Série :

Primitives

Niveau

:

4

ème

Maths

Proposée par :

Boukadida Tahar

Exercice 1 :

La courbe C F suivante, est la courbe représentative d’une primitive F d’une fonction f sur IR . Une des trois courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f . Déterminer laquelle.

Exercice 2 :

Soit la fonction F définie sur −∞ , 1 par : F(x) = x 1 − x 1) Montrer F est dérivable sur −∞ , 1 et étudier la dérivabilité de F à gauche en 1. 2) Calculer F’(x) pour tout réel x de −∞ , 1 3) En déduire les primitives de la fonction g définie sur −∞ , 1 par : g(x) = − x 1−x

Exercice 3 :

Soit f la fonction définie sur 1) 1 2 ; + ∞ par f(x) = 2x 2 −4x 2x 2 +x−1 2 Montrer que la fonction G définie sur 1 2 ; + ∞ par G(x)= 2x 2 2x 2 +x−1 est une primitive de la fonction f . 2) a)Déterminer la primitive F de f sur 1 2 ; + ∞ telle que F(1)=0 b) Étudier les limites de F aux bornes de 1 2 ; + ∞ . Interpréter graphiquement les résultats. c) Étudier les variations de la fonction F. d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction F au point d’abscisse 1.

Exercice 4 :



Les questions sont indépendantes

1)

a) Déterminer trois réels a, b et c tels que : x 2 b) = a x − 1 2 + b x − 1 + c En déduire les primitive de f sur IR tel que f(x) = x 2 x − 1 2012

2)

a)Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur IR par g(x) = x sin x b) En déduire une primitive de la fonction g définie sur IR par g(x) = x cos x

3)

Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = acos x + b cos 3 x où a et b sont deux réels. a) Calculer f ’(x) et f ’’(x). b) Comparer f(x) et f ’’(x) et déduire les primitives de f sur IR.

4)

Soit la fonction f définie sur −∞ , 2 par : f(x)

=

x 2 −4x x−2 2 a) Déterminer deux réel a et b tels que : pour tout réel x de −∞ , 2 on a : f(x)

= a +

b x−2 2 b) Déduire la primitive de f sur −∞ , 2 qui s’annule en x=1

Exercice 5 :

1) Soit la fonction g définie sur  , 2 2  par g (x)  Déterminer les primitives de g sur  , 2 2  .  3 2) a) Soit f : x  x  2x . Déterminer b) Vérifier que pour tout réel x 

D f

, f

D f

(x) .  2x²  c) Montrer que f admet des primitives sur ]  ,  1 [ . d) Déterminer la primitive F de f sur ]  ,  1 [ telle que F(-2) = 2 3

Exercice 6 :

 1) Montrer que la fonction f définie sur IR par f(x)

=

1 1+x 2 admet des primitives sur IR. 2) Soit F la primitive de f sur IR vérifiant F(0)=0. a) Vérifier que F est strictement croissante sur IR et que le point O(0,0) est un point d’inflexion de la courbe représentative de F dans un repère orthonormé O , i , j b) Montrer que F est impaire. (

On pourra considérer la fonction H(x)

=

F(

−

x)+F(x)

) c) d) Montrer qu’il existe une constante c tell que pour tout x ∈ 0 , +∞ , on a : F(x) + F 1 x =c En déduire que

x

lim  F(x) = 𝑐 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. 3) On pose la fonction g définie sur − π 2 , a) b) π 2 par g(x) = F( tan x) Montrer que g est dérivable sur − π 2 , π 2 En déduire que, pour tout réel x de − π 2 , et calculer g ’(x). π 2 , on a : g(x) = x . 4) c) Calculer alors F(1) , F( 3 ) et F 3 3 a) Montrer que c = π 2 et dresser le tableau de variation de F sur 0 , +∞ b) Déterminer une équation de (T) la tangente à C F au point O puis tracer C F dans O , i , j . 5) a Montrer F réalise une bijection de IR sur un intervalle I que l’on précisera. b) Tracer dans le même repère O , i , j la courbe représentative de F −1 .

Exercice 7:

 Soit f la fonction définie sur 0 , +∞ par f(x) 1)

=

x 2 +1 x 2 +x+1 et Cf sa courbe dans un repère orthonormé a) Etudier et tracer Cf. b) En déduire que pour tout réel t de 0 , +∞ , on a : 2 3 ≤ f(t) ≤ 1 2) Vérifier que f admet des primitives sur 0 , +∞ . 3) Soit F la primitive de f sur 0 , +∞ qui s’annule en 0. a) Montrer que pour tout réel x de 0 , +∞ , on a : 2 3 x ≤ F(x) ≤ x . b) En déduire la limite de F en + ∞ et dresser le tableau de variation de F . 4) a) Montrer F réalise une bijection de 0 , +∞ sur un intervalle I que l’on précisera. b) Calculer (F − 1 )’ d (0) et déterminer une équation de la demi tangente à C F − 1 en 0. c) Montrer que pour tout n ∈ IN, il existe un unique réel x n tel que F( x n )= n. d) Etudier les variations de la suite ( x n ) et déterminer sa limite.