Transcript Lycée Buffon MPSI 2013-14 Exercices sur les polynômes et les

Lycée Buffon
MPSI 2013-14
Exercices sur les polynômes et les fractions rationnelles
Exercice 1 Montrer que l’anneau K[X] est intègre : si le produit de deux polynômes est nul,
alors l’un des deux est nul (i.e. le produit de deux polynômes non nuls est non nul).
Exercice 2 Soient a ∈ R et n ∈ N \ {0}. Quel est le reste de la division euclidienne de A =
(X sin a+cos a)n par B = X 2 +1 ? Même question avec A = (X 2 +1)6 +(X 3 −1)4 et B = X 2 −1.
Exercice 3 Calculer PGCD(X 5 + X 4 + 2X 3 − 2X + 3, X 4 + 3X 3 + 7X 2 + 8X + 6), PPCM(X 5 +
3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1, X 4 + 2X 3 + X + 2).
Exercice 4 Soient A = X 7 − X − 1 et B = X 5 + 1.
1. Trouver U et V tels que AU + BV = 1.
2. Résoudre dans R[X] l’équation en C et D suivante : AC + BD = X + 1.
Exercice 5 Calculer PGCD(X p − 1, X q − 1), pour p et q dans N \ {0}. Application numérique :
p = 360 et q = 1400.
Exercice 6 Résoudre en A ∈ R[X] les équations suivantes : A − A0 = X n (n ∈ N), 25A − XA0 +
(1 − X 2 )A00 = 0, (1 − X 2 )(A0 )2 = 25(1 − A2 ).
Exercice 7 Déterminer tous les polynômes A ∈ Q[X] tels que n(n − 1)A = (X 2 − 1)A00 (n ≥ 2
étant fixé). En déduire que
n n−1
2q
q
(−1)q 2n−2
q,2≤2q≤n
2q
∑
= −1.
Exercice 8 Décomposer dans R[X] les polynômes suivants en facteurs irréductibles : X 4 +X 2 +
1, X 6 − 1, (X 2 − 3X + 2)2 + X 2 ,
Exercice 9 Factoriser dans R[X] le polynôme (X 2 + 1)3 + (X − 1)6 . (Indication : se ramener
par une première factisation à un polynôme de degré 4, dont on cherche les racines x en se
ramenant à une équation du second degré en u = x + 1/x).
Exercice 10 Factoriser dans R[X] le polynôme X 5 − 13X 4 + 67X 3 − 171X 2 + 216X − 108, sa-
chant qu’il admet une racine double et une triple.
Exercice 11 Sur K, soient P un polynôme de degré 2 et Q un polynôme de degré inférieur ou
égal a 2. Trouver une C.N.S. portant sur les coefficients de ces polynômes pour que P et Q aient
deux racines communes.
Exercice 12 Déterminer m pour que les deux polynômes X 3 + mX − 6 et X 2 + mx − 2 aient une
racine commune.
Exercice 13 À quelle condition le polynôme P = X 4 + aX 3 + b admet une racine double ?
Exercice 14 Si l’équation x5 + qx3 + rx2 +t = 0 a une racine multiple, montrer que cette racine
vérifie l’équation du second degré 15rx2 − 6q2 x + 25t − 4qr = 0.
Exercice 15 Décomposer dans R(X) les fractions suivantes en éléments simples :
X4
X2 + 1
X3 + 1
,
, 5
,
(X − 1)(X − 2)(X − 3) X (X − 1) X(X − 1)4 (X − 2)2
X2 + 1
1
X5 − X + 1
,
,
,
(X 2 + 1)20 (X − 1)2 (X 2 − X + 1)2 X 2 (X 2 + 1)3
X +1
1
X3 + 1
,
,
,
(X 2 + 1)2 (X 2 + X + 1)3 X 8 + X 4 + 1 X(X − 1)(X 2 + 1)4
X 14 + 1
.
X(X − 1)2 (X 2 + X + 1)3 (X 2 + 1)2
Exercice 16 Décomposer dans C(X) la fraction suivante en éléments simples :
1
X 4 + 3(1 − 2i)X 2 − 2(4 + 3i)
.
Exercice 17 Pour un polynôme P dans K[X] \ {0}, exprimer simplement la décomposition en
éléments simples de
P0
. On pourra considérer l’application ϕ : K[X] \ {0} −→ K(X) définie par
P
P0
(“dérivée logarithmique”) et montrer que c’est un morphisme de (K[X] \ {0}, ·) vers
P
(K(X), +) : ϕ transforme les produits en sommes.
ϕ(P) =
2