Transcript CAHIER DE TEXTES 2014-2015

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
CAHIER
1
DE TEXTES
2014-2015
VENDREDI 20 MARS
• Copies du devoir à la maison « Développements limités » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la
maison « Endomorphismes nilpotents, endomorphismes cycliques ».
• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » :
— Formes linéaires, écriture en fonction des coordonnées. Hyperplan. Caractérisation géométrique des
hyperplans. Comparaison des équations d’un hyperplan. Intersection d’hyperplans.
• 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 11, 25.
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 16, 19, 20.
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour lundi : 7, 21–1), 23, 32–4).
2
JEUDI 19 MARS
• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Forme géométrique du théorème du rang. Théorème du rang.
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 8, 9.
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour vendredi : 16, 19.
3
MERCREDI 18 MARS
• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » :
— Application linéaire de rang fini, rang. Inégalités sur le rang et cas d’égalité. Applications linéaires
entre espces vectoriels de mêmes dimensions finies. Exemple sous forme d’exercice. Inversibilité à
gauche/à droite d’une matrice. Invariance du rang par composition par un isomorphisme.
— Image d’une matrice, rang d’une matrice. Lien avec l’inversibilité. Les opérations élémentaires préservent le rang.
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 4, 32–1)2), 36.
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour jeudi : 8, 9.
4
MARDI 17 MARS
• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » :
— Détermination d’une application linéaire sur une somme directe.
— Effet d’une application linéaire sur la dimension. Dimension de L (E, F ).
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 1)a), 2)b), 5, 12, 13.
1
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
5
LUNDI 16 MARS
• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » :
— Image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire. Noyau d’une application
linéaire, caractérisation de l’injectivité. Exemples sous forme d’exercices. Structure affine de l’ensemble des solutions d’une application linéaire.
— Détermination d’une application linéaire sur une base. Caractérisation de l’injectivité/surjectivité/bijectivité
sur une base.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 16, 23–1).
6
SAMEDI 14 MARS
Devoir surveillé sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires, les limites de fonctions, la continuité et la dérivabilité.
7
VENDREDI 13 MARS
• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » :
— Classification des espaces vectoriels de dimension finie.
— Opérations sur les applications linéaires. Opérations sur les isomorphismes. Anneaux d’endomorphismes, groupes linéaires.
— Image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire. Exemple sous forme d’exercice. Image
d’un Vect par une application linéaire.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 6–1), 8–8)9)10)11)12)13)14)15), 13–1)2), 14,
15, 20, 22–1).
• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 3.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour lundi : 16, 23–1).
8
JEUDI 12 MARS
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Exemple de recherche d’asymptote et de position relative
sous forme d’exercice.
• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Application linéaire, endomorphisme, forme linéaire. Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Formes coordonnées relativement à une base. Isomorphisme, automorphisme, espaces vectoriels isomorphes. Traduction de l’inversibilité en termes d’application linéaire canoniquement
associée.
9
MERCREDI 11 MARS
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » :
— Domination, lien avec les petits o et les équivalents, opérations.
— Constante d’Euler.
— Calculs de limites sous forme d’exercices.
— Position locale d’une fonction par rapport à une tangente. Exemple sous forme d’exercice.
— Asymptote au voisinage de ±∞.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 5.
2
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
10
MARDI 10 MARS
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 36.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 8–1)2)3)4)5)6)7), 12.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour mercredi : 5. Lire en outre le paragraphe
« Domination » du cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 ».
11
LUNDI 9 MARS
• Remise des copies du devoir à la maison « Les inégalités de Bernstein et Markov ».
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Lien développement limité/équivalence. Nouveaux
équivalents usuels en 0. Opérations sur les équivalents. Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 2–1), 3–1)2)3)4)5)6), 4–1)2)3).
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour mardi : 8–1)2)3)4)5)6)7).
12
VENDREDI 6 MARS
• Copies du devoir à la maison « Les inégalités de Bernstein et Markov » relevées. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » :
— Dérivation des développements limités.
— Opérations sur les développements limités. Nombreux exemples sous forme d’exercices.
— Équivalence pour les fonctions et les suites. Lien limite/équivalence, lien petit o/équivalence.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 14, 27, 39.
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour lundi : 2–1), 3–1)2)3)4)5)6), 4–
1)2)3).
13
JEUDI 5 MARS
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » :
— Primitivation des développements limités. Exemples sous forme d’exercices.
— Formule de Taylor-Young. Développements limités usuels.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 17, 34.
• Pour vendredi, lire le paragraphe sur la dérivation des développements limités et les explications pratiques du paragraphe « Opérations sur les développements limités ».
3
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
14
MERCREDI 4 MARS
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » :
— Limites et petits o. Opérations sur les petits o.
— Développements limités. On peut toujours se ramener à des développements limités au voisinage
1
de 0. Exemple de
. Unicité des coefficients. Lien avec la continuité et la dérivabilité. Cas des
1− x
fonctions paires/impaires.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 24–1), 26, 37–2).
• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 1.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » à chercher pour jeudi : 17, 34.
15
MARDI 3 MARS
• Distribution de la correction du devoir à la maison « La continuité, en veux-tu, en voilà ».
• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : Théorème de la limite de la dérivée. Théorème de classe C k par prolongement.
• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Négligeabilité pour les fonctions et les suites. Croissances
comparées usuelles. Exemples sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 12–1), 14, 19.
• Exercices à chercher pour mercredi :
— Chapitre 21 « Dérivabilité » : 39.
— Chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 1.
16
LUNDI 2 MARS
• Copies du devoir à la maison « La continuité, en veux-tu, en voilà » relevées.
• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : Application de l’inégalité des accroissements finis à l’étude des suites récurrentes
et à l’approximation des points fixes.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 24, 27, 30.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 37–1).
17
VENDREDI 13 FÉVRIER
• Distribution du cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » :
— Lipschitzianité. La lipschitzianité implique la continuité. Inégalité des accroissements finis.
— Exemples d’utilisation du théorème de Rolle sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 3, 9, 10–1)4), 18, 20, 21, 23.
• Exercices à chercher pour lundi :
— Chapitre 20 « Continuité » : 24, 27, 30.
— Chapitre 21 « Dérivabilité » : 12–1), 14, 19, 24–1), 26, 27, 33.
4
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
18
JEUDI 12 FÉVRIER
• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » :
— Théorème des accroissements finis.
— Caractérisation des fonctions dérivables constantes/monotones/strictement monotones.
— Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 5, 14.
— Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 1–1)2), 5.
• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 9, 20.
19
MERCREDI 11 FÉVRIER
• Distribution du devoir à la maison « Les inégalités de Bernstein et Markov ».
• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » :
— Opérations sur les dérivées successives.
— Extremum local, point critique. Condition nécessaire pour un extremum local en un point intérieur.
— Théorème de Rolle.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 12, 31, 32.
• Exercices à chercher pour jeudi :
— Chapitre 20 « Continuité » : 5, 14.
— Chapitre 21 « Dérivabilité » : 1–1)2), 5.
20
MARDI 10 FÉVRIER
• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » :
— Dérivabilité en un point, nombre dérivé, tangente. Dérivabilité sur une réunion finie d’intervalles.
La dérivabilité implique la continuité. Caractérisation de la dérivabilité à partir des parties réelle et
imaginaire. Dérivabilité à gauche/à droite en un point. Caractérisation de la dérivabilité en termes
de dérivabilité à gauche et à droite.
— Opérations sur la dérivabilité : combinaisons linéaires, produit, inverse, composée, réciproque.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 2–4)5)6), 13, 17, 21.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » à chercher pour mercredi : 12, 31, 32.
21
LUNDI 9 FÉVRIER
• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 31 janvier.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 22, 23, 29.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » à chercher pour mardi : 2–4)5)6), 13, 17, 21.
5
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
22
VENDREDI 6 FÉVRIER
• Distribution du cours du chapitre 21 « Dérivabilité ».
• Copies du devoir à la maison « Exercices d’algèbre linéaire » relevés. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 20 « Continuité » :
— TVI strictement monotone.
— Théorème des bornes atteintes.
— Continuité d’une réciproque.
• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 7, 9.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 2–1)2)3), 6, 10, 19, 20, 26.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » à chercher pour lundi : 2–4)5)6), 13, 17.
23
JEUDI 5 FÉVRIER
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » et du devoir à la maison « La continuité, en veux-tu,
en voilà ».
• Cours du chapitre 20 « Continuité » :
— Opérations sur la continuité.
— Caractérisation séquentielle de la continuité. Équation fonctionnelle des fonctions linéaires.
— Théorème des valeurs intermédiaires. Algorithme dichotomique associé.
• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 4.
• Exercices à chercher pour vendredi :
— Chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 7.
— Chapitre 20 « Continuité » : 6, 19, 20.
24
MERCREDI 4 FÉVRIER
• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » :
— Caractérisation séquentielle de la limite.
— Théorème d’encadrement/de minoration/de majoration.
— Théorème de la limite monotone.
— Brève extension au cas des fonctions complexes.
• Cours du chapitre 20 « Continuité » :
— Continuité en un point ou sur une réunion finie d’intervalles. Caractérisation de la continuité à partir
des parties réelle et imaginaire. Continuité en un point à gauche/à droite. Caractérisation de la limite
en un point en fonction des limites à gauche/à droite.
— Prolongement par continuité en un point.
• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 6–2), 8.
• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 1.
• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » à chercher pour jeudi : 4.
6
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
25
MARDI 3 FÉVRIER
• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » :
— Composition de limites.
— Limites et inégalités strictes/larges.
• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 1–2)4), 2–3)6)7), 3–2)3)5), 5.
• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » à chercher pour mercredi : 6–2), 8.
26
LUNDI 2 FÉVRIER
• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » :
— Exemples d’utilisation de la définition de la limite sous forme d’exercices. Toute fonction qui possède
une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
— Limite à gauche/à droite en un point. Caractérisation de la limite en termes de limite à gauche/à
droite. Exemple sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 46.
• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 1–1)3), 2–1)2)4)5), 3–1)2).
• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » à chercher pour mardi : 5.
27
SAMEDI 31 JANVIER
Devoir surveillé sur les polynômes et les espaces vectoriels.
28
VENDREDI 30 JANVIER
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Caractérisation de la supplémentarité en dimension finie.
• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : Adhérence d’une réunion finie d’intervalles. Propriété vraie au
voisinage d’un point. Limite d’une fonction en un point. « Les neuf limites ». Travail autour de la définition sous forme
d’exercices. Unicité de la limite, cas d’une limite en un point de définition.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 32, 41, 42, 43, 45–3)4).
• Exercices à chercher pour lundi :
— Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 46.
— Chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 1, 2, 3.
29
JEUDI 29 JANVIER
• Remise des copies du devoir à la maison « Le théorème de Block-Thielmann ». Distribution de la correction.
• Distribution du cours du chapitre 20 « Continuité » et de la feuille d’exercices associée.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 38, 39, 45–2).
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour vendredi : 32, 41.
7
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
30
MERCREDI 28 JANVIER
• Distribution du cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction ».
• Copies du devoir à la maison « Le théorème de Block-Thielmann » relevées.
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Caractérisation par l’intersection. Dimension. Construction de deux sous-espaces vectoriels en somme directe grâce à une famille libre. Bases d’une somme
directe.
— Sous-espaces vectoriels supplémentaires. Exemple sous forme d’exercice. Existence d’un supplémentaire en dimension finie.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 37.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour jeudi : 38, 39, 45–2).
31
MARDI 27 JANVIER
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » et du devoir à la maison « Exercices
d’algèbre linéaire ».
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Somme de deux sous-espaces vectoriels. Parties génératrices
d’une somme de deux sous-espaces vectoriels. Formule de Grassmann. Condition suffisante pour que deux sousespaces affines soient concourants.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 28, 30–2)3).
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 37.
32
LUNDI 26 JANVIER
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Dimension d’un espace vectoriel produit.
— Matrice d’une famille de vecteurs dans une base. Caractérisation des bases. Caractérisation des matrices inversibles en termes de lignes/colonnes. Pour un système linéaire carré, l’existence et l’unicité
de solutions sont équivalentes.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 21, 26, 30–1), 33–1), 34.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour mardi : 28, 30–2), 35.
33
VENDREDI 23 JANVIER
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie. Dimensions de Kn , Kn [X ], K[X ] et Mn,p (K).
En dimension n, toute partie libre possède au plus n éléments et toute partie génératrice en possède
au moins n. En dimension n, une famille de n vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice.
— Rang d’une famille finie de vecteurs, caractérisation de la liberté.
— Dimension d’un sous-espace vectoriel en dimension finie.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 11, 14, 19, 20, 25).
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour lundi : 21, 26, 30–1).
8
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
34
JEUDI 22 JANVIER
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Espace vectoriel de dimension finie. Dans un espace vectoriel engendré par n vecteurs, toute partie
libre possède au plus n éléments.
— Algorithme de la base incomplète. Théorème de la base incomplète/extraite.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 13, 15, 23–3), 24–1).
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour lundi : 11, 14, 25).
35
MERCREDI 21 JANVIER
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Famille libre/liée d’un nombre quelconque de vecteurs. Propriétés : inclusion, ajout.
— Bases, coordonnées. Bases canoniques de Kn , K[X ], Kn [X ] et Mn,p (K). Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 10, 12, 16.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour jeudi : 13, 15, 23–3), 24–1).
36
MARDI 20 JANVIER
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Famille libre/liée d’un nombre fini de vecteurs, vecteurs colinéaires. Exemples sous forme d’exercices. Toute famille échelonnée en degré de polynômes non nuls est libre.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 40.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 9.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour mercredi : 10, 12, 16.
37
LUNDI 19 JANVIER
• Remise des copies du devoir à la maison « Pi carré sur six ».
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Famille génératrice. Propriétés : inclusion, suppression. Exemples
sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 29, 31.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 7–2)3)4).
• Exercices à chercher pour mardi :
— Chapitre 17 « Polynômes » : 40.
— Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 9.
9
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
38
VENDREDI 16 JANVIER
• Copies du devoir à la maison « Pi carré sur six » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison « Le
théorème de Block-Thielmann ».
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Caractérisation des sous-espaces affines par leur direction et un point. Intersection de sous-espaces
affines.
— Sous-espace vectoriel engendré par une partie, définition comme ensemble des combinaisons linéaires et caractérisation comme plus petit sous-espace vectoriel contenant cette partie. Exemples
sous forme d’exercices. Propriétés des Vect : inclusion, suppression, substitution.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 3, 39.
• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 1–2)3)4), 3–1)2)3)4)5)6)7)8), 7, 8.
• Exercices à chercher pour lundi :
— Chapitre 17 « Polynômes » : 29, 31.
— Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 7–2)3)4).
39
JEUDI 15 JANVIER
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Exemples de sous-espaces vectoriels sous forme d’exercice. Intersection de sous-espaces vectoriels.
— Sous-espace affine, direction.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 19, 26–8), 37.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour vendredi : 3.
40
MARDI 13 JANVIER
• Distribution du cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel ».
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Espace vectoriel. Exemples : K, espaces vectoriels produits dont Kn , Mn,p (K), K[X ], espaces vectoriels de fonctions dont R I et RN .
— Combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs. Exemples sous forme d’exercice. Généralisation
au cas d’un nombre infini de vecteurs.
— Sous-espace vectoriel, définition et caractérisation. Exemple de l’ensemble des solution d’un système
linéaire hoogène.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 32–2)a), 33, 20.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour jeudi : 19, 26–8), 37.
41
LUNDI 12 JANVIER
• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 10 janvier.
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » : Polynômes de Lagrange. Polynôme d’interpolation de Lagrange de degré minimal,
puis cas général.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 17, 28, 30, 32–1).
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour mardi : 32–2)a), 33.
10
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
42
SAMEDI 10 JANVIER
Devoir surveillé sur l’arithmétique, les matrices, les groupes et les anneaux.
43
VENDREDI 9 JANVIER
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » :
— Polynôme scindé. Relations coefficients-racines.
— Polynômes annulateurs d’une matrice carrée. Utilisation pour l’inversion et le calcul des puissances.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 5, 15, 21–1)c)e)f), 26–4)5)6), 35, 36–1).
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour lundi : 17, 28, 30.
44
JEUDI 8 JANVIER
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 10, 11–1), 14, 21–1)a)b)d), 22, 23–1), 26–1)2).
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour vendredi : 15, 21–1)c)e)f).
45
MERCREDI 7 JANVIER
• Copies du devoir à la maison « Matrices, groupes et anneaux » relevées. Distribution de la correction et du devoir à
la maison « Pi carré sur six ».
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » :
— Racines complexes d’un polynôme réel.
— Factorisation « par les racines ». Nombre maximal de racines comptées avec multiplicité. Le polynôme nul est le seul polynôme qui possède une infinité de racines. Identification polynôme/fonction
polynomiale.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 2, 7, 9–1), 13.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour jeudi : 10, 14, 22.
46
MARDI 6 JANVIER
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » :
— Intégrité de K[X ]. Composition des polynômes, degré d’une composée. Dérivées successives, degré,
formule de Leibniz. Évaluation polynomiale, fonction polynomiale.
— Divisibilité, propriétés. Théorème de la division euclidienne.
— Reste de la division euclidienne par X − λ. Racine d’un polynôme, multiplicité. Formule de Taylor
polynomiale. Utilisation des dérivées successives pour le calcul d’une multiplicité.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 2, 7, 9–1), 13.
11
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
47
LUNDI 5 JANVIER
• Remise des copies du devoir à la maison « Le théorème des deux carrés ».
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » : Polynôme, identification polynomiale. Anneau K[X ]. Notation polynomiale.
Formule de Vandermonde. Degré, degré d’une somme, d’un produit.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 7, 8, 18, 25.
48
VENDREDI 19 DÉCEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 17 « Polynômes » et de la feuille d’exercices associée.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 16, 17, 19, 21–1)2), 25–1)2).
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour lundi : 7, 8, 18, 25.
49
JEUDI 18 DÉCEMBRE
• Copies du devoir à la maison « Le théorème des deux carrés » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la
maison « Matrices, groupes et anneaux ».
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » :
— Groupe produit.
— Anneau. Centre de Mn (K).
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 4, 6, 11, 12, 14–1).
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Fin du cours sur les anneaux à lire pour vendredi.
50
MERCREDI 17 DÉCEMBRE
• Interrogation de cours sur l’arithmétique des entiers relatifs et les matrices.
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Groupe. Sous-groupe, définition et caractérisation.
Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 1.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour jeudi : 4, 6, 11.
51
MARDI 16 DÉCEMBRE
• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 6 décembre. Éléments de correction au tableau.
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Inversibilité, inverse, propriétés. Partie stable par une loi
interne.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 1.
12
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
52
LUNDI 15 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » :
— Loi interne, magma. Commutativité, associativité. Élément neutre.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 1, 7, 9–9), 11, 14–4).
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour mardi : 16–2)3)a).
53
VENDREDI 12 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :
— Inversibilité et inversion d’une matrice par résolution de systèmes linéaires. Exemples sous forme
d’exercices.
— Matrices inversibles de taille 2, déterminant. Formules de Cramer.
— Opérations sur les matrices inversibles — inverse, produit, puissances, transposée. Représentation
matricielle des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Application à l’inversibilité et
l’inversion.
— Inversibilité et inverse d’une matrice triangulaire. Systèmes triangulaires à coefficients diagonaux
non nuls.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 36.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 5, 6, 10, 13–2)3), 14–2)3), 16–1)a).
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour lundi : 1, 7, 11, 14–4).
54
JEUDI 11 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :
— Rappel sur les équations de plans dans l’espace.
— Opérations élémentaires sur les lignes. Algorithme du pivot.
— Matrice inversible, inverse. Système de Cramer. Caractérisation des matrices inversibles en termes
de systèmes linéaires.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 3, 9–3)4).
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour vendredi : 5, 14–2).
55
MERCREDI 10 DÉCEMBRE
• Introduction aux barycentres.
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :
— Transposition, linéarité, involutivité, effet sur un produit. Matrice symétrique/antisymétrique.
— Trace d’une matrice carrée, linéarité, effet sur un produit.
— Systèmes linéaires, écriture matricielle. Principe « Solution particulière + solution générale de l’équation homogène ». Notation Vect, interprétation géométrique. Rappel sur les équations de droites dans
un plan.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 13.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 4, 9–1)2).
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour jeudi : 3, 9–3)4).
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour vendredi : 36.
13
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
56
MARDI 9 DÉCEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » et d’un mini-cours sur les barycentres.
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :
— Matrices, coefficients, lignes, colonnes, matrices carrées. Addition et multiplication par un scalaire.
— Produit matriciel. Associativité, bilinéarité, matrice identité. Calculs élémentaires sous forme d’exercices. Formule du binôme et formule « Ak − B k ». Produit par blocs.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 34.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 4, 9–1)2).
57
LUNDI 8 DÉCEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » et de la feuille d’exercices associée et de la
feuille d’exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau ».
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 17, 19, 21, 23–1), 30.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mardi : 34.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mercredi : 13.
58
SAMEDI 6 DÉCEMBRE
Devoir surveillé sur les suites.
59
VENDREDI 5 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : Petit théorème de Fermat.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 12, 18, 20, 22, 24, 27–2), 28–3), 29.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour lundi : 19, 23–1), 30.
60
JEUDI 4 DÉCEMBRE
• Remise des copies du devoir à la maison « Suites logistiques ».
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :
— PPCM de deux entiers. Lien avec le PGCD.
— Unicité de la factorisation première, valuations p-adiques. Propriétés des valuations p-adiques.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 10–1), 27–1), 28–1)2).
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour vendredi : 18, 20.
14
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
61
MERCREDI 3 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :
— Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide. Algorithme d’Euclide. Existence du PGCD et relations
de Bézout pour deux entiers, pour une famille d’entiers.
— Couple d’entiers premiers entre eux, entiers premiers entre eux dans leur ensemble/deux à deux.
Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Entiers premiers entre eux et produit d’entiers. Forme
irréductible d’un rationnel.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 2, 3–3), 4, 5, 7–1).
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour jeudi : 10–1), 27–1), 28–1)2).
62
MARDI 2 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :
— Relation de divisibilité, propriétés. Diviseur/multiple commun.
— Relation de congruence modulo un entier, propriétés.
— Nombre premier. Existence de la factorisation première. Infinité de l’ensemble des nombres premiers.
Crible d’Ératosthène.
— Théorème de la division euclidienne.
— PGCD d’une famille d’entiers relatifs. « Unicité ».
• Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » : 4, 5, 6, 8.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 1.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mercredi : 2, 3–3), 4, 5, 7–1).
63
LUNDI 1 DÉCEMBRE
ER
• Copies du devoir à la maison « Suites logistiques » relevées. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 13 « Relations binaires » :
— Relation d’ordre. Relation stricte associée. Majorant/minorant, maximum/minimum, borne supérieure/inférieure d’une partie.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 5.
• Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » : 1, 2.
64
VENDREDI 28 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 13 « Relations binaires » :
— Relation binaire. Réflexivité, transitivité, symétrie, antisymétrie. Éléments comparables, relation totale/partielle.
— Relation d’équivalence. Classes d’équivalence, ensemble quotient.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 14, 28, 37 50.
• Exercices à chercher pour lundi :
— Chapitre 12 « Limite d’une suite » : 5.
— Chapitre 13 « Relations binaires » : 1, 2.
15
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
65
JEUDI 27 NOVEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » et de la feuille d’exercices associée.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 25, 34, 36, 45.
66
MERCREDI 26 NOVEMBRE
• Interrogation de cours sur les suites.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 35, 39–5), 40, 46–1)b)2).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour jeudi : 25, 34, 45.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour vendredi : 14, 28, 50.
67
MARDI 25 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Caractérisation séquentielle de la densité. Densité des décimaux. Développements décimaux illimités.
— Brève extension aux suites complexes.
— Théorème de Bolzano-Weierstrass.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 29, 32, 39–1)2).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mercredi : 35, 39–5), 40, 46–1)b).
68
LUNDI 24 NOVEMBRE
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1)f), 19, 20–1), 22, 31.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mardi : 29, 32, 39–1)2).
69
VENDREDI 21 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Inverse d’une limite finie non nulle sous forme d’exercice.
— Limite d’une suite récurrente « un+1 = f (un ) ». Exemples sous forme d’exercices.
— Caractérisation séquentielle de la borne supérieure.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 13, 16, 17, 43–1)2), 44, 46–1)a).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour lundi : 1–1)f), 19, 20–1), 22.
16
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
70
JEUDI 20 NOVEMBRE
• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 15 novembre.
• Distribution du cours du chapitre 13 « Relations binaires ».
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes. Exemple sous forme d’exercice.
— Suites récurrentes « un+1 = f (un ) ». Monotonie d’une telle suite. Exemples sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 8, 12.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour vendredi : 16, 17, 43–1)2), 44.
71
MERCREDI 19 NOVEMBRE
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 13 « Relations binaires ».
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Produit de deux limites finies sous forme d’exercice.
— Théorème d’encadrement/de minoration/de majoration. Produit d’une suite bornée par une suite
de limite nulle. Limite d’une suite géométrique.
— Théorème de la limite monotone. Comparaison exponentielles/factorielles.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–2)b)c), 11–1)2)3).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour jeudi : 8, 12.
72
MARDI 18 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Opérations sur les limites. Quelques preuves sous forme d’exercices. Composition par une fonction.
— Limites et inégalités strictes. Limites et inégalités larges.
— Suites extraites. Limites et suites extraites. Application à la non-existence de limites.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 2, 3, 4.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mercredi : 1–2)b)c), 11–1)2).
73
LUNDI 17 NOVEMBRE
• Remise des copies du devoir à la maison « Itérations ». Distribution du devoir à la maison « Suites logistiques ».
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Voisinage dans R d’un point de R. Définition générale de la limite d’une suite, cas particuliers d’une
limite finie ou ±∞. Unicité de la limite.
— Convergence, divergence. Toute suite convergente est bornée.
• Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 4.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mardi : 2, 3, 4.
17
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
74
SAMEDI 15 NOVEMBRE
Devoir surveillé sur les primitives et les intégrales, les équations différentielles et les applications.
75
VENDREDI 14 NOVEMBRE
• Copies du devoir à la maison « Itérations » relevées. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : Densité d’une partie de R. Exemples de Q et R \ Q.
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Vocabulaire usuel sur les suites, propriété vraie à partir d’un certain rang.
— Suites définies explicitement, suites récurrentes « un+1 = f (un ) ». Partie stable par une fonction,
utilisation pour l’existence de suites récurrentes.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 19, 21.
• Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 1, 2, 3, 5–1)2)4), 6–1)2).
• Exercices à chercher pour lundi :
— Chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 4.
— Chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1).
76
JEUDI 13 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » :
— Droite achevée R.
— Intervalles de R, redéfinition et caractérisation.
— Partie entière.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 20–2)3), 22.
77
MERCREDI 12 NOVEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » :
— Borne supérieure/inférieure d’une partie de R, unicité. Lien avec le maximum/minimum. Opérations
sur les bornes supérieures/inférieures.
— Propriété de la borne supérieure/inférieure.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–1), 8–9), 20–1).
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour jeudi : 20–2)3), 22.
• Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » à chercher pour vendredi : 1, 2.
18
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
78
LUNDI 10 NOVEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » :
— Partie majorée/minorée de R, majorants/minorants.
— Maximum/minimum d’une partie de R, unicité. Toute partie non vide de N possède un minimum.
Toute partie non vide majorée de N possède un maximum.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–8), 8–1), 11, 16, 18.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour mercredi : 4–1), 8–9), 20.
79
VENDREDI 7 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » :
— Abandon de la notation f ← (B) au profit de la notation f −1 (B).
— Retour sur le TVI strictement monotone.
— (Hors programme) Équipotence. Nombreux exemples, présentés informellement.
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles linéaires » : 14.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 1, 2, 3–1), 7–1)2)3), 14.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–8), 8–1), 11, 16, 18.
80
JEUDI 6 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » :
— Surjection. Surjectivité et composition.
— Bijection, réciproque, lien entre les deux. Bijectivité d’une composée, d’une réciproque.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–1)2)3)4), 15.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour vendredi : 1, 2, 3–1), 7–1)2)3).
81
MERCREDI 5 NOVEMBRE
• Interrogation de cours sur les équations différentielles.
• Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : Injection. Exemple sous forme d’exercice. Injectivité et
composition. Injectivité et stricte monotonie.
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 8, 12–2), 17–2).
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–1)2)3)4).
• Exercices du chapitre 10 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour vendredi : 14.
19
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
82
MARDI 4 NOVEMBRE
π2
et la formule de Wallis » et du devoir à la maison « Itérations ».
6
Distribution du cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » et de la feuille d’exercices associée.
• Distribution de la correction du devoir à la maison «
• Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » :
— Fonction/application, ensemble de définition, ensemble d’arrivée, image et antécédents d’un point,
image d’une fonction. Famille indexée par un ensemble. Composition, fonction identité. Restriction
et prolongements.
— Image directe/réciproque d’une partie.
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 3, 11–1), 12–1), 16–2), 17–1).
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour mercredi : 8, 12–2),
17–2).
83
LUNDI 3 NOVEMBRE
• Remise des copies du devoir à la maison « Points fixes de l’exponentielle complexe et méthode de Cardan ».
• Copies du devoir à la maison «
π2
et la formule de Wallis » relevés.
6
• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :
— Suites arithmético-géométriques.
— Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2.
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)h), 2–4), 9–1)3), 10–1).
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour mardi : 16–2),
17–1).
84
VENDREDI 17 OCTOBRE
• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :
— Équations différentielles a y ′′ + b y ′ + c y = 0. Exemples sous forme d’exercices.
— Équations différentielles a y ′′ + b y ′ + c y = d(x), existence et unicité de la solution d’un problème
de Cauchy. Solution particulière d’une équation de la forme a y ′′ + b y ′ + c y = Aeλx . Exemples sous
forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 8–9), 11–5), 17–1)2).
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)a)b)e), 2–3), 6–1), 7.
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour la rentrée : 1–1)h),
2–4), 3, 9–1)3), 10–1), 11–1), 12–1).
85
JEUDI 16 OCTOBRE
• Copies du devoir à la maison « Points fixes de l’exponentielle complexe et méthode de Cardan » relevés. Distribution
de la correction.
• Distribution du devoir à la maison facultatif « Equations différentielles ».
• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :
20
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
— Équations différentielles y ′ + a(x) y = b(x). Méthode de variation de la constante. Existence et
unicité de la solution d’un problème de Cauchy. Exemple sous forme d’exercice.
— Solution particulière d’une équation de la forme y ′ + a y = Aeλx .
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 2–1).
• Exercices à chercher pour vendredi :
— Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 8–9), 11–5), 17–1)2).
— Chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)a).
86
MERCREDI 15 OCTOBRE
• Interrogation de cours sur la décomposition en éléments simples et le calcul intégral.
• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :
— Introduction à la linéarité et aux équations linéaires. Principe « Solution particulière + solution
générale de l’équation homogène ». Principe de superposition.
— Équations différentielles homogènes y ′ + a(x) y = 0.
• Accompagnement personnalisé (2h).
87
MARDI 14 OCTOBRE
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 6, 8–4)5), 10–4), 11–3), 13, 9–1)2).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour mercredi : 9–3), 11-4), 14.
88
LUNDI 13 OCTOBRE
• Distribution du cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » et de la feuille d’exercices
associée.
• Remise des copies du devoir sur table du mercredi 8 octobre.
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–1)2)3)4)5)6)7)8), 7–1), 8–1)2)7), 10–1)2)3).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour mardi : 6, 8–4)5), 13.
89
VENDREDI 10 OCTOBRE
• Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » :
— Fonction complexe continue. Intégrale d’une fonction complexe continue sur un segment. Linéarité,
relation de Chasles, inégalité triangulaire, et pour les fonctions réelles, positivité, positivité stricte et
croissance.
— Théorème fondamental de l’analyse.
— Fonction complexe de classe C 1 . Intégration par parties.
— Changement de variable.
• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : 1, 2, 3–1)2)4)5).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 3–1)a)c), 4).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour lundi : 1, 8–1)7), 10–1)2).
21
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
90
JEUDI 9 OCTOBRE
• Distribution du cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » et de la feuille d’exercices associée.
• Éléments de correction du devoir sur table du mercredi 8 octobre.
• Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » :
— Primitives d’une fonction complexe, unicité à constante additive près.
1
+ bx + c
avec discriminant négatif. Primitivation des fonction x 7−→ eax cos(bx) et x 7−→ eax sin(bx). Primitivation de fonctions trigonométriques par linéarisation. Primitivation des fractions rationnelles par
utilisation de leur décomposition en éléments simples.
— Primitivation des fonctions de la forme f ′ × g ′ ◦ f . Primtivation des fonctions x 7−→
91
ax2
MERCREDI 8 OCTOBRE
• Devoir surveillé sur les fonctions usuelles et les nombres complexes.
• Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : Exemples sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 7, 26, 28–2)a).
• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » à chercher pour jeudi : 1, 2.
• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » à chercher pour vendredi : 3–1)2)4).
92
MARDI 7 OCTOBRE
• Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : Le point de vue est uniquement pratique,
les résultats sont présentés sur des exemples.
— Division euclidienne des polynômes à coefficients complexes. Racine d’un polynôme à coefficient
complexe, principe de « factorisation par la racine ». Multiplicité d’une racine.
— Factorisations irréductibles sur C et sur R.
— Décomposition en éléments simples sur R — seulement.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 12, 15–1)2), 20–2), 28–2)b).
93
LUNDI 6 OCTOBRE
• Distribution du cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples ».
• Remise des copies du devoir à la maison « Hölder, Minkowski et le logarithme ».
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 27–1)a), 13, 17–2)a), 31–1)2)5), 35.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mardi : 12, 15–1)2), 20–2).
94
VENDREDI 3 OCTOBRE
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : Interprétation géométrique de l’addition et de la multiplication par un
nombre complexe. Expression complexe des transformations usuelles — translations, rotations et homothéties. Etude
z−b
des fonctions de la forme z 7−→ az + b avec a ∈ C∗ et b ∈ C. Interprétation géométrique de
.
z−a
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 24–2)a), 18, 20–1), 28–1), 33–1)2)3).
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour lundi : 27–1)a), 13, 17–2)a), 31–1)2).
22
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
95
JEUDI 2 OCTOBRE
• Copies du devoir à la maison « Hölder, Minkowski et le logarithme » relevées. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Exponentielle complexe, périodicité, transformation des sommes en produits. Dérivation des fonctions de la forme eϕ .
— Racines nèmes .
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 24–1).
96
MERCREDI 1 OCTOBRE
ER
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples ».
• Interrogation de cours sur les fonctions circulaires et les nombres complexes.
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : Propriétés des arguments. Lien entre la forme algébrique et les formes
trigonométriques d’un nombre complexe non nul. Technique de l’angle moitié. Formules « cos x +cos y ». Simplification
n
X
de
cos(2k x) sous forme d’exercice.
k=0
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 6–1), 10, 11.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 8–1), 11, 13–1), 28.
• Accompagnement personnalisé (2h).
97
MARDI 30 SEPTEMBRE
• Distribution du devoir à la maison « Points fixes de l’exponentielle complexe et méthode de Cardan ».
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Ensemble U des nombres complexes de module 1. « Exponentielle iθ », formules d’Euler et Moivre,
transformation des sommes en produits. Linéarisation d’expressions trigonométriques. Exemples
sous forme d’exercices. Dé-linéarisation.
— Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, arguments, argument principal.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 8–1)2), 9–2).
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mercredi : 6–1), 10, 11.
98
LUNDI 29 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Èquations du second degré à coefficients complexes. Systèmes somme-produit.
— Dérivation des fonctions à valeurs complexes.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 1, 2, 3, 4, 5.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mardi : 8–1)2), 9–1).
23
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
VENDREDI 26 SEPTEMBRE
99
• Remise des copies du devoir à la maison « Des sommes, des produits et des inégalités ».
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Contruction des nombres complexes.
— Conjugué, module, inégalité triangulaire.
— Racines carrées d’un nombre complexe.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 4–7), 9, 19–2)3), 24–5), 25–3), 27–2)3).
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mercredi : 8–1), 11, 13–1), 28.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour lundi : 1, 2, 3, 4, 5.
100
JEUDI 25 SEPTEMBRE
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 6 « Nombres complexes ».
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 23, 24–2)3), 25–1), 27–1).
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour vendredi : 25–3), 27–2)3).
101
MERCREDI 24 SEPTEMBRE
• Interrogation de cours sur les fonctions usuelles, dont sin, cos et tan.
• Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : Fonction arctangente. Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 4–5), 18.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour jeudi : 23.
102
MARDI 23 SEPTEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 6 « Nombres complexes ».
• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 20 septembre.
• Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : Fonctions arccosinus et arcsinus.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 1, 2, 4–1)2)3)4).
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mercredi : 4–5), 18, 23–2)c).
103
LUNDI 22 SEPTEMNBRE
• Copies du devoir à la maison « Des sommes, des produits et des inégalités » relevées. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » :
— Relations sin(x + y). . . , sin x sin y. . . , relations de duplication.
— Fonction tangente, lien avec le cercle trigonométrique. Equations tan x = tan y, relation tan(x + y),
relation de duplication.
— Transformation des expressions de la forme a cos θ + b sin θ .
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 22, 23–1)2), 24.
24
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
104
SAMEDI 20 SEPTEMBRE
Devoir surveillé sur les chapitres « Rappels et compléments calculatoires », « Sommes, produits, coefficients binomiaux »,
« Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste », « Raisonner, rédiger » et le début du chapitre « Rappels et compléments
sur les fonctions ».
105
VENDREDI 19 SEPTEMBRE
• Distribution du devoir à la maison « Hölder, Minkowski et le logarithme ».
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Continuité et dérivabilité d’une réciproque.
• Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » :
— Relation de congruence.
— Fonctions
sinus et cosinus, lien avec le cercle trigonométrique. Equations sin x = sin y. . . , relations
π
...
sin x +
2
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 6, 7, 13, 15, 18–1)2), 19–1), 20.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » à chercher pour lundi : 22, 23–1)2), 24.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mardi : 1, 2, 4–1)2)3)4).
106
JEUDI 18 SEPTEMBRE
• Distribution du colloscope et des groupes de colles.
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » :
— Lien bijection-réciproque. Graphe d’une réciproque. Réciproque d’une fonction bijective monotone/impaire.
— Continuité, lien avec la dérivabilité. TVI, TVI strictement monotone. Application à la recherche de
points fixes.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 9–1)2), 11.
107
MERCREDI 17 SEPTEMBRE
• Interrogation de cours sur les fonctions usuelles.
• Distribution du cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Bijection, identité, réciproque.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 3, 5–2), 8, 17.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » :
— à chercher pour jeudi : 9–1)2), 11.
— à chercher pour vendredi : 13, 18–1)2), 19–1).
25
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
108
MARDI 16 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » :
— Fonctions et bonne rédaction.
— Fonctions exponentielle et logarithme. Fonctions puissances. Croissances comparées.
— Fonctions sinus, cosinus et tangente hyperboliques.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 1, 2, 5–1)3).
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » à chercher pour mercredi : 3, 5–2), 8, 17.
109
LUNDI 15 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Caractérisation des fonctions constantes/monotones
dérivables. Dérivées successives. Exemples de démonstrations d’inégalités sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 6, 8–1)2)3), 14–3)a), 23–1).
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » à chercher pour mardi : 1, 2, 5–1)3).
110
VENDREDI 12 SEPTEMBRE
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions ».
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » :
— Ensemble de définition, image et antécédents d’un point, image d’une fonction, expression « à valeurs
dans. . . ». Composée de deux fonctions. Associativité de la composition.
— Fonction (strictement) croissante/décroissante/monotone. Somme de fonctions croissantes/décroissantes,
composée de fonctions monotones. Fonction majorée/minorée/bornée, maximum/minimum.
— Transformations affines du graphe d’une fonction. Fonction paire/impaire/périodique. Opérations
sur les fonctions périodiques.
— Dérivabilité, nombre dérivé, dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 3, 4, 14–1)2), 15, 19, 21.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour lundi : 6, 8–1)2)3),
14–3)a), 23–1).
111
JEUDI 11 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : Egalité d’ensembles, inclusion. Ensemble
des parties d’un ensemble. Réunion, intersection, ensembles disjoints, différence, complémentaire. Produit cartésien.
• Cours du chapitre
p transversal « Raisonner, rédiger » : Egalités d’ensembles, inclusions. Raisonnement par l’absurde.
Irrationalité de 2. Raisonnement par analyse-synthèse.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 5, 11, 12.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour vendredi : 14–1)2).
26
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
112
MERCREDI 10 SEPTEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions ».
• Interrogation de cours sur les chapitres « Rappels et compléments calculatoires » et « Sommes, produits, coefficients
binomiaux ».
• Cours du chapitre transversal « Raisonner, rédiger » :
— Bilan de la lecture exigée pour ce jour.
— Raisonnement par récurrence — simple, double, forte. Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 9–2), 18.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour jeudi : 3, 4, 5, 11, 12.
113
MARDI 9 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » :
— Propositions, valeur de vérité, connecteurs logiques non, et, ou, =⇒ et ⇐⇒. Contraposée, réciproque, condition nécessaire/suffisante. Règles élémentaires du calcul propositionnel.
— Quantificateurs universel et existentiel. Négation, permutation. Pseudo-quantificateur ∃ !.
— Ensemble, appartenance, élément. Définition en extension/compréhension.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 1.
• Cours du chapitre transversal « Raisonner, rédiger » à lire jusqu’au paragraphe « Montrer l’unicité d’un objet » inclus.
114
LUNDI 8 SEPTEMBRE
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste ».
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 2–1)7)9), 10, 11–4)5), 12, 14, 15–1), 19–1).
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour mercredi : 9–2), 18.
115
VENDREDI 5 SEPTEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » et du chapitre transversal
« Raisonner, rédiger ».
• Cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » :
— Sommes géométriques. Formule « a n − b n ».
Y
X
— Adaptation au symbole
du paragraphe sur le symbole
. Factorielle.
‹
 ‹

n n−1
n
=
», formule de
— Coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Symétrie, formule «
k
k k−1
Pascal, intégrité. Formule du binôme. Lien avec la présentation des coefficients binomiaux du programme de Première S.
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 1–2)3)4), 2–4)5)6), 3–1), 5, 6, 9–1), 11–
1)2)3).
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour lundi : 2–1)7)9), 10, 11–4)5),
12, 14.
27
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
116
JEUDI 4 SEPTEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » et du chapitre transversal
« Raisonner, rédiger ».
• Cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » :
X
X
— Symbole
. Produits de deux
. Changements d’indice. Simplifications télescopiques. Permutan
n
X
X
X
X
tion des
. Carré d’un
. Calcul de
k et
k2 .
k=1
k=1
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour jeudi : 3, 4, 6, 8, 9–8).
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 1–1), 2–2)3).
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour vendredi : 2–4)5), 3–1), 6,
9–1).
117
MERCREDI 3 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : En entier.
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : 1, 2, 7–1)2)3)4)5), 9–1)2)3)4).
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour jeudi : 3, 4, 6, 8, 9–8).
118
MARDI 2 SEPTEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » et de la feuille d’exercices associée, et
du cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux ».
• Cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : En entier.
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour mercredi : 1, 2, 7–1)2)3), 9–1)2).
28