Lycée Louis-Le-Grand,

Paris

MPSI 4

– Mathématiques

A. Troesch Devoir Surveillé 2 – Sommes, réels, complexes

Samedi 18/10/2014 La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la concision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.

L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints et rangés .

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre Exercice – (Exercice technique) 1. Calculer, pour tout n ∈ N ∗ , n X n X i j .

i =1 j = i 2. Calculer, pour tout n ∈ N ∗ , n X n X n X i jk .

i =1 j = i k = j 3. Montrer plus généralement que pour tout n ∈ N ∗ , et tout k ∈ N ∗ , X 1 6 i 1 6 ··· 6 i k 6 n i 1 i 2 · · · i k = n ( n + 2 k 2 k − 1) .

Exercice – (Premier pas vers la transcendance de Nous montrons dans cet exercice que e e ) est irrationnel, puis nous montrons qu’il ne peut pas être racine d’un polynôme du second degré à coefficients rationnels. On admettra dans l’ensemble de cette exercice que pour tout x ∈ R , e x = + ∞ X n =0 x n n !

, cette série étant convergente pour toute valeur de x dans R .

1.

Irrationnalité de e .

(a) Montrer que pour tout q ∈ N ∗ , + ∞ X 1 n = q +1 n !

6 ( q e + 1)!

.

(b) Supposons que supposer que q e = + 1 > p q , où p et q sont entiers. Quitte à prendre une fraction non irréductible, on peut e . Montrer que : q X 1 n =0 n !

< p q < q X 1 n =0 n !

+ 1 q !

.

(c) En multipliant par q !

, trouver une contradiction et conclure.

2.

Indépendance sur Q de 1 , e et e 2 Le but de cette question est de montrer qu’il n’existe pas de rationnels 0 . Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant leur existence.

p , q et r non tous nuls tels que p + q e+ r e 2 = (a) Montrer qu’il existe alors des entiers a , b et c non tous nuls tels que c = ae + b e − 1 , et que nécessairement, a et b sont non nuls.

1

(b) Montrer que pour tout n ∈ N , il existe un réel d n tel que : c = a n X 1 k =0 k !

+ b n X ( − 1) k k !

k =0 + d n , où | d n | 6 ( | a | + | b | )e ( n + 1)!

.

(c) Montrer que n !

d n → 0 , et en déduire que pour tout n assez grand, c = a n X 1 k =0 k !

+ b n X ( − 1) k k !

k =0 (d) En déduire que pour tout n assez grand, a · 1 n !

= b · ( − 1) n +1 n !

.

(e) Conclure.

Problème – (Racines primitives et polynômes cyclotomiques) Le but de ce problème est d’introduire la notion de racine primitive, et de polynôme cyclotomique. Nous en voyons quelques propriétés élémentaires, en terminant par une application au calcul d’un produit de sinus et d’un produit de cosinus. Ce problème n’est qu’un point de vue très étroit sur le monde très riche des polynômes cyclotomiques, et n’est à voir que comme une introduction.

Partie I – Racines primitives de l’unité Soit n ∈ N ∗ , on note ξ n la racine n -ième de 1 de plus petit argument strictement positif, c’est-à-dire : ξ n = e 2 i π n .

On notera comme il en est l’usage j = ξ 3 .

On appelle racine n -ième primitive de 1 un élément ω ∈ U n tel ω k = 1 pour tout k ∈ [[1 , n − 1]] . On note P n des racines n -ièmes primitives de Étant donnés deux entiers alors il existe des entiers u n et et v 1 m , on notera n ∧ m tels que d = un + le pgcd de vm m et n . On rappelle le théorème de Bézout : si , la réciproque étant également vraie lorsque d = 1 .

l’ensemble d = n ∧ m , On note d’Euler.

ϕ ( n ) le nombre d’entiers k de [[1 , n ]] premiers avec n , c’est-à-dire tels que k ∧ n = 1 . Il s’agit de l’indicatrice 1. Soit n ∈ N ∗ . Montrer que ξ n est racine n -ième primitive de 1 . Pouvez-vous en donner une autre lorsque n > 2 ?

2. Soit ω ∈ U n .

(a) Montrer que ω ∈ P n si et seulement si { ω k , k ∈ [[1 , n ]] } = U n .

(b) Montrer que ω ∈ P n si et seulement s’il existe un entier ℓ ∈ N tel que ω ℓ = ξ n (c) En déduire que ω ∈ P n de P n ?

si et seulement s’il existe k ∈ [[1 , n ]] tel que ω = ξ k n et k ∧ n = 1 . Quel est le cardinal 3. (a) Décrire en fonction de j l’ensemble P 6 (b) Décrire l’ensemble P p lorsque p est un nombre premier.

(c) Décrire l’ensemble P n lorsque n est une puissance de 2 .

4. Soit ω ∈ U n , et k ∈ [[1 , n ]] tel que ω = ξ k n (a) Soit d un diviseur de (b) En déduire que U n n . Montrer que ω ∈ P n d si et seulement si k ∧ n = d .

= G P n d , l’union étant prise sur l’ensemble des diviseurs de d | n n , et l’union étant disjointe.

2

(c) En déduire que ϕ ( n ) = X ϕ ( d ) .

d | n 5. Montrer que pour n > 2 , ϕ ( n ) est pair.

6. On note, pour tout n ∈ N ∗ , S n = X k (a) Justifier que pour tout n ∈ k ∈ [[1 ,n ]] k ∧ n =1 N ∗ , on a : n X k = k =1 X dS n d .

d | n (b) En raisonnant par récurrence, en déduire que S 1 = 1 2 ϕ (1) + 1 2 , et que pour tout n > 1 , S n = 1 2 nϕ ( n ) .

Partie II – Polynômes cyclotomiques Soit n ∈ N . On note Φ n le polynôme : Φ n ( X ) = Y ( X − ω ) = ω ∈ P n Y k ∈ [[0 ,n − 1]] tq k ∧ n =1 ( X − ξ k n ) 1. Quel est le degré de Φ n ?

2. (a) Déterminer Φ 3 , Φ 6 .

(b) Déterminer Φ p lorsque p est premier (c) Déterminer Φ n lorsque n est une puissance de 2 .

3. Soit q un entier impair différent de 1 .

(a) Montrer que ω ∈ P 2 q si et seulement si − ω ∈ P q .

(b) En déduire que Φ 2 q ( X ) = Φ q ( − X ) .

Partie III – Calcul de Φ n (1) 1. Soit p un nombre premier et k > 1 . Montrer que Φ p k = X p k X p k − 1 − 1 − 1 .

2. Montrer que si p est un nombre premier, pour tout k > 1 , Φ p k (1) = p 3. (a) Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : Y Φ d ( X ) = X n − 1 .

d | n (b) Soit P et Q deux polynômes à coefficients entiers. On suppose de plus que le coefficient dominant de Q est égal à 1 . Montrer que s’il existe R tel que P = QR , alors R est à coefficients entiers (on pourra raisonner par l’absurde) (c) Montrer que Φ n est à coefficients entiers 4. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , Y Φ d (1) = n .

d | n d =1 5. En considérant la décomposition primaire de n , en déduire que si n n’est pas une puissance d’exposant strictement positif d’un nombre premier p , alors Φ n (1) = 1 .

Partie IV – Un produit de sinus Avec les résultats des parties précédentes, montrer les deux égalités suivantes : 3

1. Pour tout entier n > 2 différent d’une puissance d’un nombre premier : Y k ∈ [[1 ,n ]] k ∧ n =1 sin kπ n = 2 ϕ 1 ( n ) .

2. Pour tout n entier positif impair différent de 1 , Y k ∈ [[1 ,n ]] k ∧ n =1 cos kπ n = ( − 1) ϕ ( 2 n ) 2 ϕ ( n ) .

4