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MADA-ETI, ISSN 2220-0673, Vol.2, 2013, www.madarevues.gov.mg
Modélisation des techniques de recombinaison des signaux utilisant une diversité spatiale
Andriamanalina A.N.1, Randriamitantsoa A.A2, Randriamitantsoa P.A 3
Laboratoire de Recherche en Télécommunication, Automatique, Signal et Images
(LR-TASI)
Ecole Doctorale en Science et Technique de l’Ingénierie et de l’Innovation
(ED – STII)
Ecole Supérieure Polytechnique – Université d’Antananarivo, BP 1500, Antananarivo 101 - Madagascar
1
[email protected], 2 [email protected], 3 [email protected]
several copy of the signal which will be used to
improve the transmission, by increasing the signal
Résumé
Pour améliorer la transmission, à travers un canal
radio, on a recours à plusieurs techniques parmi
to noise ratio of the combined signal. At the
lesquelles on rencontre la notion de diversité. Il y a
receiver, we have several techniques to permit
plusieurs types de diversité entre autres, la
recombinaison of these different versions that
diversité spatiale, la diversité fréquentielle et la
present their own performances.
diversité de polarisation. Concernant, la diversité
Keywords: diversity, SNR, MRC, EGC, SC, SSC
spatiale elle consiste à engendrer plusieurs
répliques du signal qui seront utilisés pour
1. Introduction
améliorer la transmission, à travers l’amélioration
D’une manière générale, la recombinaison consiste
du rapport signal sur bruit du signal combiné. Il
à multiplier chaque version du signal reçu par un
existe cependant, au niveau du récepteur, plusieurs
facteur de recombinaison. Pour un système single
techniques qui permettent de recombiner ces
input multiple output, ce facteur de recombinaison
différentes versions et qui présentent leurs propres
est exprimée par :
performances.
=
Mots-clés : diversité, SNR, MRC, EGC, SC, SSC
(01)
⋮
Abstract
Où,
To improve the transmission, through a channel
Le principe de recombinaison consiste à choisir ce
radio, we have resort to several techniques among
facteur de façon à ce que le rapport signal sur bruit
which we have the concept of diversity. There are
ou SNR du signal recombiné soit amélioré.
several types of diversity, like spatial diversity,
représente le nombre d’antenne de réception.
2. Techniques de recombinaisons
frequency diversity and polarization diversity.
Si
About spatial diversity, it consists to generate
, ,
et
ℎ =
représentent
respectivement le facteur de recombinaison, le
1
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signal transmis, le bruit qui perturbe le
è
canal
Si
et le gain complexe du
è
canal
indépendante, alors la densité de probabilité jointe
de variance
où
; ;
phase du
f
canal, alors le signal combiné
est exprimé par [1] :
=∑
+∑
ℎ
chaque
branche
est
(γ , … . , γ ) = f (γ ) … f (γ )
,….,
(06)
s’exprime par :
(02)
Gain
Combining
Maximal Ratio Combining
∞
M (s) =
on rencontre
plusieurs méthodes de recombinaison à savoir les
Equal
que
Rappelons que, la fonction génératrice du SNR
Suivant le choix sur les valeurs de
techniques
suppose
est définie par :
désignent l’amplitude, le retard et la
è
on
∞
…
(MRC), Selection
∞
Combining (SC) et Switch and Stay Combining
∞
∞
…
(SSC) [1] [2].
∞
dγ
(07)
(s) s’exprime par :
Ainsi, M
(EGC),
f (γ )e
∞
…
f (γ ) … f (γ )e
dγ … dγ (08)
∑ =1|ℎ |
f (γ ) … f (γ )e
0
2
dγ … dγ
⋯
f (γ ) … f (γ )e
dγ … dγ
3. Modélisation de l’Equal Gain Combining
(s) = ∏
M
C’est une technique où chaque signal est multiplié
M
(09)
3
10
par un co-phaseur pour annuler tout déphasage et
γEGC
ainsi, pouvoir combiner les différentes versions du
γl
2
signal.
10
niveau de γ
Pour cette technique, le coefficient de combinaison
est défini par [1]:
=|
Le signal combiné
∗
(03)
|
0
est exprimé par :
∗
=∑
|
ℎ
|
+∑
1
10
10
∗
| |
(04)
-1
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
3.1 SNR du signal combiné à travers l’EGC
Figure 1.01 : Evolution de
Pour la technique EGC, le SNR du signal combiné
suivant le
nombre d’antenne de réception utilisé
est exprimé par [1]:
3.4 Capacité de l’EGC
=
∑
| |
Pour un canal SISO la capacité est définie par [2]:
(05)
=
3.2 Moment génératrice du SNR combiné
(1 + )
(10)
Alors, suivant (05), la capacité d’un canal utilisant
la technique de recombinaison par EGC est
exprimée par :
2
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=
∑
1+
| |
Pour la technique MRC, si on considère
(11)
è
du
branche alors, le SNR du signal combiné
est exprimé par [1] [2] [3] :
3.5 Capacité de coupure de l’EGC
La capacité de coupure de l’EGC est définie par :
_
= (
≤ )
=
∑
| |
≤
=∑
(16)
|ℎ | = γ|ℎ |
(17)
Où,
(12)
Ainsi, suivant (10), on a :
1+
le SNR
4.2 Moment génératrice du SNR combiné
(13)
Suivant (06) et (07), la fonction génératrice des
6
moments est exprimée par :
CEGC
γl
5
∞
∞
Cpacité
4
∞
…
∞
…
f (γ ) … f (γ )e
f (γ ) … f (γ )e
…e
(s) = ∏
M
3
dγ … dγ (18)
dγ … dγ (19)
M (s)
(20)
4
10
γMRC
2
γl
1
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
niveau du γ
0
3
10
L
Figure 1.02 : Capacité du canal suivant la
2
10
technique EGC
1
10
4. Modélisation du Maximal Ratio Combining
C’est une technique où un coefficient de
pondération
0
10
est appliqué sur chaque branche
Si le
(14)
ℎ∗
6
7
8
9
10
suivant le
è
canal est un canal de Rayleigh alors
|ℎ | est exprimé par [4]:
est exprimé alors par :
+∑
5
4.3 Densité de probabilité du SNR
défini par [1]:
ℎ∗ ℎ
4
nombre d’antenne de réception utilisé
est substitué au coefficient de combinaison et
=∑
3
Figure 1.03 : Evolution de
Pour cette technique, le coefficient de pondération
Le signal combiné
2
L
avant que tous les signaux ne soient combinés.
= ℎ∗
1
|ℎ | =
(15)
Où, ℛ ℎ
4.1 SNR du signal combiné
et ℐ
ℛ ℎ
ℎ
+ ℐ
ℎ
suivent une loi
De ce fait, |ℎ | = ℛ ℎ
+ℐ
ℎ
loi de chi-deux de degré 2 exprimée par :
3
(21)
(0,1).
suit une
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1
f (x) =
=∑
( ⁄ )
( ⁄ )
x
où k= 2 (22)
L=
L=
L=
L=
L=
L=
L=
L=
L=
0.9
|ℎ | suit alors, une loi de khi-deux de
0.8
0.7
degré2 dont la densité de probabilité du SNR est
MRC
0.6
Pout
γ
exprimée par :
f (A) =
0.4
A
)!
(
0.3
Suivant (17), le SNR total est exprimé par :
∑
=
0.5
0.2
0.1
|ℎ |
0
0
5
10
15
20
25
30
γ th
donc A =
Or A =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figure 1.04 : Probabilité de coupure – canal de
(
)
1
=
(
γ
=
1
γ
(
γ
γ
)
)
=1
Rayleigh suivant la technique MRC
(23)
4.5 Capacité du MRC
Ainsi, pour la technique MRC, via un canal de
Sachant (10), la capacité d’un canal utilisant la
Rayleigh, la densité de probabilité du SNR du
technique de recombinaison par MRC est exprimée
signal combiné est définie par :
(
f
)=
(
)!
par :
(24)
=
∑
1+
|ℎ |
(26)
4.4 Probabilité de coupure du SNR
Capacité MRC
≤γ )
= P(
On a P
4.5
CMRC
4
Or pour un canal de Rayleigh, suivant (24), on a :
=
3
)!
Cpacité
(
Ainsi, pour la technique MRC via un canal de
Rayleigh, la probabilité de coupure est exprimée
2.5
2
1.5
par :
P
γl
3.5
1
=
(
)!
0.5
(25)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
L
Figure 1.05 : Capacité du canal suivant la
technique MRC
4
10
MADA-ETI, ISSN 2220-0673, Vol.2, 2013, www.madarevues.gov.mg
L=
L=
L=
L=
L=
L=
L=
L=
L=
0.9
0.8
P[CMRCRayleigh<R]
0.7
0.6
0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
è
branche alors, le SNR du signal obtenu
après la technique du SC est exprimé par [1] [5]:
( ,
=
,….. )
(28)
5.2 Moment génératrice du SNR combiné
0.4
0.3
Pour la technique SC, la fonction génératrice des
0.2
moments est exprimée par :
0.1
0
le SNR du
Pour la technique SC, si on considère
1
0
1
2
3
4
5
R
6
7
8
9
M
10
Figure 1.06 : Capacité de coupure – canal de
(s) = M
(s)
(29)
5.3 Densité de probabilité du SNR
Rayleigh suivant la technique MRC
Indépendamment du site de transmission, la
5. Modélisation du Selection Combining
densité de probabilité du SNR combiné à travers la
C’est une technique qui consiste à choisir le signal
technique SC par [5]:
ayant la puissance maximale ou le meilleur rapport
signal
sur
bruit
parmi
tous
les
signaux
−1
(γ) = L F (γ)
γ
(30)
indépendants qui arrivent aux récepteurs [1] [3].
Pour cette technique, le coefficient de combinaison
Pour un canal de Rayleigh, la densité de
est défini par [1] :
probabilité et la fonction de répartition du
=
1 ↔ |ℎ | ≥ |ℎ |; ∀ ≠
0 ↔ |ℎ | < |ℎ |; ∀ ≠
SNR
sont respectivement exprimées par [2] :
(27)
γ
F (γ) = 1 −
|ℎ |
γ (γ)
(31)
=
(32)
Ainsi, suivant (30), la densité de probabilité du
SNR combiné via la technique SC à travers un
canal de Rayleigh est exprimée par :
(γ) =
t
Figure 1.07 : Choix du canal de transmission
γ
γ
γ
γ
1−
(33)
5.4 Probabilité de coupure
suivant la technique SC
En
supposant
que
tous
les
branches
sont
indépendantes et identiquement distribuées, la
5.1 SNR du signal combiné
probabilité de coupure du SNR combiné à travers
la technique SC par [5] :
5
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P
= F (γ )
Figure 1.09 : Capacité du canal suivant la
(34)
technique SC
Ainsi, suivant (31) et (34), à travers le canal de
Rayleigh on obtient :
P
5. Modélisation du Switch and Stay Combining
= 1−
C’est une technique qui consiste à choisir le signal
(35)
ayant un rapport signal sur bruit supérieur à une
valeur seuil parmi tous les signaux indépendants
1
L=1
L=2
L=3
Pout canal de Rayleigh
0.9
arrivant aux récepteurs. Dès que le rapport signal
0.8
sur bruit du dernier signal sélectionné devient
0.7
inférieur au seuil, alors il y a commutation sur une
0.6
autre branche [1] [3] [5]. Ainsi, pour cette
technique, le coefficient de combinaison est défini
0.5
par [1] :
0.4
=
0.3
0.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 ↔ |ℎ | ≥
0 ↔ |ℎ | <
;∀ ≠
;∀ ≠
(37)
Le choix de la branche à utiliser parmi deux
γTh
Figure 1.08 : Probabilité de coupure – canal de
branches est illustré par la Figure 1.11 suivante.
Rayleigh suivant la technique SC
Canal 1
Canal 2
Canal choisi
|ℎ |
5.4 Capacité du SC
Sachant (10), la capacité d’un canal utilisant la
technique de recombinaison SC est exprimée par :
(1 +
=
)
Seuil
(36)
Capacité SC
1.8
t
CSC
1.6
Figure 1.10 : Choix du canal de transmission
γl
1.4
suivant la technique SSC
Cpacité
1.2
5.1 Fonction de répartition du signal combiné
1
0.8
Rappelons tout d’abord que la fonction de
0.6
répartition de
0.4
( )=
0.2
0
s’exprime par :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Or,
10
L
est choisit parmi
avec le seuil
≤ )
et
qui sont comparés
(38)
. De ce fait, il y a deux cas possible
suivant le fait que
6
(
<
ou
≥
.
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1er cas :
(
<
<
Puisque on a
;
relation :
≤
alors
<
et
vérifient la
prend la valeur de
≤
puisque on a
alors il faut que
2ème cas :
≤ )=
≤ . De
(
≥
alors
≤
≤
(
≤
alors pour tout
≤ )=
(
≤
≤ )
)
(
( ⁄ )
1−
(40)
est exprimée
( )−
(
)
( ⁄ )
1−
(47)
( )=
(
+
⁄ )
⁄ )
)=−
(
+
( ⁄ )
(
+
)⁄
(48)
⁄ )
(49)
Suivant (42) (48) et (49), la fonction de répartition
≤
alors
prend la valeur de
≤
Or puisque on a
alors il faut que
de
.
à travers un canal de Rayleigh, est ainsi
exprimée par :
≤ .
( )=
De ce fait on a la relation exprimé par :
≤ )=
(
≤ ) (41)
≤
( ⁄ )
1−
1−2
Pour la technique SSC, la fonction de répartition
du SNR
(
( )= 1−
on a
≤
(
(46)
Ainsi, on a :
≤
(
≥
( ⁄ )
( )=1−
≤
=
Puisque
<
( ) ;
par :
≤
Puisque on a :
•
(
( ) ;
)+ ( )
Pour un canal de Rayleigh, rappelons que suivant
vérifie les relations
ou
(45)
est ainsi exprimée
(31), la fonction de répartition de
≤
suivantes :
)
( )−
≤ ) (39)
≤
)
( )=
. Or
≥
Puisque on a
•
(
(
par :
ce fait on a la relation exprimé par :
(
( )−
La fonction de répartition de
. D’autre part, puisque
alors
≤ )=
≤
+
(
( ⁄ )
⁄ )
+
(
+
(
)⁄
)⁄
;
;
≥
(50)
est ainsi exprimée par :
(
)
≤
≤
(
( )=
(
≤
<
( ≤ ) ; <
≤ )
; ≥
≤ )
5.2 Densité de probabilité du SNR du signal
combiné
(42)
Rappelons que, une densité de probabilité est reliée
à une fonction génératrice par la relation suivante :
Puisque
et
sont identiquement distribuées
( )=
( )
alors leur Fonctions de répartitions vérifient la
De ce fait, la densité de probabilité de
relation suivante :
par :
( )=
( )=
( )
(43)
≤ )= (
) ( ) (44)
( )=
De ce fait, on a :
(
≤
)
(
7
( )
’exprime
(51)
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( )
ℎ
( )=
( )−
ℎ
;
+
<
( )
ℎ
A travers une dérivation de la fonction génératrice
ℎ
;
des moments Mγ (s) la valeur moyenne du SNR est
(52)
≥
exprimée par :
ℎ
Pour la technique SSC, la densité de probabilité est
ainsi, exprimée par :
;
ℎ
( ) 1+
<
;
ℎ
ℎ
≥
(53)
γ
ℎ
( )=
1
ℎ
⁄
( ⁄ )
2−
⁄
ℎ
( ⁄ )
;
γ
<
;
ℎ
≥
(54)
ℎ
( )e d
f
(s) =
M
ℎ
∞
( )e d +
f
+∞
+
ℎ
(s) =
( )e s d +
f ( )e d
ℎ
(64)
ℎ
(55)
ℎ
∞
γ+
ℎ
f ( )d
(65)
0.9
canal 1
canal 2
0.8
γSSC
0.6
( )e d
f
=
seuil
0.5
0.4
0.3
(56)
M
(63)
0.7
γ
+∞
∞
γ+
ℎ
f ( )e d
ℎ
1
5.3 Moment génératrice du SNR combiné
(s) =
=
∞
γ+
génératrice des moments est exprimée par :
1−
M
ℎ
Ainsi, pour la technique SSC, la fonction
s’exprime par :
1
=
γ
A travers un canal de Rayleigh, la densité de
probabilité de
(62)
Ainsi,
( )
( )=
( )
γ=
0.2
( )
+∞
e d
ℎ
)e s d
( ) (
0.1
0
(57)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t (s)
M
∞
ℎ
∞
ℎ
M
∞
ℎ
ℎ
ℎ
∞
ℎ
(s) =
( )e d +
( )e d
ℎ
(s) =
( )e d +
ℎ
ℎ
ℎ
∞
f ( )e d +
M
ℎ
(s) =
ℎ
(58)
5.5 Probabilité de coupure
P
(59)
=
(60)
ℎ
M (s) +
∞
ℎ
f ( )e d
(
)
(66)
exprimée par :
P
génératrice des moments est exprimée par :
(s) =
)=
≤
SNR combiné à travers la technique SSC est
Ainsi, pour la technique SSC, la fonction
M
(
Ainsi suivant (42), La probabilité de coupure du
( )e d +
f ( )e d
suivant deux
canaux
( )e d +
f ( )e d
∞
Figure 1.11 : Evolution de
=
(
)
(67)
A travers un canal de Rayleigh, puisque,
(61)
1−
(
⁄ )
8
)=
alors,
P
5.4 SNR moyen
(
= 1−
(
⁄ )
(68)
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4.5
γSSC
5.6 Capacité du SSC
Niveau de γ , L=8
La capacité d’un canal utilisant la technique de
recombinaison SC est exprimée par :
(1 +
=
)
(69)
4
γMRC
3.5
γEGC
γSC
3
seuil =0.4
2.5
2
1.5
1.8
1.6
1
γMRC
0.5
γEGC
1.4
0
γSC
1.2
Niveau de γ , L=2
γSSC
0
5
10
15
t (s)
seuil =0.4
1
20
Figure 1.14 : Evolution de
0.8
25
,
,
30
,
pour L=8
0.6
3
γSSC
0.4
γEGC
0
5
10
15
t (s)
Figure 1.12 : Evolution de
20
25
30
,
,
Capacité, L=8 , seuil =0.4
0
,
pour L=2
3.5
γSSC
γSC
2
1.5
1
0.5
γMRC
3
γEGC
0
γSC
2.5
Niveau de γ , L=4
γMRC
2.5
0.2
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
seuil =0.4
Figure 1.15 : Evolution de la capacité
2
suivant
1.5
,
,
pour L=8
7. Résultats
1
Suivant les figures Figure 1.01 et Figure 1.04, on
0.5
0
0
,
observe que le niveau du SNR évolue rapidement
5
10
15
t (s)
Figure 1.13 : Evolution de
20
,
25
,
30
et proportionnellement en fonction du nombre
d’antenne de réception. Suivant les figures Figure
,
1.12, Figure 1.13 et Figure 1.14, on observe c’est
pour L=4
la technique MRC qui offre le meilleur rapport
signal sur bruit. En suite il y a l’EGC puis la
technique SC. En dernière position, c’est la
9
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technique SSC qui présente le plus faible niveau du
rapport signal sur bruit.
8. Conclusion
On observe que parmi les différentes techniques de
recombinaison, c’est la technique MRC qui est la
plus avantageuse parce qu’elle maximise au mieux
le rapport signal sur bruit. D’autre part on observe
également à travers l’évolution des capacités et des
probabilités de coupures que la qualité de la
transmission s’améliore proportionnellement par
rapport au nombre d’antennes et la technique
utilisée pour la recombinaison.
9. Références
[1]
H. K. Bizaki, «Mimo systems, theory and
applications», InTech, Mar. 2011.
[2]
M. K. Simon, M. Alouini, «Digital
Communication over Fading Channels»,
Wiley, 2000.
[3]
A. Goldsmith, S. A. Jafar, N. Jindal, S.
Vishwanath, «Fundamental Capacity of
MIMO Channels», Nov. 2002.
[4]
M. Terré, «Propagation», Cours, Conservatoire National des Arts et Métiers, 2006.
[5]
H.
Yang,
M.
Alouini,
«Diversity,
Adaptation, and Scheduling in MIMO and
OFDM Systems», Cambridge University
Press, 2011.
[6]
M. Terré, «Propagation», Cours, Conservatoire National des Arts et Métiers, 2006.
10