Transcript 357_Prsentation-LAG-Pos-2012 - GIPSA-lab

Une introduction aux
systèmes linéaires positifs
C.Commault
Laboratoire d’Automatique de Grenoble
FRANCE
Systèmes linéaires positifs
1
•
•
•
•
•
•
C’est quoi ?
Des exemples
Des difficultés nouvelles
Caractérisation
Les points de vue état et entrée-sortie
L’atteignabilité
Systèmes linéaires positifs
2
• Un système qui à une entrée positive
associe une sortie positive
• Une représentation d’état avec les mêmes
conditions + état positif si état initial positif
Systèmes linéaires positifs
3
• Des systèmes à variables physiques positives
par nature (niveaux, débits, concentrations,
…). Exemple : problèmes de bacs.
• Modèles à compartiments : applications en
médecine, cinétique chimique, …
• Modèles économiques (Leontieff, …)
• Modèles de dynamiques de population.
• …..
Systèmes linéaires positifs
4
u2
Variables naturellement positives
x1
u2
x2
y1
Systèmes linéaires positifs
x3
y2
5
x1
x2
xi = quantité de produit
dans le compartiment i
x4
x3
n
xi (t )   f ii ( xi )   f ji ( x j )  ui (t )
j 1
j i
avec
n
 f ii ( xi )   f ij ( xi )  0
j 1
j i
Systèmes linéaires positifs
6
2
1
i = probabilité que le système
soit dans l’état i
3
4
6
5
n
 i (t )  ii i (t )    ji j (t )
j 1
j i
avec
 ji : taux de transit ion entrel' état j et l' état i
ii : taux de sortieentrel' état i
Systèmes linéaires positifs
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2
1
xi = valeur de la variable au noeud i
3
4
6
5
x i (t ) 
 ( x (t )  x (t ))
j
i
jvoisin de i
x (t )   Lx(t )
Systèmes linéaires positifs
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xi = quantité fabriquée d’un produit i
bi = consommation du produit i
aij = quantité de produit j nécessaire pour fabriquer une unité de i
n
x i   aij x j  bi
A et b positives
j 1
x  Ax  b
Equilibre du marché positiond' équilibre  0 et stable du systèmedynamique
x(k  1)  Ax(k )  bu(k )
Systèmes linéaires positifs
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• Commandabilité = rang [B, AB, …, An-1B] = n
• Commandable → stabilisable
• Fonction de transfert avec dénominateur de degré n → réalisation d’ordre n
• En multivariable idem avec degré de McMillan
• Il existe des réalisations sympathiques : formes canoniques, Jordan, …
• Résultats très similaires en continu et en discret
• Vérification de propriétés par des méthodes d’algèbre linéaire (Matlab)
Plus rien ne marche avec les systèmes positifs !
Systèmes linéaires positifs
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0 1
1
x(k  1)  
x
(
k
)

u (k )



0 0
1
x(0)  0
Système à comportement positif, atteignable car
Etats atteignables au pas 2
1 1
R

1
0


x2
 u (1) 
x  R

u
(
0
)


1
A partir du pas 3 : 0
x1
1
Systèmes linéaires positifs
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1 1
1
x(k  1)  
x
(
k
)

u (k )



0 1
1
x(0)  0
1 2
Système à comportement positif, atteignable car R  

1 1
Etats atteignables au pas k
u (k  1)
1 .... k  

x(k )  
:


1 ... 1   u (0) 


0 
1 
  Atteignable avec u(0) = 2, u(1) = -1
x2
2
1
x1
1
Systèmes linéaires positifs
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Stabilisation par retour d’état
x(k  1)  2 x(k )  u (k )
u (k )  fx(k ), avec f  0
x(k  1)  (2  f ) x(k )
Pour la stabilisation et la rapidité,
Le mieux est de ne rien faire !
instablef
Systèmes linéaires positifs
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Cas discret
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k )
y(k )  Cx(k )
 x0  0,  u(i)  0   i x(i)  0 et y(i)  0
x(0)  x0
Condition nécessaire et suffisante
A  0, B  0, C  0,
Systèmes linéaires positifs
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Cas continu
x (t )  Ax(t )  Bu(t )
y(t )  Cx(t )
 x0  0,  u(t)  0   t
x(t)  0 et y(t)  0
x(0)  x0
Condition nécessaire et suffisante
B  0, C  0
aij  0  i  j
Systèmes linéaires positifs
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R doit êtreinvariantpour u  0
n
x3
n
x doit " pointer ve
rs l' intérieur"de R
aux étatsfrontière
x
En fait condition équivalente à :
e At  0
Systèmes linéaires positifs
x2
x1
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Définition :
Pour toute entrée ≥ 0, sortie ≥ 0
Condition nécessaire et suffisante (en continu et en discret)
Réponse impulsionnelle ≥ 0
Systèmes linéaires positifs
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Par définition
Positif état
Positif entrée-sortie
Pas gagné
Positif entrée-sortie
Il existe une réalisation positive
Condition nécessaire et suffisante (en continu) [O’Cinneide, Farina]
• La réponse impulsionnelle est strictement positive pour t > 0
• Le pôle dominant est unique et réel
Systèmes linéaires positifs
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Problème encore très largement ouvert
Avis aux amateurs !
Référence avec des tas d’exemples :
A tutorial on the positive realization problem
L. Benvenutti, L. Farina
IEEE TAC, 04
Systèmes linéaires positifs
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1) Les valeurs propres d’une matrice « positive » d’ordre n ne
peuvent pas être n’importe où
Im
/3
Exemple : ordre 3
Re
Valeur propre
dominante
2) Autre condition : pas de zéro à droite du pôle dominant
Constat affligeant :
On ne sait même pas résoudre complètement à l’ordre 3 !
Systèmes linéaires positifs
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R : ensembledes étatsatteignables avecune entrée 0
Propriétés :
1) R  Rn


2) R  Im B, AB,..., An 1 B  Im(R)
3)  x  R  x  R    0  R est un cône
4)  x1 , x2  R  x1  (1   ) x2  R  0    1  R est convexe
De plus :
Le cône est solide (de dimension n) si R de rang n.
Systèmes linéaires positifs
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• Egal à R+n : système positivement atteignable
• Polyédral : engendré par un nombre fini de vecteurs
• A fermeture polyédrale : voir exemple
• En « cornet de glace »
x3
x2
x1
Systèmes linéaires positifs
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Propriété (Fanti et al, 90) :
Si le système est positivement atteignable alors
il est positivement atteignable en n pas.
 x  Rn ,  u( 0),...,u (n  1)  0 tellesque x(n) x
c' est  à  dire
 u (n  1) 
u (n  2)

x  [ B, AB,..., An 1 B]
 : 


u
(
0
)


Systèmes linéaires positifs
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Définitions :
• vecteur monomial : une composante > 0, les autres nulles.
• matrice monomiale : matrice nxn dont les colonnes sont monomiales
et indépendantes
Propriétés :
• une matrice monomiale M s’écrit M = D.P, où P est une matrice de
permutation et D une matrice diagonale strictement positive.
• les matrices monomiales sont les seules matrices positives à inverse
positive.
Systèmes linéaires positifs
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 u (n  1) 
u (n  2)

x  [ B, AB,..., An 1 B]
 : 


 u ( 0) 
Observation :
Il faut et il suffit qu’on trouve une solution pour les vecteurs de base.
On peut extraire de R une sous-matrice monomiale.
Systèmes linéaires positifs
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R est une matrice monomiale.
0
0
 
b  b j 
 
0
 0 
 a1 j 
 0 
a 
a b 
2
j
 
 ij j 
Ab  b j  :  monomial Ab   0  avec i  j  j ème colonnede A monomiale
 


:
0
 


 anj 
 0 
 
Systèmes linéaires positifs
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Après mise en ordre des états
0 0
x 0
A
0 x

0 ...
...
...
...
x
x
 x
0 
x 
, B   , où les x sont des nombresstrictement positifs.
:
:

 
x
0 
Observation 1:
Il y peu de chances que ça arrive !
u
x1
x2
Systèmes linéaires positifs
xn-1
xn
Observation 2:
Propriété structurelle !
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Buisson mort
Tiges simples
x
u
Tiges avec bouton
Systèmes linéaires positifs
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Ak b j est i - monomial  un cheminde longueur k  1 de u j à xi et
pas de cheminde longueur k  1 de u j à xl pour l  k
La condition doit être vérifiée pour tout sommet d’état.
Systèmes linéaires positifs
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• Positive linear Systems : L. Farina, S. Rinaldi, Wiley, 2000.
• Compartmental Analysis in Biology and Medecine : J.A. Jacquez, Univ. Mich.,
1985.
• Proceedings Positive Systems: Theory and Applications (POSTA) 2003 (Rome),
2006 (Grenoble), 2009 (Valence), Springer.
• Reachability, Observability and Realizability of continuous time positive systems,
Y. Ohta, H. Maeda, S. Kodama, SIAM J. Cont., 1984.
• Characterization of phase-type distributions C.A. O’Cinneide, Stochastic Models,
1990.
• On the reachability in any fixed time for positive continuous-time linear systems,
C. Commault, M. Alamir, SCL 2007.
• Phase-type distributions and representations: some open problems for system
theory, C. Commault, S. Mocanu, IJC, 2003.
Systèmes linéaires positifs
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 Un domaine de recherche avec de nombreux domaines d’application,
parfois exotiques.
 Des problèmes théoriques intéressants faisant appel à des outils
mathématiques variés (analyse convexe, graphes, …)
Les offres de collaboration seront examinées avec intérêt !
Systèmes linéaires positifs
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