Transcript DS 6 : le 15/02/14

PSI* — 2013/2014
Le 15/02/2014.
D.S. 6 (4 heures)
Problème A : équation et fonction de Bessel
Dans ce problème, N désigne un élément de Z et l’on étudie l’équation différentielle dite “de Bessel” :
x2 y ′′ + xy ′ + x2 − N 2 y = 0
(BN )
Partie I
1 π
cos (Nθ − x sin θ) dθ.
π 0
1) Comparer, pour tout réel x, J−N (x) et JN (−x). Déterminer JN (−x) en fonction de JN (x).
Soit JN l’application de R dans R définie par : JN (x) =
′ (x) et J ′′ (x).
2) Montrer que JN est de classe C ∞ sur R. Donner les expressions de JN
N
3) En utilisant les dérivées des fonctions θ → sin (Nθ − x sin θ) et θ → N + x cos θ, montrer que JN est
solution de (BN ) sur R.
4) Calculer J0 (0), J0′ (0), J0′′ (0).
5) a) Montrer que, pour tout x réel non nul et pour tout N dans Z,
2N
JN −1 (x) + JN+1 (x) =
JN (x) .
x
′ (x) et J
b) Donner, pour x ∈ R et N ∈ Z, une relation entre JN
N−1 (x) − JN+1 (x).
c) Montrer que, pour tout x ∈ R, J1 (x) + J0′ (x) = 0.
Partie II — Développement en série entière de JN
1) Développer J0 en série entière. En donner le terme général et le rayon de convergence.
2) a) Montrer que, pour tout N ∈ N∗ , JN est également développable en série entière et en donner le
rayon de convergence.
b) Montrer que le terme général de cette série entière peut se mettre sous la forme αN (k) .xN+2k , où
k ∈ N. Préciser αN (k).
Problème B : algorithme de Le Verrier
1) Formules de Newton : soit P = X p + a1 X p−1 + · · · + ap un polynôme unitaire de C [X], (λ1 , . . . , λp ) un
p
système de racines de P : P =
(X − λk ) (les λk ne sont pas nécessairement distincts deux à deux).
k=1
On note Λ = λk , k ∈ [[1, p]]
l’ensemble des racines de P et l’on pose :
p
λnk
∀n ∈ N Sn =
a) Établir : ∀t ∈ R\Λ
P ′ (t)
=
P (t)
p
k=1
1
.
t − λk
(S0 = p) .
k=1
b) Développer en série entière en 0 la fonction f : x →
P ′ (1/x)
.
P (1/x)
c) En déduire les formules de Newton :
∀n > p Sn + a1 Sn−1 + · · · + ap Sn−p = 0
∀n ≤ p Sn + a1 Sn−1 + · · · + an−1 S1 + nan = 0
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2) Algorithme de Le Verrier : soit A ∈ Mp (C), χA son polynôme caractéristique. On note :
p−1
p
p
(−1) χA = X + a1 X
p−1
p
p
i
+ · · · + ap = X +
ap−i X =
i=0
(X − λk )
k=1
et l’on définit la famille de matrices (Ak )1≤k≤p en posant :
A1 = A et ∀k ∈ [[1, p − 1]]
Ak+1 = A × Ak −
1
Tr Ak · Ip
k
où Ip désigne la matrice identité de Mp (C).
On rappelle que A est trigonalisable et que, par conséquent, avec les notations du 1) :
∀n ∈ N Sn = Tr An .
Montrer, par récurrence sur k, que
k−1
∀k ∈ [[1, p]]
Ak = Ak +
ak−i Ai
i=1
1
et ak = − · Tr Ak .
k
(On obtient ainsi un algorithme efficace pour calculer les coefficients de χA .)
Problème C
L’objet de ce problème est l’étude des suites de polynômes à coefficients réels (Pn )n≥0 satisfaisant aux
3 conditions (C) suivantes :
(C)
(1)
(2)
P0 (x) = 1
P1 n’est pas le polynôme nul
(3)
∀n ∈ N ∀ (x, y) ∈ R2
n
Pn (x + y) =
Pk (x) Pn−k (y)
k=0
On ne distingue pas un polynôme et la fonction polynôme associée.
Partie I
Dans cette partie, après quelques exemples de suites (Pn )n≥0 vérifiant (C), on en donne une construction
générale.
xn
1) a) La suite (Pn )n≥0 est définie par : P0 (x) = 1 ; Pn (x) =
pour n ≥ 1.
n!
Montrer que cette suite vérifie (C).
1
b) La suite (Pn )n≥0 est définie par : P0 (x) = 1 ; Pn (x) = x (x + n)n−1 pour n ≥ 1.
n!
′
Vérifier, pour n ≥ 1, la relation : Pn (x) = Pn−1 (x + 1). En déduire que cette suite (Pn )n≥0 vérifie (C).
2) (Pn )n≥0 désigne maintenant une suite quelconque vérifiant (C).
a) Montrer que, pour tout n ≥ 1, on a Pn (0) = 0.
b) Montrer que P1 est de degré 1.
c) On pose P1 (x) = a1 x. Montrer que Pn est de degré n et expliciter son terme de degré n en fonction
de a1 .
d) Pour tout n ≥ 1, on pose an = Pn′ (0). Établir, pour tout n ≥ 1, la relation
n−1
Pn′ (x)
=
an−k Pk (x) .
k=0
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3) Réciproquement, on se donne une suite réelle (an )n≥1 , avec a1 = 0.
a) Montrer qu’il existe une suite et une seule (Pn )n≥0 vérifiant les 3 conditions (C ′ ) suivantes :
C′
(1)
(2)
P0 (x) = 1
Pn (0) = 0 pour n ≥ 1
(3)
Pn′ (x) =
n−1
an−k Pk (x)
pour n ≥ 1
k=0
t2
b) Soit : un (t) = a1 t + a2 + . . . + an
et vn (x, t) = exun (t) .
Montrer qu’il existe une suite de polynômes (πn )n≥0 tels que, pour tout entier n donné,
tn
n
πk (x) tk + tn εn (x, t) ,
vn (x, t) =
k=0
où, pour x fixé, εn (x, t) tend vers 0 quand t tend vers 0.
Montrer que la suite (πn )n≥0 vérifie (C) et (C ′ ).
En déduire que πn = Pn pour tout n et que (C) et (C ′ ) sont équivalentes.
Partie II
Dans cette partie, sauf en II.3), on considère une suite de polynômes vérifiant les conditions équivalentes
+∞
(C) et (C ′ ) et possédant la propriété suivante : la série entière
an tn , où (an )n≥1 est la suite définie
n=1
en I par an = Pn′ (0), a un rayon de convergence R non nul (éventuellement infini).
+∞
On se propose d’étudier
Pn (x) tn . Pour |t| < R, on pose
n=0
+∞
+∞
an tn
f (t) =
|an | (|t|)n
et f (t) =
n=1
n=1
1) a) Établir, pour x réel, |t| < R et n ≥ 0, les majorations suivantes :
tn Pn′ (x) ≤ f (t) e|x|f (t)
|tn Pn (x)| ≤ e|x|f (t)
et
On pourra raisonner par récurrence et utiliser les conditions (C ′ ).
b) En déduire que, pour tout x réel fixé, les séries entières en t
+∞
+∞
Pn (x) tn
Pn′ (x) tn
et
n=0
n=0
ont un rayon de convergence au moins égal à R.
2) On suppose, dans cette question, t fixé dans ]−R, R[ et x variable.
+∞
Pn′ (x) tn de la variable x est normale sur
a) Montrer que la convergence de la série de fonctions
n=0
tout intervalle fermé [−M, M] de R.
(On pourra considérer par exemple rn · |Pn′ (x)| ·
t n
, r étant convenablement choisi.)
r
+∞
b) On pose St (x) =
Pn (x) tn . Montrer que St est une fonction de x dérivable sur R et déterminer
n=0
une relation entre la dérivée St′ (x) de cette fonction de x, St (x) et f (t).
c) En déduire :
+∞
Pn (x) tn = exf (t) .
St (x) =
n=0
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+∞
3) Réciproquement, on se donne une série entière
an tn , avec a1 = 0, de rayon de convergence non nul
n=1
R, de somme f (t).
Montrer que la fonction de t, t → exf (t) , définie pour |t| < R, est, pour tout réel x fixé, développable
en série entière sous la forme
+∞
Pn (x) tn ,
n=0
où la suite de polynômes (Pn )n≥0 vérifie (C).
4) Déterminer f (t) et R dans les cas suivants :
xn
a) P0 (x) = 1 ; Pn (x) =
pour n ≥ 1.
n!
b) P0 (x) = 1 ; P1 (x) = x ; pour n ≥ 2, Pn′ (x) = Pn−2 (x) + Pn−1 (x) et Pn (0) = 0.
′
c) P0 (x) = 1 ; pour n ≥ 1, Pn′ (x) = Pn−1 (x) − Pn−1
(x) et Pn (0) = 0.
Partie III
Dans cette partie, on reprend la suite (Pn )n≥0 du I-1).b).
On lui associe la suite (an )n≥1 telle que an = Pn′ (0).
On rappelle la relation Pn′ (x) = Pn−1 (x + 1) pour n ≥ 1.
+∞
1) a) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
an tn .
n=1
+∞
an tn .
Soit, pour |t| < R, f (t) =
n=1
+∞
Pn′ (x) tn de deux façons différentes, en fonction de x et de f (t), montrer que l’on a,
b) Exprimant
n=0
pour |t| < R,
tef (t) = f (t) .
2) a) Étudier les variations de la fonction de la variable réelle u définie par u → ue−u .
b) En déduire que f est la fonction réciproque d’une fonction simple ϕ.
c) Étudier les variations de f et ϕ et construire leurs courbes représentatives.
d) Calculer la borne inférieure m de f à 10−3 près.
Fin de l’énoncé.