Transcript Espaces vectoriels et applications linéaires (niveau 2)

Alexandre Marino
Lycée Joffre MPSI
Feuille d’exercices 19
Espaces vectoriels et applications linéaires (niveau 2)
Dans la suite, K désignera le corps R ou C. (parfois Q)
Espaces vectoriels - Sous-espaces vectoriels
Exercice 1 : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un même K-espace vectoriel E, montrer l’équivalence :
F ∪ G est un sev de E sur K si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F .
Exercice 2 : Soit E un R-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E distinct de E. Montrer que
Vect(E \ F ) = E
Familles libres, familles génératrices, bases
Exercice 3 : Soient E un espace vectoriel et (a1 , a2 , . . . , an ) une famille libre de vecteurs de E. Notons ∀i ∈ [[1, n]],
i
P
bi =
ak . Montrer que la famille (b1 , b2 , . . . , bn ) est une famille libre de E.
k=1
Exercice 4 :
n
n
1. On considère les suites définies par ∀n ∈
N : un = 2 , vn = n et wn = (−1) .
La famille (un )n>0 , (vn )n>0 , (wn )n>0 est-elle libre dans l’espace vectoriel des suites réelles ?
2. Soient p ∈ N∗ et ∀k ∈ [[1, p]], uk ∈ RN telles que ∀k ∈ [[1, p − 1]], ukn =
o (uk+1
n ).
n→+∞
Montrer que la famille (u1 , · · · , up ) est libre.
Exercice 5 : Soient (ai )i∈[[1,n]] une famille de réels distincts supérieurs à 1 et F = fi : x 7→ axi
.
1≤i≤n
Montrer que F est libre dans F(R, R).
Exercice 6 :
1. Les familles de Van der Monde : Soient a, b, c ∈ R
(a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur a, b, c pour que la famille de vecteurs (1, a, a2 ), (1, b, b2 ),
(1, c, c2 ) forme une famille libre de R3 ?
(b) Même question avec la famille (1, 1, 1), (a, b, c), (a2 , b2 , c2 ).
2. Soient n ∈ N∗ , (a1 , . . . , an ) une famille de réels distincts et ∀i ∈ [[1, n]],
ui = (1, ai , a2i , · · · , an−1
)
i
Montrer que (u1 , · · · , un ) est une base de Rn .
Exercice 7 : Montrer que les familles suivantes sont des familles libres de l’espace vectoriel des fonctions de R dans
R.
a) F = fi : x 7→ eix
16i6n
b) F = fk : x 7→ sin(kx)
16k6n
c) F = x 7−→ |x − ai |
(les ai étant n réels distincts).
16i6n
Exercice 8 : Soient α ∈ K et n ∈ N.
1. Montrer que B = 1, (X − α), (X − α)2 , . . . , (X − α)n est une base de Kn [X].
2. Soit P ∈ Kn [X] déterminer les coordonnées de P dans la base B.
Exercice 9 : Famille de polynômes de degrés échelonnés
1
1. Soient n ∈ N∗ et (dk )k∈[[1,n]] une famille strictement croissante d’entiers positifs. Montrer que si ∀k ∈ [[1, n]],
deg(Pk ) = dk alors la famille (Pk )k∈[[1,n]] est une famille libre de K[X].
2. Montrer que la famille de K[X], Pk 06k6n où d◦ Pk = k, est une base de Kn [X].
Applications linéaires
Exercice 10 : Déterminer les sous espaces vectoriels et les endomorphismes de K comme K-espace vectoriel.
Exercice 11 : Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) un endomorphisme de E vérifiant pour un entier p ∈ N∗ :
fp = 0
et
f p−1 6= 0
Montrer qu’il existe un vecteur x ∈ E tel que la famille (x, f (x), . . . , f p−1 (x)) soit libre.
(préciser l’ensemble des x ∈ E ayant cette propriété)
E −→ E
E −→ E
Exercice 12 : Soit E = R[X] , f :
et
f
:
.
P 7−→ P 0
P 7−→ XP
1. Montrer que f et g appartiennent à L(E).
2. Que vaut f ◦ g − g ◦ f ?
3. Montrer que ∀n ≥ 1 , f ◦ g n − g n ◦ f = ng n−1 .
C −→
C
Exercice 13 : Soit α ∈ C et f :
.
z 7−→ z + αz̄
Montrer que f est un endomorphisme de C considéré comme R-espace vectoriel. En déterminer le noyau et l’image.
Exercice 14 : Soient a ∈ K et n ∈ N.
1. Montrer que Φ est un isomorphisme où Φ est l’application
Kn [X] −→
Kn+1
Φ:
P 7−→ P (a), P 0 (a), . . . , P (n) (a)
2. Exprimer Φ−1 .
: Soient a, b ∈ C et E l’ensemble
des suites complexes
vérifiant la relation de récurrence : ∀n ∈
E
−→
C2
= aun+1 + bun . Montrer que Φ :
est un isomorphisme de C-ev et exprimer
(un )n∈N 7−→ (u0 , u1 )
Exercice 15
N , un+2
Φ−1 .
Exercice 16 : Soit A ∈ R[X] un polynôme non nul et f l’application qui à tout polynôme de R[X] associe
f (P ) = AP 0 − A0 P .
Montrer que f ∈ L(R[X]) et déterminer Ker f .
Exercice 17 : Soit a ∈ R et n ∈ N. On définit l’application f sur Rn [X] par f : P 7−→ P −P (a)−(X −a) P 0 −P 0 (a) .
Montrer que f est un endomorphisme de Rn [X] dont on déterminera le noyau.
Exercice 18 : Soient E, E 0 , F , F 0 des K-espaces vectoriel et ϕ un isomorphisme de E dans E 0 et ψ un isomorphisme
de F dans F 0 .
L(E, F ) −→ L(E 0 , F 0 )
Montrer que l’application Θ :
est bien définie et est un isomorphisme.
f
7−→ ψ ◦ f ◦ ϕ−1
Exercice 19 : Soient E, F deux K-espaces vectoriels et f, g ∈ L(E, F )
1. Montrer que Im (f + g) ⊂ Im f + Im g.
2. Est-ce que Im (f + g) = Im f + Im g ?
Exercice 20 : Soit f un endomorphisme de E, montrer les équivalences :
1. Ker(f ) = Ker(f 2 ) ⇐⇒ Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0E }.
2. Im(f ) = Im(f 2 ) ⇐⇒ Im(f ) + Ker(f ) = E.
2
Exercice 21 : Soit (f, g) ∈ L(E) . Montrer que f Ker(g ◦ f ) = Ker g ∩ Im f
Exercice 22 : Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent. Montrer que Ker(f ) et Im(f ) sont stables
par g.
2
Polynômes et endomorphismes
Exercice 23 : Soient P ∈ K[X] tel que P (0) 6= 0 et f ∈ L(E) tel que P (f ) = 0, montrer que f est un automorphisme
de E.
Ex : soit f ∈ L(E) tel que f 3 = f 2 + f + Id, montrer que f est un automorphisme de E et déterminer f −1 .
Exercice 24 : Soient P ∈ C[X] et λ ∈ C une racine de P et f ∈ L(E) tel que P (f ) = 0, montrer que f − λId n’est
pas injective.
Exercice 25 : Soient n ∈ N∗ et f un endomorphisme de L(E) tel que f n = 0L(E) . Montrer que Id − f est un
automorphisme de E et préciser son inverse.
Exercice 26 : Les projecteurs :
1. Soient λ ∈ K\{0} et E un espace vectoriel et f ∈ L(E) une application linéaire vérifiant f 2 = λf .
(a) Montrer que Im(f ) = ker(f − λId).
(b) Montrer que E = ker f ⊕ Im f .
(c) Déterminer a ∈ K tel que af est un projecteur de E.
2. Soit u ∈ L(E) une application linéaire vérifiant u3 = u. Montrer que E = Ker u ⊕ Im u2 = Ker u2 ⊕ Im u.
Exercice 27 : Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) un endomorphisme de E vérifiant la relation f 3 = IdE .
Montrer que Im (f − IdE ) = Ker (f 2 + f + IdE ).
Exercice 28 : Soit f ∈ L(E) tel que f 3 = f 2 + f . Montrer que E = Kerf ⊕Imf .
(On pourra remarquer que f ◦ (f 2 − f − id) = 0L(E) .)
Exercice 29 : Soit E un R-espace vectoriel et soit F l’ensemble des endomorphismes ϕ de E qui vérifient :
ϕ2 − 7ϕ + 12id = 0.
1. Montrer que F est non vide.
2. On suppose que ϕ ∈ F
a. Vérifier que p = ϕ − 3id est un projecteur de E.
b. Montrer qu’il existe a ∈ R∗ tel que q = a(ϕ − 4id) est un projecteur de E.
Que peut-on dire de p ◦ q, de q ◦ p de p + q ?
c. En déduire que E = Ker(ϕ − 3id) ⊕ Ker(ϕ − 4id).
d. Déterminer pour n ∈ N∗ , ϕn en fonction de p et q.
Supplémentaires
Exercice 30 : Soit E = F(R, R), on considère les ensembles suivants :
F = f ∈ E f (1) = 0 et G = f ∈ E ∃ a ∈ R tel que ∀ x ∈ R, f (x) = ax
Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E.
n
P
n
Exercice 31 : On considère E = R , on considère l’ensemble H = (x1 , . . . , xn ) ∈ E |
xi = 0 . Montrer que H
i=1
est un sous-espace vectoriel de E, trouver une base de H et un supplémentaire de H dans E.
Exercice 32 : Soient p ∈ N, Q un polynôme non nul de R[X] de degré p + 1 et
F = {P ∈ R[X] | Q|P dans R[X] }
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de Rn [X].
2. Montrer que R[X] = F ⊕ Rp [X].
Exercice 33 : Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.
1. Montrer que E = Ker(f ) ⊕ Im(g).
2. Montrer que f (Im(g)) = Im(f ).
Exercice 34 : On considère E = C 1 (R, R) et F = f ∈ E f (0) = f 0 (0) = 0 .
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E.
3
Exercice 35 : Soit A, B, C et D quatre sous-espaces vectoriels de E tels que E = A ⊕ B = C ⊕ D.
On suppose que A ⊂ C et B ⊂ D. Montrer que A = C et B = D.
Exercice 36 :
1. Soit a ∈ R, et Fa = {f ∈ F(R, R) f (a) = 0}. Fa est-il un sev de F(R, R) ?
2. Soient a et b deux réels distincts, montrer que F(R, R) = Fa + Fb .
3. Que vaut Fa ∩ Fb ? A-t-on F(R, R) = Fa ⊕ Fb ?
4. Déterminer un sous-espace G de F(R, R) tel que tout élément de F(R, R) s’écrit de manière unique comme
somme d’un élément de Fa ∩ Fb et d’un élément de G.
Projecteurs, symétries
Exercice 37 : Soient p et q deux projecteurs de E. Montrer que p et q ont le même noyau si et seulement si p = p ◦ q
et q = q ◦ p.
Exercice 38 : Soit p un projecteur de E.
1. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel A de E : p−1 (A) = (A ∩ Im(p)) ⊕ Ker(p).
2. Montrer qu’un sous-espace vectoriel de E est stable par p si et seulement s’il est somme d’un sous-espace vectoriel
de Ker(p) et d’un sous-espace vectoriel de Im(p).
Exercice 39 : Soient p et q deux projecteurs de E.
1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.
a. p + q est un projecteur.
b. p ◦ q + q ◦ p = 0.
c. p ◦ q = q ◦ p = 0.
2. On suppose désormais que l’une de ces conditions est réalisée.
a. Montrer que Im(p) ⊂ Ker(q) et Im(q) ⊂ Ker(p).
b. Montrer que Ker(p + q) = Ker(p) ∩ Ker(q)
c. Montrer que Im(p + q) =Im(p)⊕Im(q).
Exercice 40 : Soit E un R-espace vectoriel et soit F l’ensemble des endomorphismes ϕ de E qui vérifient :
ϕ2 − 7ϕ + 12id = 0.
1. Montrer que F est non vide.
2. On suppose que ϕ ∈ F
a. Vérifier que p = ϕ − 3id est un projecteur de E.
b. Montrer qu’il existe a ∈ R∗ tel que q = a(ϕ − 4id) est un projecteur de E.
Que peut-on dire de p ◦ q, de q ◦ p de p + q ?
c. En déduire que E = Ker(ϕ − 3id) ⊕ Ker(ϕ − 4id).
d. Déterminer pour n ∈ N∗ , ϕn en fonction de p et q.
Exercice 41 : Soient E un K-espace vectoriel, p et q deux projecteurs de E tels que p 6= 0, q 6= 0 et p 6= q. Montrer
que (p, q) est une famille libre dans L(E).