Transcript TD 2 : APPLICATIONS LINÉAIRES

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TD 2 : APPLICATIONS LINEAIRES
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2014-15
Fiche 1
Question de cours :
1. Montrer que l’application ϕ :
C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) est un endomorphisme.
f
7→
f 0 + 2f
D´eterminer le noyau de ϕ.
2. Soit E un R−espace vectoriel et u ∈ L(E). Soit λ ∈ R. On pose F = {x ∈ E / u(x) = λx}.
Justifier que F est un sous-espace vectoriel de E.
3. Soient E et F deux K−espaces vectoriels. On suppose que f est un isomorphisme de E dans F . Que signifie
cette hypoth`ese ?
On suppose de plus que E est de dimension finie, que dire alors de F ?
Montrer que f −1 est un isomorphisme de F dans E.
Exercice 2.1
Sur E = Rn [X], on d´efinit les n + 1 formes lin´eaires suivantes : ϕk : P 7→ P (k) (0) avec k ∈ {0, . . . , n}.
Montrer que la famille (ϕ0 , . . . , ϕn ) est une base de E ∗ = L(E, R).
Exercice 2.2
R3
→ R3
Soit f :
.
(x, y, z) 7→ (x − y, x + y + z, 2x − 3z)
Montrer que f ∈ L(R3 ), d´eterminer ker f et Im f .
Donner la matrice de f dans la base canonique de R3 .
Exercice 2.3
Soit p, q deux projecteurs de E. Qu’est-ce qu’un projecteur ?
Montrer que p ◦ q = p si et seulement si ker q ⊂ ker p.
Donner un exemple de tels projecteurs.
Magali Hillairet
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Lyc´ee Franklin, Orl´eans
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Fiche 2
Question de cours :
1. D´efinir l’image et le noyau d’une application lin´eaire de E dans F (deux K−espaces vectoriels).
D´efinir le rang d’une application lin´eaire.
2. Soit n ∈ N∗ et Soit f :
Mn (R) → Mn (R) .
t
M
7→
M
Montrer que f est une application lin´eaire. D´eterminer son noyau, son image et la dimension de ces espaces.
3. Soit p un projecteur de E. Qu’est-ce qu’un projecteur ?
Que pouvez-vous dire que Im p et ker p ?
Exercice 2.4
Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel E. Montrer que
u ◦ v = 0 ⇐⇒ Im v ⊂ ker u
Exercice 2.5
Rn [X] → R1 [X]
.
P
7→ P (α)X + P (β)
Montrer que f est une application lin´eaire. En d´eterminer l’image et le noyau.
Donner sa matrice dans les bases canoniques de Rn [X] et R1 [X].
Soit n ∈ N et (α, β) ∈ R2 tels que α 6= β. On d´efinit f :
Exercice 2.6
Soit (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 .
Soit u l’endomorphisme de R3 d´efini par u(e1 ) = e2 − e3 , u(e2 ) = e3 − e1 et u(e3 ) = e1 − e2 .
L’endomorphisme u est-il un projecteur de R3 ? Im u et Ker u sont-ils suppl´ementaires dans R3 ?
Exercice 2.7
Soient p et q deux projecteurs de E tels que p ◦ q = −q ◦ p.
1. Prouver que p + q est un projecteur.
2. Montrer que p ◦ q = q ◦ p = 0.
3. Montrer que Im (p + q) = Im p
Magali Hillairet
L
Im q.
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Fiche 3
Question de cours :
1. Soit ϕ :
C 0 ([0, 1], R) →
Z
f
7→
1
R
. Montrer que f est une forme lin´eaire.
f (t) dt
0
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2. Enoncer
le th´eor`eme du rang.
3. Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie. Soit u ∈ L(E). Les propri´et´es suivantes sont-elles vraies
ou fausses ? (justifier ou donner un contre-exemple) :
• ker u ⊂ ker u2
L
• E = ker u Im u
• ker u2 ⊂ ker u
Exercice 2.8
Soit F = Vect((1, 1, 1)) et G = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y + z = 0}.
1. Montrer que F et G sont suppl´ementaires dans R3 .
2. On note p la projection vectorielle sur G parall`element `a F . D´eterminer la matrice de p dans la base canonique de R3 .
Exercice 2.9
Soient E, F deux K−ev de dimension finie. Soient u et v deux applications lin´eaires de E vers F .
Montrer que rg(u + v) ≤ rgu + rgv et en d´eduire : |rgu − rgv| ≤ rg(u + v).
Exercice 2.10
Soit u un endomorphisme lin´eaire de E tel que u2 − 5u + 6Id = 0.
D´emontrer que E = ker(u − 2IdE ) ⊕ ker(u − 3IdE ).
Magali Hillairet
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Etape
3 : des exercices plus complets
Les exercices propos´es sont du type de ceux que vous aurez `
a l’oral, en devoir,...
Exercice 2.11
Soit f un endomorphisme d’un K−espace vectoriel E de dimension n. On suppose que f n = 0 et f n−1 6= 0 (on dit
que f est nilpotent d’indice n).
1. Montrer qu’il existe x0 ∈ E tel que la famille C = (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) est une base de E.
2. On pose L = {g ∈ L(E)/ f ◦ g = g ◦ f }.
a. Montrer que L est un K−espace vectoriel de dimension finie.
b. Soit g ∈ L. On note (α0 , α1 , . . . , αn−1 ) les coordonn´ees de g(x0 ) dans la base C. Montrer que g =
α0 IdE + α1 f + · · · + αn−1 f n−1 .
c. D´eterminer une base de L.
Exercice 2.12
Soient E, F et G des K−ev de dimension finie. Soient u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G).
1. Montrer que rg(v ◦ u) = rgu − dim(Im u ∩ Ker v).
2. D´emontrer que max{0, rgu + rgv − dim F } ≤ rg(v ◦ u) ≤ min{rgu, rgv}.
3. Soit f ∈ L(E). Montrer que dim(Ker (f 2 )) ≤ 2 dim(Ker f ).
Exercice 2.13
Soit u un endomorphisme d’un K−ev E.
1. D´emontrer que ker u = ker u2 ⇐⇒ ker u ∩ Im u = {0E }.
2. D´emontrer que Im u = Im u2 ⇐⇒ Im u + ker u = E.
3. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante pour que Im u et ker u soient suppl´ementaires dans E.
4. D´eterminer un endomorphisme u tel que Im u = Im u2 , ker u = ker u2 et u 6= u2 .
Exercice 2.14
3
Soit f ∈ L(E) tel que fL
= f .LOn pose E1 = {x ∈ E / f (x) = x} et E−1 = {x ∈ E / f (x) = −x}.
Montrer que E = ker f
E1 E−1 .
Exercice 2.15
Produit de deux projecteurs
Soient p et q des projecteurs de E.
1. D´emontrer l’´equivalence entre les assertions suivantes :
(1) p ◦ q = q ◦ p et L
L
L
(2) E = ker p ∩ ker q Im p ∩ ker q Im q ∩ ker p Im p ∩ Im q.
2. On suppose que p et q commutent pour la loi ◦.
a. Montrer que p ◦ q et p + q − p ◦ q sont des projecteurs de E.
b. Montrer que Im p ◦ q = Im p ∩ Im q et ker p ◦ q = ker p + ker q.
c. En d´eduire que Im (p + q − p ◦ q) = Im p + Im q et ker(p + q − p ◦ q) = ker p ∩ ker q.
Exercice 2.16
Soient E un K−espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). On veut montrer l’´equivalence des assertions
suivantes :
(1) Ker u = Im u.
(2) u2 = 0 et ∃v ∈ L(E)/ u ◦ v + v ◦ u = IdE .
Magali Hillairet
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1. Montrer (2) =⇒ (1).
2. R´eciproquement, on suppose que Ker u = Im u.
a. Montrer que u2 = 0.
b. Pourquoi peut-on se donner un suppl´ementaire I de Ker u dans E ?
c. Montrer que ∀x ∈ E, ∃!(y, z) ∈ I/ x = y + u(z).
d. En d´eduire l’existence d’une application v ∈ L(E) telle que u ◦ v + v ◦ u = IdE .
Exercice 2.17
Soit E un K−espace vectoriel de dimension n et F1 , . . . , Fk une famille de sous-esapces vectoriels non nuls de E.
On suppose que E est somme directe des Fi .
M
Pour tout i ∈ [[1, k]], on note pi le projecteur sur Fi parall`element `a
Fj .
j6=i
1. Justifier que Vect(p1 , . . . , pk ) est de dimension k.
2. Soit f ∈ L(E). Montrer que ∀i ∈ [[1, k]], pi ◦ f = f ◦ pi
⇐⇒
∀i ∈ [[1, k]], f (Fi ) ⊂ Fi .
On suppose que f commute avec tous les pi , donner la forme de la matrice de f dans une base adapt´ee `
a la
d´ecomposition de E suivant les Fi .
3. On note ∆ l’ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec tous les ´el´ements de Vect(p1 , . . . , pk ).
Montrer que ∆ est un K−espace vectoriel. D´eterminer sa dimension.
Exercice 2.18
On note B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de R4 et C ∞ (R, R) l’ensemble des fonctions de classe C ∞ sur R.
Pour v = (a, b, c, d) ∈ R4 , on note hv : R →
R
.
x 7→ (ax + b) cos x + (cx + d) sin x
On note enfin V = {hv , v ∈ R4 }.
1. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de C ∞ (R, R).
2. D´emontrer que l’application φ : v 7→ hv est un isomorphisme de R4 sur V .
En d´eduire que B = (he1 , he2 , he3 , he4 ) est une base de V .
3. Pour v = (a, b, c, d) ∈ R4 , on note ψ(hv ) l’application d´efinie sur R par ψ(hv ) : x 7→ h00v (x) + hv (x).
a. Exprimer cette application en fonction de cos, sin, a, b, c, d.
b. D´emontrer que ψ est un endomorphisme de V .
c. D´eterminer ker(ψ).
d. Quel est le rang de ψ ? D´eterminer une base Im (ψ).
4. R´esoudre l’´equation diff´erentielle : y 00 + y = cos x.
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