Transcript énoncé - Mathématiques en ECE 2

ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
DM no 2
DM no 2
Exercice 1
On considère les fonctions ch et sh dénies sur R par :
ch (x) =
ex + e−x
2
et
sh (x) =
ex − e−x
2
ainsi que la fonction f dénie sur R par :
(
x
si x 6= 0
sh (x)
f (0) = 1
f (x) =
On s'intéresse dans cet exercice à la convergence de la suite (un )n∈N dénie par la relation de récurrence :
1. Étude des fonctions
ch, sh,
et
u0 = 1
∀n ∈ N un+1 = f (un )
f.
1. Etudier la parité des fonctions ch et sh.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction sh, puis en déduire le signe de sh (x) pour x appartenant à R.
3. Déterminer un équivalent en +∞ de sh(x).
4. Montrer que la fonction sh réalise une bijection de R dans R.
5. Etudier les variations de la fonction ch.
6. Montrer que :
∀x ∈ R, ch (x) > sh (x)
7. Donner sur un même graphique l'allure des courbes représentatives des fonctions ch et sh.
8. Etudier la parité de la fonction f .
9. Déterminer le développement limité d'ordre 2 en 0 de la fontion sh.
10. En déduire que la fonction f est continue en 0, dérivable en 0 et déterminer f 0 (0).
∗
0
∗
11. Justier que f est dérivable sur R×
+ et sur R− et calculer f (x) pour x ∈ R .
12. On pose :
∀x ∈ R+ , h (x) = shx − xch (x)
Etudier les variations de h, puis en déduire le signe de h (x).
13. Déterminer les variations de f sur R+ et donner l'allure de la courbe représentative de la fonction
f . (On ne cherchera pas les points d'inexion).
2. Etude de la suite
On donne :
(un )n∈N .
f (0.8) '
0.9, f (1) ' 0.85,
sh(0.6) '
0.64, sh(0.8) ' 0.89, sh(1) ' 1.18, sh(1.2) ' 1.51
1
ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
DM no 2
1. Justier que f ([0.8, 1]) ⊂ [0.8, 1], puis que :
∀n ∈ N, un ∈ [0.8, 1]
2. Montrer que l'équation f (x) = x admet une unique solution α sur R (on pourra utiliser la question
1.4, sans cherche à déterminer α).
3. Donner um encadrement de α et justier que :
∀x ∈ [0.8, 1] ,
4. On donne :
h (1)
h (0.8)
6 f 0 (x) 6 2
2
sh (0.8)
sh (1)
h (1)
h (0.8)
' −0.47 et 2
' −0.13
sh2 (0.8)
sh (1)
Montrer que :
∀n ∈ N, |un+1 − α| 6 0.5 |un − α|
Puis que :
∀n ∈ N, |un − α| 6 0.2 (0.5)
n
5. En déduire la limite de la suite (un ) quand n tend vers +∞.
6. Ecrire une procédure scilab permettant de calculer et d'acher u10 .
Exercice 2
On note M3 (R) l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre trois et on considère les matrices suivantes
de M3 (R) :




1 0 0

0 1 0 
I=
0 0 1
I.
1 1 1

1 0 0 
A=
1 0 0
Première partie
1. Calculer A2 et A3 , puis vérier : A3 = A2 + 2A.
2. Montrer que la famille A, A2 est libre dans M3 (R).
3. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique (an , bn ) de nombres
réels tel que : An = an A + bn A2 , et exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn .
4. Écrire une procédure scilab qui calcule et ache an et bn pour un entier n donné supérieur ou égal
à 1.
5. (a) Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
an+2 = an+1 + 2an
(b) En déduire an et bn en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
(c) Donner l'expression de An en fonction de A, A2 et n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
II.
Seconde partie
On note f l'endomorphisme de R3 dont la matrice relativement à la base canonique (e1 , e2 , e3 ) de R3 est
A.
1. Déterminer une base de Im (f ) et donner la dimension de Im (f ).
2. Déterminer les valeurs de λ réelles telles que A − λI n'est pas inversible.
3. Pour chacune des valeurs obtenues, donner une base de Ker(A − λI).
4. Déterminer une matrice D diagonale et une matrice P telles que :
2
ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
DM no 2
• Les termes diagonaux de D sont les solutions de la question 3, et sont dans l'ordre croissant.
• Chaque colonne de P contient une base de Ker(A − λI), pour λ la valeur diagonale de D située
.
• La troisième ligne de P est formée de termes tous égaux à 1.
dans la même colonne
5. Démontrer que P est inversible et déterminer P −1 , puis vérier que A = P DP −1 .
6. Déterminer l'ensemble des matrices M de M3 (R) telles que :
AM + M A = 0
Exercice 3
On admet dans cet exercice que le théorème de transfert pour l'espérance et la formule de Koenig-Huyghens
(identique donc non rappelée ici) pour la variance sont encore vraies pour une variable à densité.
Pour toute variable X de densité fX et toute fonction φ, φ(X) admet une espérance si et seulement si
l'intégrale suivante converge absolument :
Z
+∞
φ(t)fX (t) dt
E(φ(X)) =
−∞
Dans cet exercice, a désigne un réel strictement positif.
1. On considère la fonction f sur R par : f (t) =
(a) Pour tout x de [0, 1[ , calculer
Rx
a (1 − t)
0
a−1
si t ∈ [0, 1[
si t ∈
/ [0, 1[
f (t) dt.
0
(b) En déduire que
R1
f (t) dt est une intégrale convergente et donner sa valeur.
0
(c) Montrer que f peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
On considère maintenant une variable aléatoire X admettant f comme densité et on note F sa
fonction de répartition.
2. Expliciter F (x) pour tout réel x.
On se propose de déterminer l'espérance E (X) et la variance V (X) de la variable aléatoire X . Pour
ce faire, on pose Y = − ln (1 − X) et on admet que Y est une variable aléatoire à densité. On note
alors G sa fonction de répartition.
3. (a) Pour tout réel x positif, exprimer G (x) en fonction de x.
(b) En déduire que Y suit la loi exponentielle de paramètre a.
4. (a) Pour tout réel λ > 0, donner la valeur de 0 e−λ x dx.
(b) En déduire que la variable aléatoire e−Y possède une espérance et donner sa valeur en fonction
de a.
(c) Exprimer X en fonction de Y , puis en déduire que X possède une espérance dont on donnera
l'expression en fonction de a.
R +∞
(d) Montrer que la variable aléatoire e−2Y possède une espérance et que E e−2Y =
En déduire la variance de e−Y puis la variance de X .
a
.
a+2
3