propriété 3.1.10 Si (Ai )1
i n
est un système complet d’événements, alors
n
X
P (Ai ) = 1:
i=1
On fera attention à ne pas confondre cette propriété avec la dé…nition qui la précède.
Proposition 3.1.11 (formule des probabilités totales première version) Soit (Ai )1
plet d’événements. Pour tout événement B, on a
P (B) =
n
X
i=1
3.2
i n
un système com-
P (B \ Ai ) :
Le cas particulier de l’équiprobabilité
Dé…nition 3.2.1 Soit ( ; P ( )) un espace probabilisable …ni non vide. On dit que P est la probabilité de
l’équiprobabilité sur cet espace lorsque P est l’application de P ( ) dans [0; 1] dé…nie par
8A
; P (A) =
card (A)
:
card ( )
Remarque 3.2.2 L’application
P : P ( ) ! [0; 1] ; A 7!
card (A)
card ( )
est bien une probabilité sur l’espace probabilisable ( ; P ( )).
En e¤et,
card ( )
=1
card ( )
et, pour tout couple d’événements (A; B) véri…ant A \ B = ?, on a
card (A) + card B
card (A) card (B)
card (A [ B)
=
=
+
:
card ( )
card ( )
card ( )
card ( )
Proposition 3.2.3 Soit ( ; P ( )) un espace probabilisable …ni non vide. Soit P une probabilité sur cet espace.
Les conditions suivantes sont équivalentes
(1) P est la probabilité de l’équiprobabilité,
(2) 8! 2
; P (f!g) =
(3) il existe
1
,
card ( )
appartenant à R tel que
8A
; P (A) =
card (A) :
28
Pascal BEAUGENDRE
Exercice 3.2.4 Dans un jeu de dé équiprobable (à six faces), calculer P (fig), pour tout i appartenant à N6 .
Calculer ensuite P (f1; 2; 3g) et P (f1; 6g).
Exercice 3.2.5 On lance deux dés cubiques non pipés. Quelle est la probabilité qu’au moins un des dés donne
un nombre pair ? Quelle est la probabilité que la somme des deux nombres obtenus soit supérieure ou égale à
10 ?
Remarque 3.2.6 Les exercices de dénombrement du chapitre précédent peuvent être reposés dans ce contexte.
Exercice 3.2.7 On joue au poker avec un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir une double paire ?
Exercice 3.2.8 Un ivrogne imbibé d’alcool quitte le bistrot pour rejoindre son domicile. A chaque carrefour,
l’ivrogne choisit aléatoirement de se diriger vers l’est ou vers le nord et les deux directions sont équiprobables.
Ainsi, on suppose que les trajectoires possibles équiprobables. Quelle est la probabilité qu’il rejoigne son
domicile ? (Les rues du quartier forment un quadrillage rectangulaire.)
3.3
3.3.1
Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales et
formule de Bayes
Introduction
Considérons à nouveau un jeu consistant à lancer de deux dés équilibrés. (On rappelle que
note A l’événement « on obtient une somme supérieure ou égale à 10» . On a vu que
P (A) =
= N6
N6 .) On
1
:
6
On suppose que le premier dé a donné un 3 (événement B). Le joueur disposant de cette information sait
que l’événement A est irréalisable (les événements A et B sont incompatibles). On peut l’exprimer en disant
que la probabilité de A sachant que B est réalisé est nulle. On note P (AjB) = 0 (ou bien PB (A) = 0).
P (AjB) se lit « probabilité de A sachant que B est réalisé» ou bien « probabilité de A sachant B» .
On suppose que le premier dé a donné un 6 (événement C). Si le joueur le joueur dispose de cette information,
alors, il sait alors que, pour atteindre ou dépasser 10, il faut que le deuxième dé donne 4; 5 ou 6 et qu’il aura
donc 3 chances sur 6 d’y parvenir. On dira que la probabilité de A sachant que C est réalisé est égale 63 = 12 .
On note P (AjC) = 21 (ou bien PC (A) = 21 ).
3.3.2
Probabilités conditionnelles : dé…nition et propriétés
Dans tout ce paragraphe, on suppose que ( ; P ( ) ; P ) est un espace probabilisé …ni.
Dans les di¤érents cas présentés dans l’introduction, on a
PB (A) =
P (A \ B)
P (A \ C)
et PC (A) =
;
P (B)
P (C)
ce sont des relations de ce types qui permettent de dé…nir les probabilités conditionnelles.
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29
Dé…nition 3.3.1 Soit B un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement A, on appelle probabilité
conditionnelle de A sachant que B est réalisé le nombre
PB (A) =
P (A \ B)
:
P (B)
Ce nombre peut aussi être noté P (AjB). On lit « probabilité de A sachant que B est réalisé» ou bien « probabilité
de A sachant B» .
Propriétés 3.3.2
1. Soient A et B deux événements. On suppose que le réel P (B) est non nul. Alors, on a
(a) 0
PB (A)
1.
(b) P (A \ B) = PB (A) P (B). (On peut donc calculer P (A \ B) si l’on connaît PB (A) et P (B).)
(c) Si le réel P (A) est aussi non nul, alors
P (A \ B) = PB (A) P (B) = PA (B) P (A) :
2. Soit B un événement de probabilité non nulle. L’application
PB : A 7!
P (A \ B)
P (B)
est une probabilité sur l’espace probabilisable ( ; P ( )).
Exemple 3.3.3 Considérons une famille ayant a deux enfants. On suppose les cas équiprobables.
1. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons ?
2. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons sachant que l’aîné est un garçon ?
3. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons sachant qu’il y a au moins un garçon ?
Proposition 3.3.4 (Généralisation de l’égalité P (A \ B) = PB (A) P (B) : la formule des probabilités composées.)
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit (Ai )1 i n une famille d’événements véri…ant
P (A1 \ ::: \ An
1)
6= 0:
Alors, on a
P (A1 \ ::: \ An ) = P (A1 ) PA1 (A2 ) PA1 \A2 (A3 ) :::PA1 \:::\An
1
(An ) :
Exercice 3.3.5 Une urne contient 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et sans remise 3
boules. Quelle est la probabilité que les deux premières boules tirées soient blanches et que la troisième soit
noire ?
3.3.3
La formule des probabilités totales (seconde version)
Dans tout ce paragraphe, on suppose que ( ; P ( ) ; P ) est un espace probabilisé …ni.
Proposition 3.3.6 Soit (Ai )1 i n un système complet d’événements. On suppose que, pour tout i appartenant
à Nn , on a P (Ai ) 6= 0.
Alors, pour tout événement B, on a
P (B) =
n
X
i=1
P (B \ Ai ) =
n
X
i=1
PAi (B) P (Ai ) :
30
Pascal BEAUGENDRE
Remarque 3.3.7 Si les événements qui forment le système complet d’événements ne sont pas tous de probabilité non nulle, cette formule reste vraie en posant, par convention, PAi (B) P (Ai ) = 0, pour tout i tel que
P (Ai ) = 0.
Remarque 3.3.8 Le cas particulier suivant est très souvent utilisé.
Soit A un événement, alors, pour tout événement B, on a
P (B) = PA (B) P (A) + PA (B) P A :
3.3.4
La formule de Bayes
Proposition 3.3.9 Soit (Ai )1 i n un système complet d’événements. Si les événements qui forment le système
complet d’événements ne sont pas tous de probabilité non nulle, on utilise la convention précédente.
Soit B un événement de probabilité non nulle, alors, on a
PA (B) P (Aj )
:
PB (Aj ) = Pn j
i=1 PAi (B) P (Ai )
Remarque 3.3.10 Si les événements qui forment le système complet d’événements ne sont pas tous de probabilité non nulle, cette formule est vraie en utilisant la convention de la remarque 3.3.7. En revanche, l’hypothèse
« B est de probabilité non nulle» est essentielle.
Exercice 3.3.11 Pour se rendre au lycée, un élève a le choix entre trois itinéraires.
S’il emprunte l’itinéraire numéro 1 il arrive à l’heure. S’il emprunte l’itinéraire numéro 2 il arrive à l’heure avec
une probabilité de 32 . S’il emprunte l’itinéraire numéro 3 il arrive à l’heure avec une probabilité de 13 . Chaque
matin il choisit un itinéraire au hasard.
Bien sûr on peut se demander pourquoi il ne choisit par toujours l’itinéraire numéro 1 ! Comme les données
ne permettent pas de répondre à cette question nous allons nous poser deux autres questions.
1. Quelle est la probabilité que l’élève arrive à l’heure.
2. Si l’élève arrive à l’heure, quelle est la probabilité qu’il ait emprunté l’itinéraire numéro 1 ?
3.4
Indépendance
Dans tout ce paragraphe ( ; P ( ) ; P ) désigne un espace probabilisé …ni.
3.4.1
Indépendance de deux événements
Dé…nition 3.4.1 Soient A et B deux événements. On dit que A et B sont indépendants lorsque l’on a
P (A \ B) = P (A) P (B) :
Remarque 3.4.2 Si A et B sont deux événements indépendants et si B est de probabilité non nulle, alors
PB (A) = P (A) :
3.4.2
Indépendance d’une famille d’événements
Dé…nition 3.4.3 Soit (Ai )1 i n une famille d’événements (avec n 2). On dit que les événements de cette
famille sont indépendants dans leur ensemble (ou mutuellement indépendants) lorsque, pour tout J Nn avec
card(J) 2, on a
!
\
Y
P
Ai =
P (Ai ) :
i2J
i2J
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31
Remarque 3.4.4 On peut dé…nir une autre notion d’indépendance pour une famille d’événements : on dit que
les événements de la famille (Ai )1 i n sont deux à deux indépendants lorsque
8 (i; j) 2 N2n ; (i 6= j) ) P (Ai \ Aj ) = P (Ai ) P (Aj ) :
Remarque 3.4.5 Si les événements sont indépendants dans leur ensemble, alors ils sont deux à deux indépendants. La réciproque est fausse en général. Voici un contre-exemple.
On dispose d’une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire avec remise deux boules et on
appelle A1 l’événement « la première boule porte un numéro pair» , A2 l’événement « la deuxième boule porte
un numéro pair» et A3 l’événement « la somme des deux numéro est un nombre pair» . Les événements de la
famille (Ai )1 i 3 sont deux à deux indépendants mais ils ne sont pas mutuellement indépendants.
Remarque 3.4.6 Si on trouve dans un énoncé la phrase « soit (Ai )1 i n une famille d’événements indépendants» cela sous-entend que c’est une famille d’événements mutuellement indépendants.
3.5
Variables aléatoires réelles attachées à un espace probabilisé …ni
Dans tout ce paragraphe ( ; P ( ) ; P ) est un espace probabilisé …ni.
3.5.1
Généralités
Dé…nition 3.5.1 On appelle variable aléatoire réelle attachée à l’espace
P ( ) une application X : ! R.
muni de la famille d’événements
Remarque 3.5.2 Cette année, nous appellerons variable aléatoire réelle …nie une telle application. Comme
l’ensemble
est …ni, l’ensemble X ( ) est …ni également. C’est parce que X ( ) est …ni que les choses sont
relativement simples.
En seconde année on appellera variable aléatoire réelle …nie une variable aléatoire réelle qui ne prend qu’un
nombre …ni de valeurs (sans imposer que soit …ni).
Remarque 3.5.3 En pratique, on ne mentionnera pas à chaque fois que la variable aléatoire réelle est attachée
à l’espace muni de la famille d’événements P ( ).
Exemple 3.5.4 On joue à pile ou face en e¤ectuant 10 lancers. On peut dé…nir dix variables aléatoires réelles
…nies X1 ; :::; X10 liées à cette expérience aléatoire en posant, pour tout i appartenant à N10 , Xi = 0 si au lancer
n i on
Pa10 pile et Xi = 1 si au lancer n i on a face. On peut également dé…nir la variable aléatoire réelle …nie
Y = i=1 Xi qui compte le nombre de faces.
Exemple 3.5.5 On lance deux dés et on étudie les sommes obtenues. Soit X la variable aléatoire désignant
la somme obtenue. Alors l’univers associé à cette expérience est = N6 N6 et les valeurs de X obtenues en
fonction des issues sont représentées dans le tableau ci-dessous :
dé n 1n dé n 2 1 2 3 4
5
6
1
2 3 4 5
6
7
2
3 4 5 6
7
8
3
4 5 6 7
8
9 .
4
5 6 7 8
9
10
5
6 7 8 9
10 11
6
7 8 9 10 11 12
Ainsi, on a par exemple X((3; 5)) = 8.
Petit exercice : trouver tous les couples (x; y) appartenant à tels que X ((x; y)) = 8.
Réponse : (6,2), (5,3), (4,4), (3,5) et (2,6).
Notation 3.5.6 Si a est un réel R, on note (X = a) l’ensemble des antécédents de a par X. Alors (X = a) est
un événement que l’on peut aussi noter X 1 (fag).
On a bien sûr
(X = a) = f! 2 ; X (!) = ag :
32
Pascal BEAUGENDRE
Notation 3.5.7 Si A R, on note (X 2 A) l’ensemble des antécédents des éléments de A par X. (X 2 A) est
un événement que l’on peut aussi noter X 1 (A).
On a bien sûr
(X 2 A) = f! 2 ; X (!) 2 Ag :
3.5.2
Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle …nie
Dé…nition 3.5.8 Soit X une variable aléatoire réelle …nie, on appelle loi (de probabilité) de X l’application
X ( ) ! [0; 1] ; x 7! P (X = x) :
Remarque 3.5.9 Donner la loi d’une variable aléatoire réelle …nie X c’est donner X ( ) puis P ((X = x)),
pour tout x appartenant à X ( ). Cela revient donc à donner l’ensemble de couples suivant :
f(x; P (X = x)) ; x 2 X ( )g :
Cet ensemble de couples est aussi appelé la loi de X.
Exercice 3.5.10 Donner la loi de X la variable aléatoire réelle …nie de l’exemple 3.5.5.
Proposition 3.5.11 Si X est une variable aléatoire réelle …nie, on a
8x 2 X ( ) ; P (X = x)
et
X
0
P (X = x) = 1:
x2X( )
La proposition qui suit fournit une réciproque.
Proposition 3.5.12 Soit E une partie …nie de R et soit f(b; pb ) ; b 2 Eg un ensemble de couples véri…ant
8b 2 E; pb 2 R+
et
X
pb = 1:
b2E
Alors il existe une variable aléatoire réelle …nie X dont f(b; pb ) ; b 2 Eg est la loi.
Proposition 3.5.13 Si X est une variable aléatoire réelle …nie, alors
X
8A R; P (X 2 A) =
P (X = x) :
x2X( ) et x2A
3.5.3
Espérance, variance, écart-type
Dé…nitions
Dé…nitions 3.5.14 Soit X une variable aléatoire réelle …nie.
On appelle espérance de X le réel
X
E (X) =
xP (X = x) :
x2X( )
On appelle variance de X le réel
V (X) =
X
(x
2
E (X)) P (X = x) :
x2X( )
On appelle écart-type de X le réel
(X) =
p
V (X):
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33
Remarque 3.5.15 Pour toute variable aléatoire réelle …nie X, on a
Donc
p
V (X)
0:
V (X) existe.
Remarque 3.5.16 L’espérance s’interprète comme une moyenne pondérée. En e¤et, on a
P
x2X( ) xP (X = x)
:
E (X) = P
x2X( ) P (X = x)
C’est la moyenne des réels x appartenant à X ( ), chaque réel x étant a¤ecté du coe¢ cient P (X = x). C’est
pour cette raison que l’espérance est aussi appelée la moyenne de X.
Remarque 3.5.17 De même V (X) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Remarque 3.5.18 En pratique X ( ) sera souvent une partie de N (…nie dans ce cours de maths sup). Les
sommes s’écriront donc en utilisant la numérotation naturelle.
Par exemple, si
X ( ) = f0; :::; ng ;
alors
E (X) =
n
X
kP (X = k) :
k=0
Exercice 3.5.19 Calculer E (X) lorsque X est la variable aléatoire réelle …nie de l’exemple 3.5.5.
Proposition 3.5.20 (Utile uniquement pour certaines démonstrations théoriques.) Si X est une variable aléatoire réelle …nie, on a
X
E (X) =
X (!) P (f!g) :
!2
Remarque 3.5.21 Dans la proposition précédente il est très important que
soit …ni.
Espérance de f (X)
Proposition 3.5.22 (formule de transfert) Soit X une variable aléatoire réelle …nie et soit f une fonction
de R dans R. On suppose que f est dé…nie sur X ( ). Alors l’application f X est encore une variable aléatoire
réelle (…nie).
On la note f (X) et on a
X
E (f (X)) =
f (x) P (X = x) :
(3.2)
x2X( )
Application : les moments d’une variable aléatoire réelle …nie
Dé…nition 3.5.23 Soit X une variable aléatoire réelle …nie et soit m un entier naturel N. On appelle moment
d’ordre m de X le réel E (X m ).
Exemple 3.5.24 Le moment d’ordre 2 de X est
E X2 =
X
x2 P (X = x) :
x2X( )
Exercice 3.5.25 Soit n un entier naturel et soit X une variable aléatoire réelle telle que
X ( ) = f n; :::; ng
et
8k 2 X ( ) ; P (X = k) =
(X suit une loi uniforme sur f n; :::; ng.)
Calculer les moments d’ordre 1, d’ordre 2 et d’ordre 3 de X.
1
:
2n + 1
34
Pascal BEAUGENDRE
Théorème de Koenig-Huygens
Théorème 3.5.26 (de Koenig-Huygens) Soit X une variable aléatoire réelle …nie, on a
V (X) = E X 2
2
(E (X)) :
Exercice 3.5.27 Lorsque X est la variable aléatoire réelle de l’exemple 3.5.5 (la somme obtenue lors du lancer
de deux dés), calculer E (X) et V (X).
Exercice 3.5.28 Soit n un entier naturel et soit X une variable aléatoire réelle dont la loi est donnée par
X ( ) = f0; :::; ng
et
8k 2 X ( ) ; P (X = k) =
1
:
n+1
1. Véri…er que l’on a bien dé…ni la loi d’une variable aléatoire réelle …nie.
2. Calculer E (X) et V (X).
Propriétés
Propriété 3.5.29 (linéarité de l’espérance) Soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies et soit
un réel. On a
E ( X) = E (X) :
et
E (X + Y ) = E (X) + E (Y ) :
Remarque 3.5.30 Il existe une démonstration simple du théorème de Koenig-Huygens utilisant la linéarité de
l’espérance.
On écrit
2
2
(X E (X)) = X 2 2 (E (X)) X + (E (X))
et on en déduit que
V (X) = E (X
2
E (X))
= E X2
2
E (X) + (E (X)) ) = E X 2
2 (E (X))
2
(E (X)) :
Propriété 3.5.31 Soit X une variable aléatoire réelle …nie et soit ( ; ) appartenant à R2 , alors
V ( X+ )=
2
V (X) :
(Attention au carré !)
Exercice 3.5.32
alors
1. Soit X une variable aléatoire réelle …nie positive ou nulle. Si X admet une espérance,
E (X)
0:
2. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies véri…ant
X
Y:
Montrer que
E (X)
E (Y ) :
3. Véri…er que dans 1. on peut remplacer l’hypothèse « positive ou nulle» par « presque sûrement positive
ou nulle2 » . Véri…er que dans 2. on peut remplacer l’hypothèse « X Y » par « X Y p.s.» .
2 c’est-à-dire
telle que P (X < 0) = 0
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3.5.4
35
Indépendance de variables aléatoires réelles …nies
Indépendance de deux variables aléatoires réelles …nies
Dé…nition 3.5.33 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies. On dit que X et Y sont indépendantes
lorsque l’on a
8 (x; y) 2 X ( ) Y ( ) ; P ((X = x) \ (Y = y)) = P (X = x) P (Y = y) :
Remarque 3.5.34 L’événement (X = x) \ (Y = y) se note aussi (X = x; Y = y).
Remarque 3.5.35 Les variables aléatoires réelles …nies X et Y sont indépendantes si, et seulement si,
pour tout (x; y) appartenant à X ( ) Y ( ), les événements (X = x) et (Y = y) sont indépendants.
Proposition 3.5.36 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies. Alors X et Y sont indépendantes
si, et seulement si, pour toutes parties A et B de R, les événements (X 2 A) et (Y 2 B) sont indépendants.
Proposition 3.5.37 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies indépendantes, soient f une fonction
dé…nie sur X ( ) et g une fonction dé…nie sur Y ( ), alors f (X) et g (Y ) sont indépendantes.
Généralisations
Dé…nition 3.5.38 Soit (Xi )1 i n une famille de variables aléatoires réelles …nies (avec n appartenant à N ).
On dit que c’est une famille de variables aléatoires réelles deux à deux indépendantes lorsque, pour tout (i; j)
appartenant à N2n , avec i 6= j, les variables aléatoires Xi et Xj sont indépendantes.
On dit aussi que les variables aléatoires réelles Xi sont deux à deux indépendantes.
Remarque 3.5.39 Avec cette dé…nition, une famille ne contenant qu’une seule variable aléatoire est une famille
de variables aléatoires réelles deux à deux indépendantes. Mais cette notion n’a un intérêt que pour n supérieur
ou égal à 2.
Dé…nition 3.5.40 Soit (Xi )1 i n une famille de variables aléatoires réelles …nies (avec n appartenant à N ).
On dit que c’est une famille de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes lorsque, pour tout
(x1 ; :::; xn ) appartenant à X1 ( ) ::: Xn ( ), on a
P ((X1 = x1 ) \ (X2 = x2 ) \ ::: \ (Xn = xn )) = P (X1 = x1 ) P (X2 = x2 ) :::P (Xn = xn ) :
On dit aussi que les variables aléatoires réelles Xi sont indépendantes dans leur ensemble ou tout simplement
qu’elles sont indépendantes.
Remarque 3.5.41 Avec cette dé…nition, une famille ne contenant qu’une seule variable aléatoire est une famille
de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Mais cette notion n’a un intérêt que pour n supérieur
ou égal à 2.
Remarque 3.5.42 Si (Xi )1 i n est une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes, alors toute famille obtenue en changeant l’ordre des variables aléatoires est encore une famille de variables
aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes.
Remarque 3.5.43 L’événement
(X1 = x1 ) \ (X2 = x2 ) \ ::: \ (Xn = xn )
se note aussi
(X1 = x1 ; X2 = x2 ; Xn = xn ) :
Proposition 3.5.44 Soit (Xi )1 i n une famille de variables aléatoires réelles …nies (avec n appartenant à
N ). Les variables aléatoires réelles Xi sont mutuellement indépendantes si, et seulement si, pour toutes famille
(Ai )1 i n formée de parties de R, on a
!
n
n
\
Y
P
(Xi 2 Ai ) =
P (Xi 2 Ai ) :
i=1
i=1
36
Pascal BEAUGENDRE
Proposition 3.5.45 Soit (Xi )1 i n une famille de variables aléatoires réelles …nies (avec n appartenant à
N ). Les variables aléatoires réelles Xi sont mutuellement indépendantes si, et seulement si, pour toutes famille
(Ai )1 i n formée de parties de R , les événements (Xi 2 Ai ) sont mutuellement indépendants.
Remarque 3.5.46 Si (Xi )1 i n est une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes, alors c’est une famille de variables aléatoires réelles deux à deux indépendantes. La réciproque est
fausse.
Remarque 3.5.47 Toute sous-famille d’une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes est une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes.
Proposition 3.5.48 Soit (Xi )1 i n une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes (avec n supérieur ou égal à 2). Soit k appartenant à Nn ; toute fonction de (X1 ; :::; Xk ) est indépendante
de toute fonction de (Xk+1 ; :::; Xn ).
Proposition 3.5.49 Soit (Xi )1 i n une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes (avec n supérieur ou égal à 2). Soit (fi )1 i n une famille de fonctions numériques véri…ant
8i 2 Nn ; Xi ( )
Alors (fi (Xi ))1
i n
Dfi :
est une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes.
Remarque 3.5.50 Si on trouve dans un énoncé la phrase « soit (Xi )1 i n une famille de variables aléatoires
réelles …nies indépendantes» cela sous-entend que c’est une famille de variables aléatoires réelles …nies mutuellement indépendantes.
3.5.5
Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle …nie
Cette notion ne …gure pas explicitement au programme. Toutefois c’est quelque chose de simple et d’assez utile
et nous ne nous en priverons pas totalement surtout que c’est au programme de la seconde année.
Dé…nition 3.5.51 Soit X une variable aléatoire réelle …nie, on appelle fonction de répartition de X l’application
FX , de R dans R, dé…nie par
8x 2 R; FX (x) = P (X x) :
Propriétés 3.5.52 Soit X une variable aléatoire réelle …nie.
1. Pour tout x appartenant à R, on a
0
FX (x)
1:
2. Soient m = min X ( ) et M = max X ( ), alors
8x < m; FX (x) = 0
et
8x
M; FX (x) = 1:
En particulier, on a
lim FX (x) = 0 et
x! 1
lim FX (x) = 1:
x!+1
3. La fonction FX est continue sur RnX ( ). Elle est continue à droite sur R.
4. Pour tout (a; b) appartenant à R2 , avec a
b, on a
P (a < X
5. La fonction FX est croissante sur R.
b) = FX (b)
FX (a) :
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Exercice 3.5.53 Soit X la variable aléatoire réelle …nie dé…nie par X ( ) = f0; 1; 2g et P (X = 0) =
P (X = 1) = 14 ; P (X = 2) = 14 . Tracer le graphe de FX .
37
1
2
;
Remarque 3.5.54 Si X est une variable aléatoire réelle …nie telle que X ( ) soit inclus dans Z, alors
8k 2 X ( ) ; P (X = k) = FX (k)
FX (k
1) :
On peut donc retrouver la loi de X à partir de sa fonction de répartition.
3.5.6
Loi certaine, loi quasi certaine
Dé…nition 3.5.55 On dit qu’une variable aléatoire réelle X suit la loi certaine lorsqu’elle ne prend qu’une
valeur. En notant a cette valeur, on a
X ( ) = fag
et
P (X = a) = 1:
Dé…nition 3.5.56 On dit qu’une variable aléatoire réelle …nie X suit une loi quasi certaine lorsqu’il existe un
réel a tel que l’on ait P (X = a) = 1. Dans ce cas, on note
X = a ps, ce qui se lit « X = a presque sûrement» .
On dit aussi que la variable aléatoire X est égale à a de façon quasi certaine.
Proposition 3.5.57 Soit a un réel. Si X est une variable aléatoire réelle …nie égale à a de façon certaine ou
quasi certaine, alors
E (X) = a et V (X) = 0:
Proposition 3.5.58 Soit a un réel. Si X est une variable aléatoire réelle …nie telle que V (X) = 0, alors
X = E (X) ps.
3.5.7
Variable aléatoire de Bernoulli, variable aléatoire binomiale, schéma de
Bernoulli
Variable aléatoire de Bernoulli
Dé…nition 3.5.59 On dit qu’une variable aléatoire réelle …nie X suit la loi de Bernoulli de paramètre p
appartenant à [0; 1] lorsque X ( ) = f0; 1g avec P (X = 1) = p. On note alors
X ,! B (1; p)
et on lit « X suit la loi de Bernoulli de paramètre p» ou bien « X est une variable aléatoire de Bernoulli de
paramètre p» .
Remarque 3.5.60 Si on lance une pièce dont la probabilité d’amener un pile est p appartenant à [0; 1] et si
on dé…nit la variable aléatoire X par X = 1 si on a obtenu pile et X = 0 sinon, alors
X ,! B (1; p) :
Remarque 3.5.61 Avec la convention choisie ici, si p = 1 ou si p = 0, alors on a bien une loi de Bernoulli mais
elle est dégénérée en une loi quasi certaine.
Proposition 3.5.62 Soit p appartenant à [0; 1]. Si X ,! B (1; p), alors l’espérance de X est
E(X) = p
et la variance de X est
V (X) = pq:
Ici on a posé q = 1
p.
38
Pascal BEAUGENDRE
Variable aléatoire binomiale, schéma de Bernoulli
Dé…nition 3.5.63 On dit qu’une variable aléatoire réelle …nie X suit la loi binomiale de paramètres n et p
(avec n appartenant à N et p appartenant à [0; 1]), lorsque
X ( ) = f0; :::; ng
et
8k 2 X ( ) ; P (X = k) =
n k
p (1
k
n k
p)
:
On note alors
X ,! B (n; p)
et on lit « X suit la loi binomiale de paramètres n et p» ou bien « X est une variable aléatoire binomiale
paramètres n et p» .
Remarque 3.5.64 Si n = 1 on retrouve une loi de Bernoulli. C’est pour cette raison que l’on a utilisé la
notation X ,! B (1; p).
Remarque 3.5.65 Avec la convention choisie ici, si p = 1 ou si p = 0, alors on a bien une loi binomiale mais
elle est dégénérée en une loi quasi certaine.
Proposition 3.5.66 Soient n appartenant à N et p appartenant à [0; 1]. Si X ,! B (n; p), alors l’espérance
de X est
E (X) = np
et la variance de X est
V (X) = npq
(en posant encore q = 1
p).
Théorème 3.5.67 (schéma de Bernoulli) Soient X1 , ..., Xn n variables aléatoires réelles indépendantes,
de Bernoulli de même paramètre p (avec n appartenant à N et p appartenant à [0; 1]).
On pose
n
X
Y =
Xi :
i=1
Alors
Y ,! B (n; p) :
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire ayant deux issues que nous appellerons souvent
« succès» et « échec» .
Dans le théorème précédent, si onPappelle « succès» le fait que la variable aléatoire Xi prenne la valeur 1,
n
alors la variable aléatoire réelle Y = i=1 Xi compte le nombre de « succès» dans une suite de n épreuves de
Bernoulli, indépendantes où la probabilité d’obtenir un « succès» est égale à p pour chaque épreuve. C’est ce
que l’on appelle un schéma de Bernoulli.
Le théorème précédent fournit donc la situation traditionnelle dans laquelle apparaît une loi binomiale.
En pratique, pour expliquer que dans une telle situation la variable aléatoire Y est binomiale, on pourra
rédiger de la façon suivant.
—
On est en présence d’un schéma de Bernoulli. En e¤ et, si on appelle « succès» le fait d’avoir > ( > étant
le truc que l’on compte), alors Y compte le nombre de « succès» dans une suite de n épreuves de Bernoulli,
indépendantes où la probabilité d’obtenir un « succès» est égale à p pour chaque épreuve.
Donc, d’après le cours,
Y ,! B (n; p) :
—
Attention, on évitera tout de même d’appeler « succès» des événements tristes !
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39
Théorème 3.5.68 (de stabilité par somme) Soient n1 , n2 appartenant à N et p appartenant à [0; 1].
Soient X1 ,! B (n1 ; p) et X2 ,! B (n2 ; p) (avec le même paramètre p). Si les variables aléatoires X1 et
X2 sont indépendantes, alors
X1 + X2 ,! B (n1 + n2 ; p) :
Généralisation.
Théorème 3.5.69 Soient n1 , ..., nn appartenant à N et p appartenant à [0; 1]. Soient X1 ,! B (n1 ; p), ...,
Xm ,! B (nm ; p) (avec le même paramètre p). Si les variables aléatoires X1 , ..., Xm sont (mutuellement)
indépendantes, alors
X1 + ::: + Xm ,! B (n1 + ::: + nm ; p) :
3.5.8
Autres lois …nies usuelles
Loi uniforme sur f1; :::; ng (avec n appartenant à N )
Dé…nition 3.5.70 Soit n un entier naturel non nul. On dit qu’une variable aléatoire réelle …nie X suit la loi
uniforme sur f1; :::; ng lorsque
X ( ) = f1; :::; ng
et
8k 2 X ( ) ; P (X = k) =
1
:
n
On note alors
X ,! U (n)
et on lit « X suit la loi uniforme sur f1; :::; ng» ou bien « X suit la loi uniforme de paramètre n» .
Proposition 3.5.71 Soit n un entier naturel non nul. Si X ,! U (n), alors l’espérance de X est
E (X) =
et la variance de X est
V (X) =
n+1
2
n2 1
:
12
Exercice 3.5.72 Tracer la la fonction FX lorsque X ,! U (5).
Remarque 3.5.73 La loi uniforme sur f0; :::; ng est di¤érente de la loi uniforme sur f1; :::; ng. (Voir l’exercice
3.5.28 page 34).
Loi hypergéométrique de paramètres N , n, p
(complément hors programme)
Dé…nition 3.5.74 On dit qu’une variable aléatoire réelle …nie X suit la loi hypergéométrique de paramètres
N , n, p (avec p appartenant à ]0; 1[, n, N appartenant à N tels que N p est un entier et n N ) lorsque
X( )
[[0; n]]
et
8k 2 X ( ) ; P (X = k) =
en posant q = 1
Np
k
Nq
n k
N
n
p. On note alors
X ,! H (N; n; p)
et on lit « X suit la loi hypergéométrique de paramètres N ,n, p» ou bien « X est une variable aléatoire hypergéométrique de paramètres N ,n, p» .
40
Pascal BEAUGENDRE
Remarque 3.5.75 Si k > N p ou si n
k > N q, alors P (X = k) = 0.
Théorème 3.5.76 Si X ,! H (N; n; p), alors l’espérance de X est
E (X) = np:
Voici une situation classique dans laquelle intervient une telle loi. On dispose d’une urne contenant
N boules avec une proportion p de boules blanches et une proportion q = 1 p de boules noires. On prélève
sans remise n boules de cette urne et on note X la variable aléatoire désignant le nombre de boules blanches
tirées.
Alors
X ,! H (N; n; p) :
On peut donc retenir qu’une variable aléatoire hypergéométrique peut provenir d’un « tirage sans remise» .
3.6
Vecteurs aléatoires …nis
Dans tout ce paragraphe ( ; P ( ) ; P ) est un espace probabilisé …ni.
3.6.1
Couples de variables aléatoires réelles …nies
Généralités
Dé…nition 3.6.1 On dit que (X; Y ) est un vecteur aléatoire …ni de dimension deux lorsque X et Y sont deux
variables aléatoires réelles …nies. On dit aussi que c’est un couple de variables aléatoires réelles …nies.
Attention, un couple de variables aléatoires réelles …nies n’est pas une variable aléatoire réelle puisqu’il prend
ses valeurs dans R R.
Dé…nition 3.6.2 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies. On appelle loi du couple (X; Y )
ou loi conjointe de X et de Y l’ensemble de couples suivant
f((x; y) ; P (X = x; Y = y)) ; x 2 X ( ) ; y 2 Y ( )g :
Ainsi, donner la loi du couple (X; Y ), c’est donner X ( ) et Y ( ) puis P (X = x; Y = y), pour tout (x; y)
appartenant à X ( ) Y ( ).
Notations 3.6.3 Souvent, on note
X ( ) = fxi ; i 2 Ig et Y ( ) = fyj ; j 2 Jg :
(Avec I et J deux parties …nies non vides de N.)
Ensuite, on pose
8 (i; j) 2 I J; pi;j = P (X = xi ; Y = yj ) :
Avec ces notations, donner la loi du couple (X; Y ) revient à donner X ( ) = fxi ; i 2 Ig, Y ( ) = fyj ; j 2 Jg
puis pi;j pour tout (i; j) 2 I J.
Exemple 3.6.4 On joue avec deux dés équilibrés à six faces. On désigne par X la variable aléatoire réelle égale
au résultat donné par le premier dé et par Y la variable aléatoire réelle égale au résultat donné par le deuxième
dé.
On a
X ( ) = Y ( ) = N6
et
8 (x; y) 2 N6
N6 ; P (X = x; Y = y) =
On peut donner la loi du couple avec le tableau suivant.
1
:
36
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XnY
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
41
Proposition 3.6.5 Si (X; Y ) est un couple de variables aléatoires réelles …nies, on a
8 (x; y) 2 X ( )
et
Y ( ) ; P (X = x; Y = y)
X
0
P (X = x; Y = y) = 1:
(x;y)2X( ) Y ( )
La proposition qui suit fournit une réciproque.
Proposition 3.6.6 Soient E et F deux parties …nies de R et soit
f((a; b) ; pa;b ) ; a 2 E; b 2 F g
un ensemble de couples véri…ant
8 (a; b) 2 E
et
X
F; pa;b 2 R+
pa;b = 1:
(a;b)2E F
Alors, il existe un couple de variables aléatoires réelles …nies (X; Y ) dont
f((a; b) ; pa;b ) ; a 2 E; b 2 F g
est la loi.
Lois marginales
Notations 3.6.7 On note encore
X ( ) = fxi ; i 2 Ig ; Y ( ) = fyj ; j 2 Jg
et
8 (i; j) 2 I
J; pi;j = P (X = xi ; Y = yj ) :
(Avec I et J deux parties …nies non vides …nies de N.)
On pose aussi,
8i 2 I; pi; = P (X = xi )
et
8j 2 J; p
;j
= P (Yj = yj ) :
Dé…nition 3.6.8 Soit (X; Y ) un couple de couple de variables aléatoires réelles …nies. X et Y sont appelées
les variables aléatoires marginales du couple (X; Y ).
La loi de X est la première loi marginale du couple (X; Y ).
La loi de Y est la deuxième loi marginale du couple (X; Y ).
Les lois marginales s’obtiennent en utilisant la proposition suivante.
Proposition 3.6.9 Soit (X; Y ) un couple de couple de variables aléatoires réelles …nies.
42
Pascal BEAUGENDRE
1. Pour tout x appartenant à X ( ), on a
P (X = x) =
X
P (X = x; Y = y) :
y2Y ( )
En d’autres termes, en utilisant les notations 3.6.7, on a
X
8i 2 I; pi; =
pi;j :
j2J
2. Pour tout y appartenant à Y ( ), on a
P (Y = y) =
X
P (X = x; Y = y) :
x2X( )
En d’autres termes, en utilisant les notations 3.6.7, on a
X
8j 2 J; p ;j =
pi;j :
i2I
Ainsi, si l’on connaît la loi du couple, on peut déterminer les lois marginales. Avec un tableau, comme dans
l’exemple précédent, on obtient les lois marginales en additionnant les lignes et les colonnes.
Exercice 3.6.10 Une urne contient 4 boules blanches, 2 boules noires et 4 boules rouges. On extrait simultanément (sans remise) 3 boules de cette urne. Soit X le nombre de boules blanches obtenues et Y le nombre
de boules noires obtenues. Déterminer la loi du couple (X; Y ).
Somme, produit et fonction de deux variables aléatoires réelles …nies
Dans tout ce paragraphe, (X; Y ) désigne un couple de variables aléatoires réelles …nies.
Loi d’un somme. Pour donner la loi de X + Y , on donne tout d’abord (X + Y ) ( ). Ensuite, pour tout
z appartenant à (X + Y ) ( ), on calcule P (X + Y = z) en utilisant la formule suivante :
X
P (X + Y = z) =
P (X = x; Y = y) :
(x;y)2X( ) Y ( ) et x+y=z
N. B. : Cette formule provient de l’égalité
[
(X + Y = z) =
(X = x; Y = y) :
(x;y)2X( ) Y ( ) et x+y=z
Loi d’un produit. Pour donner la loi de XY , on donne tout d’abord (XY ) ( ). Ensuite, pour tout z
appartenant à (XY ) ( ), on calcule P (XY = z) en utilisant la formule suivante :
X
P (XY = z) =
P (X = x; Y = y) :
(x;y)2X( ) Y ( ) et xy=z
N. B. : Cette formule provient de l’égalité
[
(XY = z) =
(X = x; Y = y) :
(x;y)2X( ) Y ( ) et xy=z
Plus généralement, la loi d’une fonction de X et de Y s’obtient par une méthode analogue. Soit u une
fonction numérique de deux variables réelles dé…nie sur X ( ) Y ( ). Si on pose Z = u (X; Y ), alors, pour
tout z appartenant à Z ( ), on a
X
P (Z = z) =
P (X = x; Y = y) :
(x;y)2X( ) Y ( ) et u(x;y)=z
N. B. : Cette formule provient de l’égalité
(u (X; Y ) = z) =
[
(x;y)2X( ) Y ( ) et u(x;y)=z
(X = x; Y = y) :
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43
Exercice 3.6.11 Déterminer les lois de X +Y , de XY (et de X 2 +Y 2 ) lorsque (X; Y ) est un couple de variables
aléatoires réelles …nies dont la loi est donnée par le tableau suivant :
XnY 0
1 2
1
1
1
0
5
5
10
1
1
1
a
10
5
Espérance de u (X; Y )
Théorème 3.6.12 (théorème de transfert pour un couple de variables aléatoires réelles …nies)
Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies et soit u une fonction numérique de deux variables
dé…nie sur X ( ) Y ( ). Alors l’application u (X; Y ) est une variable aléatoire réelle (…nie) et on a
X
E (u (X; Y )) =
u (x; y) P (X = x; Y = y) :
(x;y)2X( ) Y ( )
Corollaire 3.6.13 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies. Si X et Y sont indépendantes,
alors
E (XY ) = E (X) E (Y ) :
Remarque 3.6.14 La réciproque est fausse. Des contre-exemples se trouvent parmi les exercices.
Corollaire 3.6.15 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies, on a
E (XY )
X
=
xyP (X = x; Y = y)
(x;y)2X( ) Y ( )
X
=
x2X( )
X
=
y2Y ( )
0
x@
0
y@
X
y2Y ( )
X
x2X( )
1
yP (X = x; Y = y)A
1
xP (X = x; Y = y)A :
Remarque 3.6.16 On peut utiliser le théorème 3.6.12 pour donner une seconde démonstration de la partie
di¢ cile de la propriété de linéarité.
Pour cela, on considère u la fonction de R2 dans R, qui à (x; y) associe x + y.
Alors, d’après le théorème de transfert pour un couple de variables aléatoires réelles …nies, on a
E (X + Y )
=
X
E (u (X; Y )) =
X
=
u (x; y) P (X = x; Y = y)
(x;y)2X( ) Y ( )
(x + y) P (X = x; Y = y)
(x;y)2X( ) Y ( )
X
=
xP (X = x; Y = y) +
(x;y)2X( ) Y ( )
=
X
x2X( )
=
X
0
x@
X
y2Y ( )
= E (X) + E (Y ) :
X
y2Y ( )
yP (X = x; Y = y)
(x;y)2X( ) Y ( )
P (X = x; Y = y)A +
xP (X = x) +
x2X( )
1
X
yP (Y = y)
X
y2Y ( )
0
y@
X
x2X( )
1
P (X = x; Y = y)A
44
Pascal BEAUGENDRE
Covariance et coe¢ cient de corrélation linéaire
Dé…nition 3.6.17 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies. On appelle covariance de X et
de Y le réel
cov (X; Y ) = E ([(X E (X)) (Y E (Y ))]) :
Remarque 3.6.18 Si X est une variable aléatoire réelles …nie, alors
cov (X; X) = V (X) :
Proposition 3.6.19 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies, alors
cov (X; Y ) = E (XY )
E (X) E (X) :
Remarque 3.6.20 La proposition précédente est l’analogue de la formule de Koenig-Huygens.
Proposition 3.6.21 La covariance est une forme bilinéaire symétrique, en d’autres termes, quelles que soient
X; X 0 ; Y des variables aléatoires réelles …nies et quels que soient a; b des réels, on a
1. cov (X; Y ) = cov (Y; X).
2. cov (aX + bX 0 ; Y ) = a
cov (X 0 ; Y ).
cov (X; Y ) + b
Propriétés 3.6.22 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies et soient a, b, c et d des réels.
On a
1. cov (aX + b; cY + d) = (ac)
cov (X; Y ).
2. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 cov (X; Y ).
Plus généralement, on a
V (aX + bY ) = a2 V (X) + b2 V (Y ) + 2 (ab)
cov (X; Y ) :
3. Si X et Y sont indépendantes, alors cov (X; Y ) = 0 et V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
4.
jcov (X; Y )j
(X) (Y ) :
(3.3)
Dé…nition 3.6.23 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies. Sous réserve d’existence, le
coe¢ cient de corrélation linéaire de (X; Y ) est
(X; Y ) =
cov (X; Y )
:
(X) (Y )
Remarque 3.6.24 Compte tenu de l’inégalité de Cauchy Schwarz, on a
j (X; Y )j
1:
Dé…nition 3.6.25 Soient X et Y deux variables aléatoires …nies. On dit que X = Y presque sûrement lorsque
P (X = Y ) = 1.
Proposition 3.6.26 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies véri…ant
Alors, on a
j (X; Y )j = 1
si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que
Y = aX + b presque sûrement.
De plus, dans ce cas, les réels a et b sont donnés par les égalités suivantes :
a=
cov (X; Y )
et b = E (Y )
V (X)
aE (X) :
(X) (Y ) 6= 0.
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45
Loi conditionnelle de X sachant (Y = y)
Dé…nition 3.6.27 Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires réelles …nies. Soit y appartenant à Y ( ) tel
que P (Y = y) 6= 0. On appelle loi conditionnelle de X sachant (Y = y) l’ensemble de couples
x; P(Y =y) (X = x) ; x 2 X ( ) :
En pratique, pour donner loi conditionnelle de X sachant (Y = y), on donne donc X ( ) et P(Y =y) (X = x),
pour tout x appartenant à X ( ).
Remarque 3.6.28 On dé…nit de même loi conditionnelle de Y sachant (X = x).
Remarque 3.6.29 En utilisant la formule des probabilités totales, on peut déterminer la loi de X à partir des
lois conditionnelles de X sachant (Y = y) et de la loi de Y .
En e¤et, pour tout x appartenant à X ( ), on a
X
X
P (X = x) =
P (X = x; Y = y) =
P(Y =y) (X = x) P (Y = y) :
y2Y ( )
3.6.2
y2Y ( )
Généralisation : vecteurs aléatoires de dimension quelconque
(complément hors programme)
Dé…nition 3.6.30 On appelle vecteur aléatoire …ni de dimension n une famille (X1 ; :::; Xn ) constituée de n
variables aléatoires réelles …nies. (Avec n 2.)
Remarque 3.6.31 Si n = 2, il s’agit d’un couple de variables aléatoires réelles …nies.
Remarque 3.6.32 On peut imaginer sans di¢ culté que la loi d’un vecteur aléatoire …ni (X1 ; :::; Xn ) est
l’ensemble de couples suivant :
f((x; :::; xn ) ; P (X1 = x1 ; :::; Xn = xn )) ; x1 2 X ( ) ; :::; xn 2 Xn ( )g :
Par récurrence, en utilisant la linéarité de l’espérance, on établit la proposition suivante
Proposition 3.6.33 Soit (X1 ; :::; Xn ) un vecteur aléatoire …ni et soit (
!
n
n
X
X
E
=
i Xi
i E (Xi ) .
i=1
1 ; :::;
n)
une famille de réels. On a
i=1
Proposition 3.6.34 Soit (X1 ; :::; Xn ) un vecteur aléatoire …ni. On a
!
n
n
X
X
X
V
Xi =
V (Xi ) + 2
cov (Xi ; Xj ) :
i=1
i=1
1 i<j n
Remarque 3.6.35 On peut remarquer l’analogie avec le développement d’une somme de réels au carré :
!2
n
n
X
X
X
xi
=
x2i + 2
xi xj :
i=1
i=1
1 i<j n
Corollaire 3.6.36 Si (X1 ; :::; Xn ) est un vecteur aléatoire …ni constitué de variables aléatoires deux à deux
indépendantes, alors
!
n
n
X
X
V
Xi =
V (Xi ) :
i=1
i=1
46
Pascal BEAUGENDRE
3.7
3.7.1
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et quelques compléments
L’inégalité de Markov (MPSI uniquement)
Théorème 3.7.1 (inégalité de Markov) Soit X une variable aléatoire réelle …nie. On suppose que X est
presque sûrement positive ou nulle3 . Alors, pour tout réel a strictement positif, on a
P (X
3.7.2
E (X)
.
a
a)
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème 3.7.2 (inégalité de Bienaymé-Tchebychev) Soit X une variable aléatoire réelle …nie. Alors,
pour tout réel " strictement positif, on a
P (jX
E (X)j
V (X)
:
"2
")
(3.4)
De façon équivalente, pour tout réel " strictement positif, on a
P (jX
E (X)j < ")
1
V (X)
:
"2
(En utilisant le complémentaire.)
Remarque 3.7.3 La variance mesure d’une certaine façon l’écart entre X et sa moyenne qui n’est autre que
E (X). Plus précisément, on a dit que V (X) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Il n’est donc
pas surprenant que V (X) contrôle P (jX E (X)j ") qui est la probabilité que X soit « loin» de sa moyenne.
Exercice 3.7.4 Soit X ,! B 20; 21 .
1. Majorer P (X 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 15; 16; 17; 18; 19; 20g).
2. Majorer puis calculer P (X 2 f0; 1; 19; 20g). Que peut-on en conclure sur la …nesse de l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev ?
Exercice 3.7.5 Utiliser l’inégalité de Markov pour démontrer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3.7.3
La loi faible des grands nombres
Ce paragraphe n’est pas explicitement au programme de la première année, il s’agit d’un complément.
Soit (Xi )i 1 une suite de variables aléatoires réelles …nies deux à deux indépendantes, de même loi. On pose
m = E (X1 ) et
=
On pose aussi, pour tout n appartenant à N ,
Sn =
n
X
p
V (X1 ):
Xi :
i=1
Alors,
lim P
Sn
n
m
"
8" > 0; 8n 2 N ; P
Sn
n
m
"
8" > 0;
n!+1
= 0:
(3.5)
Plus précisément, on a
3 c’est-à-dire
telle que P (X < 0) = 0
2
n"2
:
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47
Corollaire 3.7.6 (connu sous le nom de théorème de Bernoulli) Soit (Xn )n 1 une suite de variables
aléatoires de Bernoulli de même paramètre p appartenant à [0; 1] et deux à deux indépendantes. Pour tout
n appartenant à N , on pose
Pn
Xi
Yn = i=1 :
n
Alors
1
:
8" > 0; 8n 2 N ; P (jYn pj ")
4n"2
La notion d’intervalle de con…ance est intimement liée à l’énoncé précédent.
On s’intéresse au problème de la détermination statistique d’une moyenne. On veut donc évaluer (on dit
estimer) un paramètre entrant dans une loi de probabilité au moyen d’observations expérimentales. Ce problème
est appelé un problème de statistique.
Supposons que l’on veuille estimer la proportion d’objets défectueux dans un lot d’objets fabriqués. On peut
procéder de la façon suivante : on e¤ectue un échantillonnage avec replacement. Ceci revient à faire une
suite de tirages indépendants. On note fN la fréquence d’apparition d’un objet défectueux dans un échantillon
de taille N . Alors N fN est une variable aléatoire binomiale :
N fN ,! B (N; p)
où p est la proportion d’objets défectueux dans le lot.
On a vu que
8" > 0; 8N 2 N ; P (jfN
pj
")
1
:
4N "2
1
1
et N = 250, alors, quelle que soit la valeur de p, l’événement P jfN pj < 10
est réalisé
On prend " = 10
90
avec une probabilité plus grande que 100 . On peut donc dire que fN est une valeur approchée de p, avec une
1
90
précision strictement inférieur à 10
, au niveau de con…ance 100
.
1
1
On exprime ceci en disant fN 10 ; fN + 10 est un intervalle de con…ance de p au niveau de con…ance 90%.
1
1
.)
(En fait on peut même prendre l’intervalle fN 10
; fN + 10
3.7.4
Approximation d’une variable aléatoire hypergéométrique par une variable
aléatoire binomiale
Ce paragraphe n’est pas explicitement au programme de la première année, il s’agit d’un complément.
On rappelle qu’une variable aléatoire X suit la loi hypergéométrique de paramètres N , n, p (avec p appartenant à ]0; 1[, n, N appartenant à N tels que N p est un entier et n N ) lorsque
X( )
[[0; n]]
et
8k 2 X ( ) ; P (X = k) =
Np
k
Nq
n k
N
n
:
On note alors
X ,! H (N; n; p) :
Proposition 3.7.7 Si n appartenant à N, k appartenant à [[0; n]] et p appartenant à ]0; 1[ sont …xé, on a
lim
N !+1
N p2N
(en posant q = 1
Np
k
Nq
n k
N
n
=
n k n
p q
k
k
p).
Remarque 3.7.8 En pratique, nous admettrons que l’on peut approcher une variable aléatoire hypergéométrique
de paramètres N ,n, p par une variable aléatoire binomiale de paramètres n, p lorsque N > 10n.
48
Pascal BEAUGENDRE
3.8
Travaux dirigés : Des exercices classiques sur la formule des
probabilités totales et la formule de Bayes.
(Avec notamment des exemples de chaînes de Markov.)
Exercice 3.1 On dispose de n urnes U1 , U2 , ... et Un (n désigne un entier naturel non nul). Pour tout k
appartenant à Nn , l’urne numéro k contient k 2 boules blanches et n2 k 2 boules noires. On choisit une urne,
l’urne numéro k étant choisie avec la probabilité a k, pour tout k appartenant à Nn (a est une constante
réelle) puis on tire une boule de cette urne.
Notations : pour tout k appartenant à Nn , on note Ak l’événement « l’urne numéro k est choisie» et B
l’événement « la boule tirée est blanche» .
1. Que vaut a ?
2. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
3. Sachant que la boule tirée est blanche quelle est la probabilité de l’avoir tirée dans l’urne Un ?
Exercice 3.2 1=4 d’une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1=12 de malades. Parmi les
malades, on compte 4 non-vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour qu’un non-vacciné tombe
malade ?
Exercice 3.3 Un fumeur impénitent décide d’essayer de ne plus fumer. On admet que s’il ne fume pas un jour
donné, alors la probabilité pour qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0; 3. Par contre, s’il succombe à son vice
un jour donné, la probabilité pour qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0; 9.
Notons, pour tout n appartenant à N , Fn l’événement « la personne fume le jour n» et pn = P Fn .
1. En utilisant la formule des probabilités totales, trouver une relation entre pn+1 et pn , pour tout n appartenant à N .
2. Calculer pn en fonction de n et de p1 , pour tout n appartenant à N .
3. Montrer que la suite (pn )n
1
converge et donner sa limite.
Exercice 3.4 Pour se rendre au lycée, un élève a le choix entre quatre itinéraires : A, B, C et D. La probabilité
qu’il a de choisir A (resp. B, C) est 1=3 (resp. 1=4, 1=12). La probabilité d’arriver en retard en empruntant A
(resp. B, C) est 1=20 (resp. 1=10, 1=5); en empruntant D, il n’est jamais en retard.
1. Quelle est la probabilité que l’élève choisisse l’itinéraire D ?
2. L’élève arrive en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait emprunté l’itinéraire C ?
Remarque 3.8.1 L’exercice 3.29 page 70 est assez similaire.
Exercice 3.5 Sur le marché il y a trois fournisseurs A, B et C. L’évolution du marché se fait de la façon
suivante :
- Si une personne se fournit en A pour un achat, pour l’achat suivant, elle choisit indi¤éremment A, B ou C.
- Si une personne se fournit en B pour un achat, pour l’achat suivant, elle reste …dèle à B.
- Si une personne se fournit en C pour un achat, pour l’achat suivant, elle choisit C avec une probabilité de 1=3,
A avec une probabilité de 1=12 et B avec une probabilité de 7=12.
Au départ, c’est-à-dire pour n = 1, la personne choisit au hasard l’un des trois fournisseurs.
Soit pn ; qn et rn les probabilités pour que, au n-ième achat, la personne se fournisse respectivement chez le
fournisseur A, B et C.
Pour tout n appartenant à N , on note An , (resp. Bn ,Cn ) l’événement : « le n-ième achat se fait chez A» (resp.
B, C).
1. Soit n appartenant à N . Justi…er que (An ; Bn ; Cn ) forme un système complet d’événements.
Probabilités en MPSI ou en PCSI Version gratuite sans les démonstrations et sans les réponses
49
2. Montrer que, pour tout n appartenant à N , on a
8
pn + qn + rn = 1
>
>
>
1
<
pn+1 = 13 pn + 12
rn
7
1
>
p
+
q
+
q
=
n
n+1
>
3 n
12 rn
>
:
rn+1 = 31 pn + 13 rn :
3. Calculer p1 ; q1 et r1 .
4. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a
rn+1 =
2
rn
3
1
rn
12
1:
5. En déduire pn ; qn et rn en fonction de n pour tout n appartenant à N .
6. Déterminer les limites, si elles existent, des suites p; q et r.
Exercice 3.6 Dans un établissement, trois classes C1 , C2 , C3 dont les e¤ectifs sont respectivement de 44, 33
et 40 élèves ont des taux de réussite respectifs de 21 ; 13 ; 14 . Un élève a réussi. Quelle est la probabilité pour qu’il
vienne de la deuxième classe ?
3.9
Travaux dirigés : Les fonctions génératrices de variables aléatoires réelles …nies
Dé…nition 3.9.1 Soit n appartenant à N et soit X une variable aléatoire réelle …nie à valeurs dans [[0; n]]. La
fonction génératrice de la variable aléatoire X est la fonction
GX : R ! R ; t 7!
n
X
P (X = k) tk :
k=0
Exercice 3.7 Soit n appartenant à N et soit X une variable aléatoire réelle …nie à valeurs dans [[0; n]].
1. Quel est l’ensemble de dé…nition de la fonction GX ?
2. Soit t appartenant à R, comparer GX (t) et E tX .
Exemples 3.9.2
1. Soit p appartenant à ]0; 1[. Déterminer GX lorsque X ,! B (1; p).
2. Soient n appartenant à N et p appartenant à ]0; 1[. Déterminer GX lorsque X ,! B (n; p).
Exercice 3.8 Soit n appartenant à N et soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies à valeurs dans
[[0; n]]. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
(1) GX = GY ,
(2) les variables aléatoires réelles X et Y suivent la même loi.
Exercice 3.9 Soit n appartenant à N et soit X une variable aléatoire réelle …nie à valeurs dans [[0; n]].
1. Déterminer E (X) et V (X) en fonction de G0X (1) et G00X (1).
2. Retrouver ainsi les résultats connus pour l’espérance et la variance de X, lorsque X ,! B (n; p).
Exercice 3.10 Soit n appartenant à N et soient X et Y deux variables aléatoires réelles …nies, indépendantes,
à valeurs dans [[0; n]].
50
Pascal BEAUGENDRE
1. Montrer que
GX GY = GX+Y :
2. En déduire une nouvelle démonstration du théorème de stabilité par somme des variables aléatoires binomiales.
Exercice 3.11 Montrer qu’il n’est pas possible de piper deux dés à six faces, de façon à ce que la somme des
nombres obtenus suive la loi uniforme sur [[2; 12]].
Correction.
Exercice 3.7.
1. L’ensemble de dé…nition de GX est R puisque GX est une fonction polynomiale.
2. D’après la formule de transfert, pour tout t appartenant à R, on a
E tX =
n
X
P (X = k) tk = GX (t) .
k=0
Exemple 3.9.2.
1. Si X ,! B (1; p), alors
8t 2 R; GX (t) =
1
X
P (X = k) tk = 1
p + pt.
k=0
2. Plus généralement, si X ,! B (n; p), alors
8t 2 R; GX (t) =
n
X
P (X = k) tk =
k=0
n
X
n
(1
k
n k
pk tk = (1
p)
n
p + pt) .
k=0
Exercice 3.8. On sait que deux polynômes sont égaux si, et seulement si, les fonctions polynomiales
associées coïncident Le résultat demandé en découle immédiatement.
Exercice 3.9.
1. Par dé…nition,
n
X
E (X) =
kP (X = k) = G0X (1) :
k=0
Avec la formule de transfert, on a également
E (X (X
1)) =
n
X
k (k
1) P (X = k) = G00X (1) :
k=0
Donc, en utilisant le théorème de Koenig-Huygens et la linéarité de l’espérance :
V (X) = E X 2
2
(E (X)) = E X 2
2
(E (X)) = E (X (X
soit
V (X) = G00X (1) + G0X (1)
1)) + E (X)
2
(G0X (1)) :
2. Si
X ,! B (n; p) ;
alors
8t 2 R;
et donc
(
(
G0X (t) = np (1
G00X (t) = n (n
p + pt)
1) p2 (1
n 1
n 2
p + pt)
E (X) = G0X (1) = np
V (X) = n (n
1) p2 + np
2
(np) = np (1
p)
:
2
(E (X))
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51
Exercice 3.10.
1.
= E tX E tY
8t 2 R ; GX (t) GY (t)
= E tX tY
car les v.a.r. tX et tY sont indépendantes
= E tX+Y = GX+Y (t) .
2. On suppose que X ,! B (n1 ; p) et que Y ,! B (n2 ; p). On suppose également que X et Y sont indépendantes.
Alors
8t 2 R ; GX+Y (y) = GX (t) GY (t) = (1
n1
p + pt)
(1
n2
p + pt)
n1 +n2
= (1
p + pt)
= GZ (t)
où Z ,! B (n1 + n2 ; p).
Donc X + Y suit la même loi que Z.
Donc
X + Y ,! B (n1 + n2 ; p) :
(On vient de redémontrer le théorème 3.5.68 page 39.)
Exercice 3.11.
On fait une démonstration par l’absurde : on suppose qu’il existe X et Y deux variables aléatoires indépendantes
à valeurs dans [[1; 6]] telles que X + Y suit la loi uniforme sur [[2; 12]].
Alors,
8t 2 R ; GX (t) GY (t) = GX+Y (t)
soit
8t 2 R ;
On a donc
6
X
P (X = k) t
k=1
k
!
8t 2 R ; ' (t)
6
X
P (Y = k) t
k=1
(t) =
en posant
8t 2 R ; ' (t) =
6
X
k=1
k 1
P (X = k) t
et
P10
k=0
k
!
=
P12
k=2
tk
11
:
tk
11
(t) =
6
X
P (Y = k) tk
1
:
k=1
1
= 5 puisque P (X = 6) P (Y = 6) = P (X + Y = 12) = 11
6= 0.
8
11
P10 k
P10 k
< 1 t
si t 6= 1
k=0 t
k=0 t
11 (1 t)
ne s’annule pas puisque
=
- la fonction polynomiale t 7!
:
11
11
1 sinon
- la fonction polynomiale t 7! ' (t) (t) s’annule (car le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’une
fonction polynomiale de degré 5 s’annule).
Notons que deg ' = deg
Or
Cela donne bien une contradiction.
52
Pascal BEAUGENDRE
Partie II
Exercices
53
Chapitre 1
Techniques de base (exercices)
1.1
Ensembles, relations, opérations sur les ensembles
Exercice 1.1 A étant une partie d’un ensemble E, donner le résultat de chacune des opérations suivantes :
A \ A ; A [ A ; A \ ? ; A [ ? ; A \ E ; A [ E ; A \ (EnA) ; A [ (EnA). (On pourra s’aider de schémas.)
Exercice 1.2 Soient A et B deux ensembles. Montrer que
A\B =A,A
B:
Exercice 1.3 Soient E et F deux ensembles quelconques. Prouver que si A et B sont non vides, on a
(A
E et B
F ) , (A
B
E
F):
Exercice 1.4 Soit E un ensemble, pour toute partie A de E, on note A l’application de E dans f0; 1g dé…nie
par A (x) = 1 si x 2 A et A (x) = 0 si x 2
= A. On l’appelle l’application caractéristique de A de A.
Soient A et B deux parties de E.
1. Montrer que A
B,
A
2. Montrer que A = B ,
A
3. Montrer que
2
A
4. Comparer
A B
5. Comparer
A
6. Exprimer
et
A[B
=
B.
=
B.
A.
et
A\B .
A.
en fonction de
A
et
B.
2
7. Montrer que A B = ( A
B) = j A
B j.
(Ici A B désigne l’ensemble (AnB) [ (BnA) ; on appelle cet ensemble la di¤érence symétrique de A et
de B.)
Exercice 1.5 Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Montrer que
A = B , A \ B = A [ B:
1.2
Utilisation du symbole
P
Exercice 1.6 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
n
X
k=0
1
3k+1
=
1
2
55
1
3
n+1
1
+ :
2
56
Pascal BEAUGENDRE
Exercice 1.7 Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a
n
X
k2k = (n
1) 2n+1 + 2:
k=0
Exercice 1.8 Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a
n
X
2k + 1 = 2n+1 + n
k=0
Exercice 1.9 Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a
n
X
(k
k!) = (n + 1)!
1:
k=0
Exercice 1.10 Calculer, pour tout entier n > 0,
n
X
Sn =
k=1
1
:
k (k + 1)
Exercice 1.11 Calculer, pour tout entier n > 0,
n
X
k=1
1
:
k (k + 2)
Exercice 1.12 Soit n appartenant à N, calculer
X
S=
4k
0 2k n
Exercice 1.2.1 (de révision) Calculer
n
P
kxk
1
k=1
n
:
2k
, pour x 6= 1 et n appartenant à N.
Exercice 1.13 Soit n appartenant à N , calculer
Sn =
n
X
n
:
k
k + 2k
k=1
Exercice 1.14 Calculer, pour tout entier n strictement positif,
Sn =
n
X
ln 1 +
k=1
Exercice 1.15 Calculer
10
X
i=1
Exercice 1.16 Calculer
0
@
5
X
j=1
1
(2i + j)A :
10 X
20
X
ij
i=1 j=1
Exercice 1.17 Calculer
1
k
X
1 i j 10
(ij)
:
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Exercice 1.18 Calculer
X
57
(p + q) :
1 p q 10
Exercice 1.19 Soit n appartenant à N , calculer
X
Sn =
(p (q + 1)) :
1 p q n
Exercice 1.20
1. Calculer, pour tout entier naturel n,
X
Sn =
k`.
1 k ` n
2. Calculer, pour tout entier naturel n,
!
n
n
X
X
k`
Sn =
`+1
k=1
Exercice 1.21
`=k
:
2n
1. Soit n appartenant à N, en développant de deux façons (X + 1) , calculer
n
X
n
k
n
n
k=0
:
k
X2
2. Soit n appartenant à N, en développant de deux façons 1
2n
X
( 1)
k
k=0
Exercice 1.22 Soit j = exp
2i
3
2n
k
2n
, calculer
2
:
.
1. Montrer que 1 + j + j 2 = 0.
n
n
2. Soit n appartenant à N. En calculant de deux façons di¤érentes (1 + 1) , (1 + j) et 1 + j 2
P
P
P
n
n
des expressions simples des sommes suivantes 0 3k n 3k
, 0 3k+1 n 3k+1
et 0 3k+2 n
Exercice 1.23 Soit n appartenant à N , calculer
Sn =
X
p (q + 1) :
0 p<q n
Exercice 1.24 Soit n un entier naturel non nul. Calculer
0
1
n
n
X
X
1
1A
j@
:
n
i
j=1
i=j
Exercice 1.25 Soit n un entier naturel non nul. Calculer
X
pq:
1 p<q n
Exercice 1.26 Soit n un entier naturel non nul. Calculer
X
k3` :
1 ` k n
n
trouver
n
3k+2 .
58
Pascal BEAUGENDRE
Chapitre 2
Dénombrements (exercices)
Exercice 2.1 Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l’anglais et 15 l’allemand. On sait que tous les élèves
étudient au moins l’une des deux langues. Combien y a-t-il d’élèves qui étudient à la fois l’anglais et l’allemand,
seulement l’anglais, seulement l’allemand ?
Exercice 2.2 On lance 5 fois une pièce de monnaie pour jouer à pile ou face. Déterminer le nombre de résultats
possibles.
Exercice 2.3 Un matrice 2
2 est un tableau de la forme
a
c
b
d
:
1. Dénombrer les matrices dont les coe¢ cients sont pris dans l’ensemble f 1; 0; 1g.
2. Parmi celles-ci, combien y en a-t-il qui véri…ent la relation ad
bc 6= 0 ?
3. Ecrire un programme pour véri…er les questions précédentes.
Exercice 2.4 Déterminer le nombre de façons de disposer deux objets distincts dans quatre cases distinctes
1. Sans condition particulière.
2. En imposant qu’il y ait au plus un objet par case.
Exercice 2.5 Déterminez le nombre de mains de 8 cartes contenant exactement un as et deux rois dans un jeu
de 32 cartes.
Exercice 2.6 Au Loto du siècle dernier, le joueur devait cocher 6 numéros sur une grille de 49 et le tirage
déterminait 6 numéros gagnants plus un numéro complémentaire.
1. Quel était le nombre de grille(s) gagnante(s) du premier rang (les 6 numéros gagnants ont été cochés) ?
2. Quel était le nombre de grille(s) gagnante(s) du deuxième rang (5 numéros gagnants ont été cochés ainsi
que le complémentaire) ?
3. Quel était le nombre de grille(s) gagnante(s) du troisième rang (5 numéros gagnants exactement ont été
cochés sans le complémentaire) ?
4. Quel était le nombre de grille(s) gagnante(s) du quatrième rang (4 numéros gagnants exactement ont été
cochés) ?
5. Quel était le nombre de grille(s) gagnante(s) du cinquième rang (3 numéros gagnants exactement ont été
cochés) ?
Exercice 2.7 Soit n un entier strictement positif.
59
60
Pascal BEAUGENDRE
1. Trouver le nombre de couples (x; y) appartenant à N2n tels que x < y.
2. Trouver le nombre de couples (x; y) appartenant à N2n tels que x > y.
3. Trouver le nombre de couples (x; y) appartenant à N2n tels que x
y.
4. Trouver le nombre de triplets (x; y; z) appartenant à N3n tels que x < y < z.
! !
Exercice 2.8 Un plan est rapporté à un repère orthonormé O; i ; j . Soient a et b deux entiers strictement
positifs et M le point de coordonnées (a; b). Quel est le nombre de chemins monotones de 0 à M ?
!
!
(Un chemin monotone est un chemin dont chaque déplacement est une translation de vecteur i ou j ).
Exercice 2.9 Un « jack pot» comporte 3 fenêtres en face desquelles peuvent apparaître 12 symboles (les mêmes
pour chaque fenêtre).
1. Quel est le nombre de triplets de symboles pouvant ainsi apparaître ?
2. On gagne si deux symboles au moins sont identiques. Quel est le nombre de triplets gagnants ?
3. Ecrire un programme pour véri…er les questions précédentes.
Exercice 2.10 Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « MATHS» .
Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « PROBABILITES»
Exercice 2.11
1. On noircit un certain nombre des 16 cases de la grille suivante
Combien de grilles di¤érentes peut-on obtenir ?
2. Même question si l’on dispose de trois couleurs, chaque case étant coloriée d’une et d’une seule couleur.
Exercice 2.12
1. Combien de nombres à 4 chi¤res peut-on écrire avec les 6 chi¤res 1; 2; 3; 4; 5; 6. Quelle est
leur somme ?
2. Même questions si les nombres à 4 chi¤res doivent avoir leurs 4 chi¤res distincts.
Exercice 2.13 Soit n appartenant à N, on considère l’équation
x1 + x2 + ::: + xp = n:
Déterminer le nombre de solutions, dans Np , de cette équation.
Exercice 2.14 Au poker à 4 on donne à chaque joueur 5 cartes prises dans un jeu de 32 cartes. (Ces 5 cartes
sont appelées une main.) On rappelle qu’il y a quatre couleurs dans un jeu de cartes.
1. Déterminer le nombre de mains possibles.
2. Déterminer le nombre de mains contenant :
(a) une quinte ‡ush (5 cartes consécutives de même couleur) ;
(b) une couleur (5 cartes non consécutives d’une même couleur) ;
(c) un carré ;
(d) un full (un brelan (3 cartes de la même hauteur) et une paire (2 cartes de la même hauteur) ;
(e) une quinte (5 cartes consécutives) ;
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61
(f) un brelan simple ;
(g) une double paire ;
(h) une paire simple.
Exercice 2.15 Déterminer le nombre de numéros de téléphone à 10 chi¤res dans chacun des cas suivants.
1. Le numéro est formé avec deux chi¤res 1, deux chi¤res 2, six chi¤res 5.
2. Le numéro est formé avec deux chi¤res distincts et deux seulement.
3. Le numéro comporte trois 1 et trois seulement.
Exercice 2.16 Un plan est rapporté à un repère orthonormé
! ! !
O ; i ; j . Soient M le point de coordonnées
(7; 3) et N le point de coordonnées (2; 3). Quel est le nombre de chemins monotones de O à M passant par N ?
!
!
(Un chemin monotone est un chemin dont chaque déplacement est une translation de vecteur i ou j ).
Exercice 2.17 On s’intéresse aux entiers naturels dont l’écriture ne nécessite pas d’autres chi¤res que 1 et 2.
1. Combien y a-t-il de tels entiers formés de n chi¤res ?
2. Combien y en a-t-il formés d’au plus n chi¤res ?
Exercice 2.18 En lançant cinq fois un dé à six faces, on obtient une suite de cinq numéros appartenant à
f1; ::; 6g.
1. Combien de suites sont possibles ?
2. Parmi ces suites, combien y en a-t-il
(a) Qui commencent par un 2 ?
(b) Qui commencent et …nissent par le même numéro ?
(c) Qui ne contiennent pas de 3 ?
(d) Qui contiennent tous les numéros, sauf le 3 ?
Exercice 2.19 Combien y a-t-il de pièces dans un jeu de dominos ?
Exercice 2.20
1. Soit n un entier naturel, on note
E2;n = (x1 ; x2 ) 2 N2 ; x1 + x2 = n :
Déterminer le cardinal de E2;n .
2. Soit n un entier naturel, on note
E3;n = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 N3 ; x1 + x2 + x3 = n :
Déterminer le cardinal de E3;n .
3. Plus généralement, pour tout n appartenant à N et pour tout p appartenant à N , on pose
Ep;n = f(x1 ; x2 ; :::; xp ) 2 Np ; x1 + x2 + ::: + xp = ng :
Montrer que
card (Ep;n ) =
n+p 1
:
p 1
62
Pascal BEAUGENDRE
Exercice 2.21 Une marque d’automobiles produit quatre modèles A, B, C et D. Les modèles A et B se font
en 2 carrosseries : berline et coupé. Les modèles C et D se font en 4 carrosseries : berline, coupé, cabriolet et
utilitaire. Chaque voiture est vendue en 7 coloris. Combien de choix s’o¤rent à un client désirant acheter une
voiture de cette marque ?
Exercice 2.22 Dix chevaux numérotés sont au départ d’une course.
1. Combien de tiercés dans l’ordre sont possibles ?
2. Parmi ces tiercés, combien y en a-t-il où le numéro 2 est premier ?
3. Combien de tiercés dans le désordre sont possibles ?
Exercice 2.23
1. Soit E un ensemble de cardinal 2n (avec n 1).
- On appelle partage par paires de E tout n-uplet (p1 ; :::; pn ) où les pi sont des paires d’éléments de E,
deux à deux disjointes.
N. B. : Une paire est une partie à deux éléments.
- On appelle partition par paires de E tout ensemble fp1 ; :::; pn g où les pi sont comme ci-dessus.
Quel est le nombre de partages par paires de E ? Quel est le nombre de partitions par paires de E ?
2. On considère 32 joueurs de tennis. De combien de façons peut-on organiser le premier tour d’un tournoi
en simple ? De combien de façons peut-on organiser le premier tour d’un tournoi en double ?
Exercice 2.24 Un facteur arrive dans le hall d’un immeuble. Il doit distribuer 7 prospectus dans 10 boîtes
aux lettres nominatives. De combien de façons peut-il le faire dans chacun des cas suivants :
1. (a) Chaque boîte aux lettres peut contenir au plus un prospectus et les prospectus sont distincts.
(b) Chaque boîte aux lettres peut contenir au plus un prospectus et les prospectus sont identiques.
2. (a) Chaque boîte aux lettres peut contenir un nombre quelconque de prospectus et les prospectus sont
distincts.
(b) Chaque boîte aux lettres peut contenir un nombre quelconque de prospectus et les prospectus sont
identiques.
Exercice 2.25
1. Combien existe-il de surjections d’un ensemble E de cardinal n > 0 dans F = f0; 1g ?
2. On range n boules indiscernables dans 3 tiroirs. Quel est le nombre de répartitions telles que 2 tiroirs
exactement soient occupés ?
Exercice 2.26
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2, on note
n
o
2
F2;n = (x1 ; x2 ) 2 (N ) ; x1 + x2 = n :
Déterminer le cardinal de F2;n .
2. Soit n un entier supérieur ou égal à 3, on note
n
o
3
F3;n = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 (N ) ; x1 + x2 + x3 = n :
Déterminer le cardinal de F3;n .
3. Plus généralement, pour tout p appartenant à N et pour tout entier n supérieur ou égal à p et , on pose
p
Fp;n = f(x1 ; x2 ; :::; xp ) 2 (N ) ; x1 + x2 + ::: + xp = ng :
Montrer que
card (Fp;n ) =
n
p
1
:
1
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63
Exercice 2.27 Soit n appartenant à N , on pose
Sn =
n
X
n
k
2
:
k=0
Calculer Sn en fonction de n. En déduire le nombre de parties de f1; :::; 2ng contenant autant de numéros pairs
que de numéros impairs.
Exercice 2.28 Soit E un ensemble de cardinal n. Combien existe-t-il de couples (A; B) où A et B sont des
parties de E telles que A B ?
Exercice 2.29
1. Montrer que pour tout k appartenant à N, on a
2
(k + 1) = k (k
2. Soit n appartenant à N , calculer
S=
n
X
k=0
1) + 3k + 1:
(k + 1)
2
n k
2 .
k
Exercice 2.30 Soit E l’ensemble des mots de longueur 9 dont les 9 lettres sont prises dans l’ensemble des 26
lettres de l’alphabet.
1. Déterminer le cardinal de E:
2. Déterminer le nombre de mots de E contenant exactement 4 fois la lettre a:
3. Déterminer le nombre de mots de E pour lesquels 2 lettres distinctes se répètent chacune au moins 4 fois.
Exercice 2.31 Soient n et p appartenant à N . On note Sp;n le nombre de surjections de Np dans Nn .
1. Rappeler quel est le nombre d’applications de Np dans Nn .
2. On suppose que p < n. Que vaut alors Sp;n ?
3. On suppose que p
n. Montrer que
np =
n
X
n
Sp;i :
i
i=1
64
Pascal BEAUGENDRE
Chapitre 3
Les espaces probabilisés …nis
(exercices)
3.1
Généralités, le cas particulier de l’équiprobabilité, indépendance
Exercice 3.1 Une pièce est truquée de telle sorte que la probabilité d’obtenir face est deux fois celle d’obtenir
pile. Calculer la probabilité de sortie de chaque côté de cette pièce.
Exercice 3.2 Un dé est pipé de telle sorte que la probabilité de sortie de chaque face est proportionnelle au
numéro de la face. Calculer la probabilité de sortie de chacune des faces.
Exercice 3.3 Un sac contient 100 jetons numérotés de 1 à 100. On sort un jeton du sac et on admet que tous
les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité des événements suivants
1. A=« obtenir un nombre inférieur ou égal à 70» .
2. B=« obtenir un nombre multiple de trois» .
3. C=« obtenir un nombre dont le reste de la division par 7 soit 4» .
Exercice 3.4 On tire au hasard 5 cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cœurs exactement
parmi les 5 cartes tirées ?
Exercice 3.5 On tire 4 cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un as ?
Exercice 3.6 Une urne contient 5 boules blanches, 8 boules rouges et 7 boules vertes. On en extrait simultanément 3 boules.
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule de chaque couleur ?
2. Quelle est la probabilité de tirer exactement deux boules rouges ?
3. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de la même couleur ?
Exercice 3.7 On choisit au hasard un numéro de téléphone à 8 chi¤res. Quelles sont les probabilités des
événements suivants :
A =« les 8 chi¤res sont tous distincts» .
B =« le produit des 8 chi¤res est divisible par deux» .
C =« les 8 chi¤res forment une suite strictement croissante» .
D =« les 8 chi¤res forment une suite décroissante au sens large» .
Exercice 3.8 On lance trois dés équilibrés. Calculer la probabilité des événements suivants :
65
66
Pascal BEAUGENDRE
1. A =« avoir trois numéros deux à deux distincts» .
2. B =« avoir trois numéros de la même parité» .
3. C =« avoir un des numéros strictement supérieur à la somme des deux autres» .
4. D =« le numéro donné par le 1er dé est strictement inférieur au numéro donné par le 2ieme dé qui est lui
même strictement inférieur au numéro donné par le 3ieme dé» .
5. E =« La somme des numéro donnés par les deux premiers dés vaut 7» .
Exercice 3.9 Un joueur tire 8 cartes avec remise d’un jeu de 32 cartes.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir deux piques, deux cœurs, et quatre trè‡es ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux piques et un roi exactement.
Exercice 3.10 Soient A et B deux événements. Montrer que A et B sont indépendants si, et seulement si, A
et B sont indépendants.
Exercice 3.11 Une urne contient 5 boules blanches, 6 boules rouges et 9 boules vertes. On en extrait simultanément 3 boules.
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule de chaque couleur ?
2. Quelle est la probabilité de tirer exactement deux boules rouges ?
3. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de la même couleur ?
Exercice 3.12 On lance trois dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme fasse 12 ?
3.2
Variables aléatoires et vecteurs aléatoires
Exercice 3.13 Soit n appartenant à N et soit X une variable aléatoire …nie dont la loi est donnée par
X ( ) = f1; :::; ng
et
8k 2 X ( ) ; P (X = k) = ak (n + 1
k) :
1. Trouver a.
2. Déterminer E (X), le résultat est-il surprenant ?
3. Déterminer E
1
X
.
Exercice 3.14 Soit n appartenant à N et soit X une variable aléatoire telle que X ( ) = f1; :::; ng et
P (X = k) = n1 , pour tout k appartenant à X ( ). (X suit une loi uniforme sur f1; :::; ng.)
1. (a) Véri…er que l’on a bien dé…ni une variable aléatoire.
(b) Donner E (X) et V (X).
2. Calculer le moment d’ordre 3 de X.
3. Calculer E
1
X(1+X)
.
Exercice 3.15 On lance deux dés honnêtes. On note X1 le numéro donné par le dé numéro 1 et X2 le numéro
donné par le dé numéro 2. Les variables aléatoires réelles X1 et X2 sont donc indépendantes. On note également
X le plus grand des numéros obtenus et Y le plus petit.
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67
1. Reconnaître les lois de X1 et de X2 . Donner sans calcul E(X1 ) et V (X1 ).
2. Déterminer les lois de X et de Y .
3. Calculer E(X) et E(Y ). Comparer ces espérances et commenter.
4. Calculer V (X) et V (Y ).
5. Représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
Exercice 3.16 Un mobile évolue de façon aléatoire le long d’un axe gradué. A l’instant t = 0, il est en O
(l’origine de l’axe). A chaque instant entier t appartenant à N, son abscisse varie de +2 avec la probabilité p et
de 1 avec la probabilité q = 1 p. Pour tout n appartenant à N , on note Xn son abscisse au temps t = n et
Yn le nombre de déplacements de « +2» e¤ectués.
1. Soit n un entier naturel non nul …xé. Donner la loi de Yn . Donner, sans calcul, E(Yn ) et V (Yn ).
2. Soit n appartenant à N .
(a) Donner la loi de Xn .
(b) Calculer E(Xn ) puis V (Xn ).
3. Dans cette question, on suppose que n = 3 et que p = 12 . Tracer le graphe de la fonction de répartition
de X3 .
Exercice 3.17
1. On tire sans remise au hasard 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Soit X la variable aléatoire
réelle égale au nombre de rois obtenus. Donner, sans calcul, la loi et l’espérance de X.
2. On considère à nouveau le jeu de cartes précédent.
On note Y la variable aléatoire réelle égale au nombre de rois obtenus lorsque l’on tire successivement 5
cartes avec remise.
Donner, sans calcul, la loi de Y , son espérance et sa variance.
Exercice 3.18 Soit n un entier pair strictement positif et soit X ,! B n; 21 . On note A l’événement « X est
un nombre pair» .
1. Pour tout k appartenant à 0; :::; n2 , donner P (X = 2k).
2. Calculer P (A).
3. Soit B l’événement « X est un nombre impair» . Calculer P (B).
Exercice 3.19 Un autre exercice classique du même style. Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi
binomiale de paramètres n et 21 . On note A l’événement « X est un multiple de 3» . Calculer P (A).
Indication : On pourra traiter d’abord l’exercice 1.22 page 57.
Exercice 3.20 (D’après Véto 99)
Première partie.
Une urne contient 7 boules : 5 boules blanches et 2 boules noires. Un joueur extrait simultanément deux boules
de l’urne.
1. Calculer la probabilité qu’il tire deux boules blanches.
2. Le joueur participe maintenant au jeu suivant :
s’il tire deux boules blanches il gagne x francs (x 0) ;
s’il tire deux boules noires il perd 10x francs ;
s’il tire une boule blanche et une boule noire, il procède à un second tirage de deux boules, sans remettre
les deux premières boules tirées : à l’issue de ce second tirage, il gagne y francs (y
0) s’il tire deux
boules blanches, sinon il perd 3 francs.
On désigne par G la variable aléatoire dont les valeurs sont égales aux gains (positifs ou négatifs) du
joueur.
68
Pascal BEAUGENDRE
(a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
(b) Calculer, en fonction de y, l’espérance de la variable aléatoire G. Déterminer y pour que le jeu soit
équitable, c’est-à-dire pour que l’on ait E(G) = 0.
(c) Pour cette valeur de y, calculer l’écart-type (G) de la variable G, en fonction de x.
q
2
Deuxième partie. Soit f la fonction dé…nie par f (x) = 110x21+60 .
1. Déterminer le réel
tel que limx!+1 (f (x)
x) = 0. Quel est le signe de f (x)
x pour x
0?
2. Etudier la fonction f . Tracer sa courbe représentative (C) et ses asymptotes dans un repère orthonormé
(unité : 1,5 cm). On donne
q
x
0
1
2
3
4
et 110
21 t 2; 2887.
f (x) t 1; 6903 2; 845 4; 8795 7; 0711 9; 3095
3. A l’aide de ce graphe, déterminer l’entier naturel x pour lequel l’écart-type (G) de la première partie est
compris entre 7 et 8.
Exercice 3.21
1. On pose 20 questions à un candidat. Pour chaque question, k réponses sont proposées
dont une seule est la bonne (k 2). Le candidat choisit au hasard une des réponses proposées. On lui
attribue un point par bonne réponse. Soit X1 le nombre de points obtenus. Quelle est la loi de X1 ?
2. Lorsque le candidat donne une mauvaise réponse, il peut choisir à nouveau une des autres réponses
proposées. On lui attribue alors 21 point par bonne réponse. Soit X2 le nombre de points obtenus lors de
ces seconds choix et soit Y le nombre de bonnes réponses obtenues lors de ces seconds choix.
Donner, pour tout (i; j) appartenant à N2 véri…ant 0 j 20 i, la valeur de P (Y = j jX1 = i ). Quelle
est la loi de Y ? Quelle est la loi de X2 ?
3. Soit X le nombre total de points obtenus. Calculer E(X).
4. Déterminer la valeur de k telle que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.
Exercice 3.22 Soit X une variable aléatoire réelle qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
On dé…nit la variable aléatoire réelle Y par
Y = X si X 6= 0
Y prend une valeur au hasard dans f0; ::; ng si X = 0:
Trouver la loi de Y et calculer E (Y ).
Exercice 3.23 Dans un stand de tir un joueur dispose de n ‡échettes (n …xé, supérieur où égal à 2) pour
tenter de faire éclater un ballon. A chaque essai, la probabilité du succès vaut p, (avec 0 < p < 1), et donc la
probabilité de l’échec vaut q (avec q = 1 p). On suppose que les di¤érents essais sont indépendants les uns
des autres et que le joueur s’arrête dès que le ballon éclat (s’il éclate).
1. Soit X le nombre aléatoire de ‡échettes utilisées par le joueur.
(a) Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?
(b) Déterminer la loi de X et démontrer que, si l’on note E (X) son espérance, on a
E(X) =
1 qn
:
1 q
On pourra faire une démonstration par récurrence ou adapter des calculs « classiques» .
2. Sachant que le ballon a éclaté quelle est la probabilité que ce soit avec la n-ième ‡échette ?
3. Dans cette question on suppose que l’on a n = 3 et p = 1=2. Si le joueur fait éclater le ballon avec la k ieme
‡échette (k compris évidemment entre 1 et 3), il a le droit de lancer 4 k fois une pièce équilibrée et il reçoit
1 franc pour chaque « pile» obtenu. Soit Y le gain aléatoire de ce joueur. Déterminer P (Y = k jX = 1 ),
pour tout k appartenant à f0; :::; 3g.
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69
Exercice 3.24 Une piste rectiligne est divisée en cases, numérotées 0; 1; 2; :::; n; :::: de gauche à droite. Une
puce se déplace vers la droite, de 1 ou 2 cases au hasard, à chaque saut. Au départ, elle est sur la case numéro
0. Soit Xn la variable aléatoire égale au numéro de la case occupée par la puce après n sauts.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 , et calculer E (X1 ) et V (X1 ).
2. On appelle Yn la variable aléatoire réelle égale au nombre de fois où la puce a sauté d’une case, au cours
des n premiers sauts. Déterminer la loi de Yn de puis E (Yn ) et V (Yn ).
3. Déterminer Xn en fonction de Yn . En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire Xn puis E (Xn )
et V (Xn ).
Exercice 3.25 Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soient p, q deux réels tels que 0 < p < 1 et p + q = 1.
On considère X une variable aléatoire réelle dont la loi est donnée par
X ( ) = f1; :::; ng
et
8k 2 f1; :::; n 1g ; P (X = k) = q k
P (X = n) = q n 1 :
1
p
1. Véri…er que l’on a bien dé…ni la loi d’une variable aléatoire réelle …nie.
2. On note E (X) l’espérance de X. Montrer que
E(X) =
1 qn
:
1 q
3. Dans cette question et dans cette question seulement on suppose que n = 3 et p = q = 12 .
Calculer V (X).
Exercice 3.26 Une puce se déplace entre trois points A, B et C. Au départ elle est en A. A chaque étape,
elle quitte sa position et gagne indi¤éremment l’un des deux autres points. On note an , bn et cn les probabilités
qu’elle se trouve respectivement en A, B et C à l’issue de la n-ième étape. Donc a0 = 1, b0 = 0 et c0 = 0.
1. Pour tout n appartenant à N, exprimer an+1 , bn+1 et cn+1 en fonction de an , bn et cn .
2. Calculer an , bn et cn en fonction de n, pour tout n appartenant à N.
Exercice 3.27 Problème des coïncidences. Soit n un entier strictement positif.
1. Quel est le nombre de façons de mettre n lettres dans n enveloppes ?
2. Quel est le nombre de façons de mettre n lettres dans n enveloppes de façon qu’au moins une lettre arrive
à son destinataire ?
3. Quelle est la probabilité pn qu’au moins une lettre arrive à son destinataire ?
Exercice 3.28 On dispose de n urnes (avec n appartenant à N ). Pour tout k appartenant à Nn , l’urne
numéro k contient k boules blanches et n k boules noires. On choisit une urne, l’urne n k étant choisie avec
n
la probabilité a
k , puis on tire une boule de cette urne. (a est une constante réelle.)
1. Que vaut a ?
2. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
3. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit noire ?
4. Soit k appartenant à Nn , sachant que la boule tirée est blanche quelle est la probabilité de l’avoir tirée
dans l’urne numéro k ?
70
Pascal BEAUGENDRE
Exercice 3.29 Un étudiant (d’une autre classe) est souvent en retard. Sa ponctualité dé…ciente obéit aux
règles suivantes. S’il arrive en retard un jour donné, alors, la probabilité qu’il soit à l’heure le jour suivant est
de 0; 9. Par contre, s’il est à l’heure un jour donné, alors, la probabilité qu’il soit à l’heure le jour suivant est de
0; 7.
Pour tout n appartenant à N , on note An l’événement « l’étudiant est à l’heure le jour n» et on pose
pn = P (An ). On admet qu’il est à l’heure le premier jour (numéroté 1).
1. Trouver, pour tout n appartenant à N , une relation entre pn+1 et pn .
2. Calculer pn en fonction de n, pour tout n appartenant à N .
3. Montrer que la suite (pn )n
1
converge et donner sa limite.
4. Quel est le nombre moyen de retards dans l’année scolaire qui compte n0 jours de cours ?
Exercice 3.30 Soient n appartenant à N et p appartenant à ]0; 1[. Luc tire sur une cible avec la probabilité p
d’atteindre cette cible. Il tire n fois de suite sur cette cible. Un compteur comptabilise le nombre de fois où la
cible a été atteinte au cours de ces n tirs. Malheureusement, le compteur est détraqué : il a¢ che le bon résultat
avec la probabilité 12 , et le bon résultat plus 1 avec la probabilité 12 .
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où Luc atteint la cible au cours des n tirs. Soit Y la variable
aléatoire égale au nombre a¢ ché par le compteur.
1. Déterminer la loi de X.
2. Déterminer la loi de Y .
3. Calculer l’espérance de Y .
Exercice 3.31 Un voyageur prend chaque jour le train ou l’avion. Il voyage durant n jours (n > 0). Il prend
le train le premier jour (numéroté 1).
Si au jour j 1 il prend le train, la probabilité qu’il prenne l’avion au jour j est de 13 .
Si au jour j 1 il prend l’avion, il prend le train au jour j.
Pour tout j appartenant à Nn , on note Aj l’événement « le voyageur prend le train le jour j» et pj = P (Aj ).
1. Combien vaut p1 ?
2. En utilisant la formule des probabilités totales trouver une relation entre pj+1 et pj pour tout j appartenant
à Nn 1 .
3. Calculer pj en fonction de j.
4. Montrer que la suite (pn )n
1
converge et donner sa limite.
Exercice 3.32 La proportion de pièces défectueuses dans un lot de pièces est 0,05. Le contrôle de fabrication
des pièces est tel que :
Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96.
Si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98. On choisit une pièce au hasard et on la contrôle.
Quelle est la probabilité :
1. Qu’il y ait une erreur de contrôle ?
2. Qu’une pièce acceptée soit mauvaise ?
Exercice 3.33 On pioche une à une sans remise 4 cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité de tirer un
valet, puis une dame, puis encore un valet et en…n un roi ?
Exercice 3.34 On dispose de N + 1 urnes U0 , U1 , ..., UN (N appartenant à N). Pour tout k appartenant à
f0; :::; N g, l’urne numéro k contient k boules blanches et N k boules noires. On tire une boule de l’une de ces
urnes choisie au hasard.
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1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
2. Sachant que la boule tirée est blanche quelle est la probabilité de l’avoir tirée dans UN ?
Indication. Pour tout k appartenant à f0; :::; N g, on note Ak l’événement « l’urne k est choisie» et B
l’événement « la boule tirée est blanche» . Déterminer, pour tout k appartenant à f0; :::; N g, P (Ak ) et
P ( Bj Ak ).
Exercice 3.35 Soit n un entier naturel strictement positif et soit X ,! B n; 21 .
1. Rappeler quelle est la valeur de E (X).
X
2. On pose Y = ( 1) .
(a) Déterminer la loi de Y .
(b) Déterminer les moments d’ordres 1, 2 et 3 de Y .
Exercice 3.36 Soit n un entier naturel strictement positif et soit X ,! U (n).
1. Rappeler quelle est la valeur de E (X).
X
2. On pose Y = ( 1) . Déterminer la loi de Y . Déterminer les moments d’ordres 1, 2 et 3 de Y .
3. Calculer cov (X; Y ).
Exercice 3.37 Soit n un entier naturel non nul et soit X ,! U (n).
1. On note A l’événement « X est un nombre pair» . Calculer P (A).
(Attention, il y a deux cas à étudier.)
2. On suppose que n est un carré (c’est-à-dire qu’il existe n0 appartenant à N, tel que n = n20 ). Soit B
l’événement « X est un nombre au carré» . Calculer P (B).
Exercice 3.38 On considère n sacs S1 ; :::; Sn (n appartenant à N ). Le sac numéro k contient k boules blanches
et n + 1 k boules rouges.
1. On choisit un sac, le sac numéro k étant choisi avec la probabilité a
est un réel). Puis on tire une boule.
k, pour tout k appartenant à Nn (a
(a) Que vaut a ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ?
(c) Sachant que la boule tirée est rouge, quelle est la probabilité qu’elle vienne du sac n k ?
2. On choisit encore un sac, le sac numéro k étant choisi avec la probabilité a k, pour tout k appartenant
à Nn . Puis on tire deux boules de ce sac, avec remise.
Donner la valeur de a. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ?
Exercice 3.39 Un dé à 16 faces est pipé de telle sorte que la probabilité de sortie de la face numéro 1 soit 2
fois celle de sortie de la face numéro 2; qui est elle même 2 fois celle de sortie de la face numéro 3, ... et la
probabilité de sortie de la face numéro 15 est 2 fois celle de sortie de la face n 16.
1. Quelle est la probabilité de sortie de la face numéro 1 ?
2. On note X la variable aléatoire réelle égale au numéro obtenu lors d’un lancer. Déterminer E (X).
Exercice 3.40 Deux personnes A et B jouent à pile ou face. Les lancers sont indépendants et la pièce non
truquée. Chaque joueur lance la pièce n fois (avec n appartenant à N .) Calculer la probabilité que A et B
obtiennent pile le même nombre de fois.
72
Pascal BEAUGENDRE
Exercice 3.41 Un interrupteur admet deux positions que l’on note 0 et 1. Si, à l’instant n, il est en position 0,
il sera encore en position 0 à l’instant n + 1 avec la probabilité 1 a et passera en position 1 avec la probabilité
a. De même, s’il est en position 1, il y restera l’instant suivant avec la probabilité 1 b et basculera en position
0 avec la probabilité b. Pour tout n appartenant à N, on dé…nit Xn la position de l’interrupteur à l’instant n.
1. Montrer que, pour tout n appartenant à N,
P (Xn+1 = 0)
P (Xn+1 = 1)
avec A =
1
a
a
b
1
b
=A
P (Xn = 0)
P (Xn = 1)
.
2. Si l’on suppose que X0 suit la loi de Bernoulli de paramètre
tout n appartenant à N.
a
a+b ,
déterminer la loi de la variable Xn , pour
3. Dans le cas général, montrer que, pour tout n appartenant à N, Xn suit une loi de Bernoulli dont on
déterminera le paramètre pn .
4. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn )n2N . (En d’autres termes, montrer que lim pn existe.)
n!+1
5. Calculer, pour tout n appartenant à N, la covariance entre les variables Xn et Xn+1 .
Quelle est la limite de la suite (cov (Xn ; Xn+1 ))n2N ?
Exercice 3.42 Soit n appartenant à N et X ,! U (n). On pose Y = 1 + X 2 .
1. Donner X ( ), E (X) et V (X).
2. (a) Calculer E X 3 . (On donnera le résultat sous forme développée, réduite et ordonnée.)
(b) Calculer E (Y ). (On donnera le résultat sous forme développée, réduite et ordonnée.)
3. Calculer cov (X; Y ). (On donnera ce résultat sous forme développée, réduite et ordonnée.)
4. Dans cette question on suppose que n = 3.
(a) Que vaut cov (X; Y ) ?
(b) Les variables aléatoires réelles X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 3.43 On tire avec remise deux jetons d’une urne contenant trois jetons numérotés de 1 à 3. On note
X la variable aléatoire désignant le premier numéro obtenu et Y la variable aléatoire désignant le deuxième
numéro obtenu. On pose également U = sup (X; Y ).
1. Déterminer la loi du couple (X; U ).
2. Déterminer la loi de U .
3. Calculer cov (X; U ).
Exercice 3.44 Deux joueurs A et B jouent à un jeu consistant en une suite de lancers indépendants d’une
pièce de monnaie.
Le joueur A a la probabilité p de gagner en obtenant « Pile» et B a la probabilité q = 1 p de gagner en
obtenant « Face» .
Le joueur qui gagne la partie est celui qui a, pour la première fois, deux victoires de plus que l’autre.
1. Soit n appartenant à N , quelle est la probabilité qu’au n-ième coup, les deux joueurs soient à égalité ?
2. Soit n appartenant à N , quelle est la probabilité qu’au n-ième coup A gagne la partie ?
Exercice 3.45 Soit X, Y et Z trois variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes trois la loi
uniforme sur [[1; n]].
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1. Calculer P (X = Y ).
2. Déterminer la loi de X + Y .
3. Calculer P (X + Y = Z).
Exercice 3.46 Soient X ,! U (n) et Y ,! U (n) (avec n 2 N ). On suppose que X et Y sont indépendantes.
1. On suppose que n = 10, déterminer la loi de X + Y .
2. On suppose que n est quelconque.
(a) Calculer E XY 2 .
(b) Donner cov X 2 ; Y 2 .
3. On suppose que n = 5. Donner la loi du couple X; X 2 .
Exercice 3.47 Soit (Xn )n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la loi B (1; p).
Pour tout n appartenant à N , on pose
Yn = Xn Xn+1 Xn+2 :
1. Pour tout n appartenant à N , déterminer la loi de Yn .
2. Calculer E (Yn ) et V (Yn ).
3. Calculer cov (Yi ; Yj ) en fonction de i et de j (i 6= j).
Exercice 3.48 On lance un dé honnête et on note X le numéro obtenu. Puis on relance X fois le dé et on
note Y le nombre total d’as obtenus lors de ces X lancers. Déterminer la loi conjointe de X et Y . Les variables
aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Index
anagramme, 22
antécédent, 11
application, 11
application caractéristique d’un ensemble, 55
arrangements, 19
formule de Poincaré
pour la probabilité d’une réunion, 26
pour le cardinal d’une réunion, 18
formule de transfert, 33
formule des probabilités composées, 29
formule des probabilités totales, 29
(première version), 27
(seconde version), 29
formule du crible
pour la probabilité d’une réunion, 26
pour le cardinal d’une réunion, 18
formule du triangle de Pascal, 5, 21
formules de Morgan, 9
Bayes
(formule de), 30
Bienaymé-Tchebychev
(inégalité de), 46
bijection, 11
binôme de Newton
(formule du), 5
cardinal, 17
chaîne de Markov, 48
changement d’indice, 4
coe¢ cient de corrélation linéaire, 44
coe¢ cients binomiaux, 21
combinaisons, 20
complémentaire, 9
composée
(de deux applications), 13
couples de variables aléatoires réelles …nies, 40
covariance, 44
image, 11
indépendance
d’une famille d’événements, 30
de deux événements, 30
de variables aléatoires réelles …nies, 35
indice de sommation, 3
indice muet, 3
inégalité de Bienaymé-Tchebychev, 46
inégalité de Cauchy Schwarz
(pour la covariance), 44
inégalité de Markov, 46
injection, 11
intersection, 7
intervalle de con…ance, 47
di¤érence symétrique, 55
écart-type
(d’une variable aléatoire réelle …nie), 32
ensemble des parties
(d’un ensemble), 10
ensemble des possibles, 25
ensembles équipotents, 17
ensembles …nis, 17
épreuve de Bernoulli, 38
équiprobabilité
(probabilité de l’), 27
espérance
(d’une variable aléatoire réelle …nie), 32
espace probabilisé …ni, 25
espace probabilisable …ni, 25
événement, 25
événement élémentaire, 25
Koenig-Huygens
(théorème de), 34
le principe du produit, 19
loi certaine, 37
loi conditionnelle, 45
loi conjointe, 40
loi d’une variable aléatoire réelle …nie, 32
loi du couple, 40
loi faible des grands nombres, 46
loi hypergéométrique, 39
loi quasi certaine, 37
lois marginales, 41
moments d’une variable aléatoire, 33
moyenne
(d’une variable aléatoire), 33
fonction de répartition, 36
fonctions génératrices, 49
formule de Bayes, 30
nombre de parties d’un ensemble à n éléments, 21
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p-liste, 19
p-uplet, 19
partie, 10
permutations, 20
probabilité, 25
probabilité conditionnelle, 29
probabilités composées, 29
probabilités totales
(formule des) , 29
produit cartésien, 10
réciproque d’une bijection, 13
réunion, 8
schéma de Bernoulli, 38
surjection, 11
système complet d’événements, 27
théorème de Bernoulli, 47
Vandermonde
(formule de), 14
variable aléatoire réelle, 31
variable aléatoire binomiale, 38
variable aléatoire de Bernoulli, 37
variance
(d’une variable aléatoire réelle …nie), 32
vecteurs aléatoires
(de dimension quelconque), 45
vecteurs aleatoires
(de dimension 2), 40
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