Transcript MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire

MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.
PC 2 - 28 avril 2014
S. De Marco, L.Gerin
Borel-Cantelli
EXERCICE 1 - Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires géometriques indépendantes de
paramètre p ∈ (0, 1).
1. Rappeler les valeurs de P(X1 = k) et P(X1 ≥ k) pour k ∈ N∗ .
2. Montrer que la suite n’est presque sûrement pas bornée, c-à-d que l’événement
{“la suite Xn n’est pas bornée”} est de probabilité 1.
3. On suppose maintenant que Xn suit la loi géometrique de paramètre pn ∈ (0, 1).
(a) Soit pn = 1 − n1 . Montrer que lim supn→∞ Xn (ω) ≤ 2 sur un événement de probabilité
1.
(b) Soit pn = 1 − n12 . Montrer que limn→∞ Xn (ω) = 1 sur un événement de probabilité 1.
EXERCICE 2 - A un jeu de pile ou face on gagne un euro si pile apparaît et on perd un euro
si face apparaît. On suppose que les tirages successifs forment une suite indépendante et qu’à
chaque tirage la probabilité de voir pile est 0 < p < 1. Soit An l’événement “le montant cumulé
des gains est nul juste après le tirage n”. Trouver une condition sur p pour que P(lim
√ supn An ) = 0,
n
−n
et interpréter ce résultat. On pourra utiliser la formule de Stirling : n! ∼ n e
2πn.
Variables aléatoires discrètes
EXERCICE 3 - Soient E et F des ensembles finis. Montrez qu’il est équivalent de supposer que
X et Y sont deux v.a. indépendantes de lois uniformes sur E et F , ou de supposer que le couple
(X, Y ) est de loi uniforme sur E × F .
EXERCICE 4 - Soient X et Y deux variables définies sur (Ω, A, P ), ne pouvant prendre que
deux valeurs distinctes. Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si E(XY ) =
E(X)E(Y ).
Montrer que ce résultat est faux si X, Y prennent plus de deux valeurs.
EXERCICE 5 - a) Soit X une v.a. à valeurs dans N telle que E(|X|) < ∞. Montrer que
E(X) =
X
P(X ≥ n)
n≥1
b) Vous rentrez en voiture et cherchez une place de parking en faisant le tour du quartier ;
au nième tour, vous avez une chance sur n + 1 de trouver une place. Combien de tours sont
nécessaires, en moyenne, pour vous garer ?
EXERCICE 6 - Soit X1 , X2 des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de para-
mètres respectifs θ1 > 0 et θ2 > 0.
1) Calculer la loi de X1 + X2 .
2) Calculer la loi de X1 sachant X1 + X2 . Reconnaître cette loi.
3) Calculer E(X1 |X1 + X2 ).
EXERCICE 7 - Un vendeur de glaces installé dans la rue voit passer un nombre N de passants
dans la journée. On suppose que la variable aléatoire N suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. On appelle Gi le nombre de glaces achetées par le i-ème passant. On fait l’hypothèse que
les N, G1 , G2 , . . . sont indépendantes et que chaque passant achète une glace avec probabilité p
et aucune glace avec probabilité 1 − p. Quelle est la loi du nombre X de glaces vendues pendant
une journée ?
EXERCICE 8 - Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires i.i.d (indépendantes et identiquement
distribuées) suivant la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ et S = X1 + . . . + Xn leur somme.
Pour s ∈ {0, . . . , n}, donner la loi conditionnelle de X1 sachant S = s et calculer E(X1 |S).
EXERCICE 9 - Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi
de Bernoulli de paramètre p. Pour tout n ≥ 1, on pose T0 = 0 et on définit par récurrence
Tn = inf{k > Tn−1 : Xk = 1} si cet infimum est fini, et Tn = ∞ sinon.
1. Démontrer que les variables aléatoires T1 , T2 − T1 , . . . , Tn − Tn−1 , . . . sont indépendantes
et de même loi.
2. Calculer la loi de T1 et sa fonction génératrice. En déduire la loi de Tn .
Une application : modélisation du problème du collectionneur. Vous collectionnez les jouets
des oeufs Kinder. Il y a k jouets à collectionner. Combien vous faudra-t-il manger, en loi, d’oeufs
pour avoir la collection complète ? Combien cela fait-il d’oeufs en moyenne ? On considerera
les v.a. Tn donnant le nombre d’oeufs nécessaires pour obtenir un nouveau nième jouet et on
montrera que ces v.a. sont géométriques et indépendantes.
EXERCICE 10 -Détruquer une pièce
On dispose d’une pièce truquée qui renvoie "pile" avec une probabilité p et on souhaite s’en servir
pour générer un pile ou face équilibré. J.Von Neumann 1 a imaginé l’algorithme suivant :
pile
DEBUT
Lancer
la pièce
pi l e
Lancer
la pièce
face
Renvoyer
“face”
face
Lancer
la pièce
pile
Renvoyer
“pile”
FIN
FIN
face
On note T la variable aléatoire donnée par le nombre de lancers nécessaires pour que l’algorithme
se termine, et R ∈ {"pile", "face"} le résultat de l’algorithme.
1. Que valent T et R si on obtient comme premiers tirages P P P P F F P P P F F P ?
1. Mathématicien et physicien américano-hongrois (1903-1957).
2. Démontrer que pour tout k ≥ 1,
P(T = 2k) = p2 + (1 − p)2
k−1
2p(1 − p),
en déduire que l’algorithme se termine presque-sûrement : P(T < +∞) = 1.
3. Démontrer que l’algorithme renvoie bien "pile" ou "face" avec même probabilité, c’est-àdire que P(R = "Pile") = 1/2.
1
4. (∗) Soit T le temps auquel se finit l’algorithme, démontrer que E[T ] = 2 + p(1−p)
. Comment
améliorer l’algorithme pour réduire E[T ] ?
EXERCICE 11 - Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de
Bernoulli de paramètre p. On pose Sn = X1 + · · · + Xn . Soit m ∈ N∗ fixé. Soit ν = inf{n ≥ 1 :
Sn = m}. Donner la loi de ν, puis sa fonction génératrice et sa variance.
EXERCICE 12 -
1) Soit X une v.a. à valeurs dans {1, . . . , k} : P(X = j) = pj , 1 ≤ j ≤ k. Soit Z j = 1{X=j} et
s = (s1 , . . . , sk ) ∈ Rk+ . Calculer :
h 1 2
i
Z
Zk
.
E sZ
1 s2 · · · sk
2) Soit X1 , . . . , Xn un n-échantillon
de la loi précédente (c-à-d, n variables indépendantes de
Pn
j
même loi que X), et N = i=1 1{Xi =j} .
h 1 2
i
N · · · sN k , et en déduire que, pour a , . . . , a entiers de somme n :
Calculer E sN
s
1
k
1
2
k
P (N 1 = a1 , . . . , N k = ak ) =
n!
pa1 . . . pakk .
a1 ! . . . ak ! 1
C’est la loi multinomiale de paramètre (p1 , . . . , pk ) et d’ordre n.