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Université de Nice-Sophia Antipolis
Mathématiques
Licence Miage 3
2013–2014
Contrôle continu 18 Avril
Durée : 1 heure 30
Toutes les réponses doivent être justifiées. Le correcteur attachera de l’importance à la qualité de rédaction.
Une feuille A4 autorisée - Calculatrice, téléphone et ordinateur interdits
1 Probabilités discrètes (4 points)
1. Un automobiliste doit dévisser dans le brouillard les boulons d’une roue de sa voiture. Il utilise une
croix dont les quatre extrémités sont des clés de taille différentes indiscernables au toucher.
(a) Il procède au hasard, sans méthode. Calculer la probabilité de faire trois essais pour trouver la
bonne clé. Généraliser à n essais. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d’essais.
Quelle sont son espérance et sa variance ?
k´1
La probabilité pour que le k-ième essai soit le bon est q k´1 p soit ici 34k puisque p “ 41 et
q “ 34 . Il s’agit donc de la loi géométrique de paramètre p “ 14 pour laquelle l’espérance est
q
1
p “ 4 et la variance p2 “ 12.
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(b) Il procède au hasard, en éliminant les extrémités déjà testées. Soit Y la variable aléatoire égale
au nombre d’essais. Quelle est sa loi de probabilité ? Calculer son espérance.
Dans ce cas la variable aléatoire Y peut prendre les valeurs 1, 2, 3 ou 4 , et on a P pY “ 1q “ 14 ,
P pY “ 2q “ 43 13 “ 14 P pY “ 3q “ 34 23 12 “ 14 P pY “ 4q “ 34 23 2“1 1 .
4
On aurait pu trouver le résultat en remarquant que la probabilité que le kième essai soit le bon
revient à choisir une position parmi 4. Il s’agit donc de la loi uniforme sur t1, 2, 3, 4u et dans
2
2
2
`42
ce cas, d’espérance est 1`2`3`4
“ 52 et de variance est 1 `2 `3
´ p 52 q2 “ 54 .
4
4
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2 Tirages (8 points)
1. Une urne contient 8 boules rouges, 4 boules noires et 2 boules vertes. Un joueur effectue dans cette
urne des tirages d’une boule, avec remise de la boule tirée avant de tirer la suivante, jusqu’à ce qu’il
obtienne : Soit une boule rouge, auquel cas il a gagné et le jeu s’arrête. Soit une boule verte, auquel
cas il a perdu et le jeu s’arrête également. On désigne par n un entier naturel non nul. On note An
l’événement : "le joueur est déclaré vainqueur à l’ issues du n-ième tirage"
(a) Calculer P pAn q.
A chaque tirage, le joueur a 8 chances sur 14 de tirer une boule rouge donc de gagner, 2 chances
sur 14 de tirer une boule verte donc de perdre et 4 chances sur 14 de tirer une boule noire et
donc de pour pouvoir continuer la partie. L’évènement An consiste donc en n ´ 1 tirages noirs
4 n´1 8
q
et un tirage rouge, et a donc une probabilité de P pAn q “ p 14
14 .
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1
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
La probabilité que le joueur gagne est donc la somme de P pAn q pour n ě 1soit
ř
ř
8
8
1
4 n´1 8
4 n
4 “ 0.8.
ně1 p 14 q
ně0 p 14 q “ 14 1´ 14
14 “ 14
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(c) Quelle est la probabilité que le joueur perde ?
4 n´1 2
Soit Bn l’événement le joueur perd au nème tirage. On a P pBn q “ p 14
q
14 et probabilité
que le joueur perde est donc la somme de P pBn q pour n ě 1soit
2
1
4 “ 0.2.
14 1´ 14
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(d) Quelle est la probabilité que ce jeu ne s’arrête jamais ?
Le jeu ne s’arrête jamais lorsque l’on tire indéfiniment une boule noire, c’est à dire la limite
4 n
p 14
q quand n tend vers l’infini et donc la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais a une
probabilité nulle.
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(e) On note X la variable aléatoire égal au nombre minimal de tirages nécessaires à l’arrêt du jeu
(Attention, relisez bien l’énoncé ) . Reconnaître la loi de X et donner son espérance.
4 k´1 10
q
Le jeu s’arrête après k tirages avec une probabilité p 14
14 , et donc X suit une loi géomé10
1
trique de paramètre p “ 14 , et donc d’espérance p “ 1.4.
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Le joueur paye un euro le droit d’effectuer un tirage, il gagne a euros en cas de victoire, et paye
33 euros en cas de défaite. On note Y la variable aléatoire qui vaut a en cas de victoire et ´33
en cas de défaite. On appelle G le gain (positif ou négatif) du joueur à la fin du jeu.
i. Exprimer G en fonction de X et de Y .
Si X “ n, cela signifie que le joueur a donné n euros pour participer. Son gain est à la fin
de la partie est donc a ´ n ou ´33 ´ n euros. On a donc G “ Y ´ X
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ii. Calculer EpGq et en déduire la valeur de a pour laquelle ce jeu est équitable.
Y est une loi de Bernouilli à valeurs dans ta, ´33u avec probabilité P pY “ aq “ 0.8 et
P pY “ ´33q “ 0.2. Son espérance et donc EpY q “ 0.8a ´ 6.6. Or, on a vu que EpXq “
1.4. On en déduit que EpGq “ EpY ´Xq “ EpY q´EpXq “ 0.8a´6.6´1.4 “ 0.8a´8.
Si l’on veut que la banque ne fasse pas banqueroute, il vaut mieux prévoir que a ă 10.
Pour que le jeu soit équitable, c’est à dire d’espérance nulle, il faut que a “ 10.
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3 Loi Exponentielle (3 points)
Soit λ ą 0 fixé. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ si X admet pour densité
f pxq “ λe´λx 1xě0 . On note alors X „ Epλq. La durée de vie T en années dune télévision suit une loi de
1
densité f ptq “ 18 e´ 8 t 1tě0 .
1. Quelle est la durée de vie moyenne dune telle télévision ? Et l’écart-type de cette durée de vie ?
L’espérance d’une loi exponentielle de paramètre λ est λ1 et sa variance est λ12 , son écart type λ1 . Ici
la durée de vie moyenne d’une télévision sera donc 8 ans et son écart-type également 8.
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2
2. Calculer la probabilité que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.
La probabilité que la durée de vie d’une télévision soit supérieure à 8 ans est
ż8
1
1 ´1t
´1
e 8 dt “ r´e´ 8 t s8
„ 0.37
8 “e
8 8
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4 Loi continue (6 points)
Un phénomène est décrit par une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
f pxq “
“
x
si 0 ď x ă 10,
k
20 ´ x
si 10 ď x ă 20.
k
1. Déterminer la valeur de la constante k pour que f soit une densité de probabilité.
– Première méthode
ş`8
La fonction f est une densité lorsque ´8 f ptqdt “ 1 soit ici
ş10 t
ş20
dt ` 10 20´t
k dt “ 1.
0 k
On doit donc avoir
2
{2 20
t2 10
r 2k
s0 ` r 20t´t
s10 “ 1, soit k “ 100
k
– Deuxième méthode On peut voir que la courbe représentative non nulle de f est constitué de deux
segments de droites, l’un qui va de p0, 0q à p10, k{10q, l’autre qui va de p10, k{10q à p20, 0q. L’aire
sous la courbe est donc l’aire du rectangle de largeur 10 et de hauteur k{10 qui vaut 1 lorsque
k “ 100.
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2. Tracer cette densité de probabilité.
3. Donner l’expression de sa fonction de répartition F .
On a évidemment F pxq “ 0 lorsque x ď 0.
şx
x2
Lorsque 0 ď x ď 10 F pxq “ 0 t{100dt “ 200
Remarquons que F p10q “ .5
şx 20´t
x2
Lorsque 10 ď x ď 20 F pxq “ .5 ` 10 100 dt “ x5 ´ 200
´1
Et F pxq “ 1 lorsque x ě 20.
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4. Déterminer la probabilité que X prenne une valeur dans l’intervalle r5, 15s.
On a évidemment P p5 ď X ď 15q “ F p15q ´ F p5q “ 78 ´ 81 “ 0.75
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5. Calculer F p10q. Que représente cette probabilité ?
On a F p10q “ .5 ce qui signifie qu’il y a autant de chance que la variable aléatoire soit inférieure à
10 que supérieure à 10, autrement dit, 10 est la valeur médiane.
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3