Transcript Exercices du chapitre 1 : Espaces vectoriels et

Lycée Militaire d'Aix-en-Provence Année 20142015
Mathématiques Classe Préparatoire PC
Exercices du chapitre 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires
Exercice 1
∗∗
Exercice 6
∗∗∗
Soit K = R ou C et n ∈ N. Soit a 0 , . . . , a n ∈ K deux à deux distincts. On note (L 0 , . . . , L n ) la famille des
Y X − ak
polynômes de Lagrange associée aux a i , c’est-à-dire que L i (X ) =
.
0ÉkÉn a i − a k
Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E . Comparer au sens de l’inclusion :
1) Montrer que L i (a j ) = δi j .
3) Montrer que si E est de dimension finie, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
k6=i
2) Montrer que la famille (L 0 , . . . , L n ) est une base de Kn [X ].
3) Exprimer les coordonnées d’un polynôme P ∈ Kn [X ] dans cette base.
n
X
4) Montrer que
L i (X ) = 1.
i =0
Exercice 2
∗∗
(D’après CCP)
Soit K = R ou C et n ∈ N. Soit a 0 , . . . , a n ∈ K deux à deux distincts. On note (L 0 , . . . , L n ) la famille des
polynômes de Lagrange associée aux a i .
1) Rappeler l’expression de chaque L i (X ) sous forme d’un produit.
2) Montrer que la famille (L 0 , . . . , L n ) est libre.
n
Y
3) On note P (X ) =
(X − a i ). Montrer que pour tout A ∈ K[X ] le reste de la division euclidienne de A
i =0
n
X
par P est R(X ) =
A(a i ) L i (X ).
i =0
Exercice 3
½µ
Soit F =
a
b
∗∗
¶
¾
−b
, (a, b) ∈ R2 .
a
1) Montrer que F est SEV de M2 (R). En donner la dimension.
2) Montrer que F est stable par multiplication.
3) Montrer que F est isomorphe au R-espace vectoriel C.
Exercice 4
∗∗
(D’après CCP)
On considère E le R-espace vectoriel des fonctions définies sur R à valeurs dans R. On note P (resp. I )
l’ensemble des fonctions paires (resp. impaires) définies sur R.
1) Montrer que P et I sont des SEV de E .
2) Montrer que E = P ⊕ I .
3) En déduire que la fonction exponentielle s’écrit de manière unique sous la forme ∀x ∈ R,
ex = p(x) + i (x) où p et i sont des fonctions respectivement paire et impaires sur R, que l’on explicitera.
Indications : 2) Raisonner par analyse-synthèse.
Exercice 5
∗∗∗
1) Montrer que C est un R-espace vectoriel.
2) Montrer que R et i R sont des sous-espaces vectoriels de C.
3) Montrer que R et i R sont supplémentaires dans C.
Indications : i R = {i b, b ∈ R}.
1) Ker f et Ker f 2 ;
2) Im f et Im f 2 .
(i) Ker f = Ker f 2 ,
(ii) Im f = Im f 2 ,
(iii) Ker f ⊕ Im f = E .
Exercice 7
∗∗∗
Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E . Montrer que si pour tout x ∈ E , x et f (x) sont
colinéaires, alors f est une homothétie vectorielle.
Exercice 8
∗∗
(D’après CCP)
¯
¯ R[X ] → R[X ]
¡
¢
Soit l’application ϕ : ¯¯
.
P (X ) 7→ P (X 2 ) + 1 + X 2 P (X )
1) ϕ est-elle linéaire ?
2) ϕ est-elle injective ?
3) ϕ est-elle surjective ?
Exercice 9
∗∗
(D’après ESM Saint-Cyr 2014)
Soit n ∈ N∗ . Pour tout polynôme P ∈ Rn [X ], on pose Q(X ) = P (−1) − P (X ).
1) Montrer que pour tout polynôme P ∈ Rn [X ], il existe un unique polynôme ϕn (P ) ∈ Rn−1 [X ] tel que
Q(X ) = (X + 1) ϕn (P )(X ).
¯
¯ Rn [X ] → Rn−1 [X ]
2) Montrer que l’application ϕn : ¯¯
est linéaire.
P
7→ ϕn (P )
3) Déterminer le noyau de ϕn .
4) L’application ϕn est-elle injective ? surjective ?
5) Montrer que si P ∈ Zn [X ], ϕn (P ) ∈ Zn−1 [X ] .
Exercice 10
∗∗
Soit E un espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme non nul de E . On suppose que f est
nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe k ∈ N∗ tel que f k = 0. On note p le plus petit entier tel que f p = 0.
¡
¢
1) Soit x 6∈ Ker f p−1 . Montrer que la famille x, f (x), f 2 (x), . . . , f p−1 (x) est libre.
2) En déduire que f n = 0.
3) On suppose que p = n. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure stricte.
Exercice 11
∗∗ (D’après École de l’Air)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme non nul de E . On suppose que
u 3 = u.
1) Montrer que E = Ker u ⊕ Im u.
2) Montrer que Im u est stable par u. On note v l’endomorphisme induit par u sur Im u. Montrer que v
est un automorphisme.
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Exercices supplémentaires
Exercice 12
∗∗ (D’après École de l’Air)
Soit A ∈ Mn (C). Montrer qu’il existe un polynôme P ∈ C[X ] non nul tel que P (A) = 0.
Exercice 13
∗∗ (D’après CCP)
Soit un entier n Ê 2.
Soit ϕ l’application qui à tout polynôme P ∈ Rn [X ]
(X + 2) P (X ) − X P (X + 1).
Exercice 15
∗∗ (D’après CCP)
Soit f un endomorphisme de l’espace vectoriel E de dimension finie. Pour tout n ∈ N∗ , on pose
K n = dim Ker f n et I n = dim Im f n .
associe
1) Montrer que ϕ est un endomorphisme de Rn [X ].
2) Déterminer le noyau de ϕ.
Exercice 14
∗∗
(D’après ESM Saint-Cyr)
Soit A = X 4 − 1 et B = X 4 − X . Soit f l’application qui à tout polynôme P ∈ R3 [X ] associe le reste de la
division euclidienne de AP par B .
1) Montrer que f est un endomorphisme de R3 [X ].
2) Déterminer le noyau de f .
3) Déterminer l’image de f .
Indications : 2) Décomposer A et B en irréductibles sur C[X ].
1) Montrer qu’il existe un entier i minimum tel que I i = I i +1 .
2) Montrer que la suite (I n ) est constante à partir du rang i .
3) Montrer qu’il existe un entier k minimum tel que K k = K k+1 .
4) Montrer que k = i et que la suite (K n ) est constante à partir du rang i .
Exercice 16
∗∗
(D’après CCP)
¯
¯ R
¯
Soit u l’application qui à toute fonction f ∈ C (R) associe la fonction u( f ) : ¯¯
¯ x
→
7→
R
Z x
0
cos(x − t ) f (t ) d t
1) Montrer que u est un endomorphisme de C (R).
2) Calculer u( f )(0). Puis déterminer toutes les fonctions f telles que u( f ) soit constant.
Indications : 1) Utiliser une formule trigo.
2) Dériver.
.