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Introduction à l’étude des systèmes asservis linéaires (SAL)
mono variables en régime continu.
A. Principe de superposition.
système linéaire : modélisation (étude)  équation différentielle linéaire
(coefficients constants)
mono variable: entrée et sortie uniques
linéarité: réponse (sortie) générale  somme des réponses des différentes
excitations (entrées)
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B. Rappel des lois fondamentales utiles en automatique.
1. Mouvement de translation.
* Ressort.

raideur k  allongement  force de rappel  kx

x
Masse M
M
ressort raideur k
d2x
dt
2

F
 F  kx ( une dimension )
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dy
force de frottement résistante : Ffrott   
dt
* frottement visqueux.
* Frottement sec: force de module constant opposée au mouvement
F
fc
dy
dt
-fc
* Frottement de Coulomb: pour une vitesse nulle, de sens opposé à la
vitesse
F
fs
dy
dt
-fs
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2. Mouvement de rotation (par rapport à un point ou un axe).
couple (t ), déplacement angulaire , vitesse angulaire  
d
dt
d d 2 
accélération angulaire
 2 , inertie J autour de l’ axe de rotation,
dt dt
d
d 2
1
 ( t )  J
 J 2 et énergie cinétique E  J 2
c
dt
2
dt
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C. Modélisation du moteur à courant continu.
- aimantation permanente
(flux constant)
- flux variable
(inducteur en série
avec induit ou alimenté
de façon autonome)
inducteur
induit
induit
Bobinage fixe
Bobinage fixe
inducteur
champ magnétique: bobinage fixe (inducteur)
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1. Moteur à aimantation permanente.
- LA: self-inductance d’induit (rotor)
- RA: résistance d’induit
- VA: tension d’alimentation
- IA: courant d’induit
- F: flux d’inducteur (constant ici)
- KT: constante de couple
- KE: constante de fém
M: couple en sortie du moteur
-- JM: moment d’inertie du moteur
- fM: coefficient de frottement visqueux
- M: position du rotor
- M: vitesse angulaire du rotor
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M=K FIA=KTIA (KT: constante de couple en N.m/A) + fcém KEM
modélisation:
* électrique : VA  R A I A  L A
* mécanique : J
2
d 
dt
M
2
d²
M
R
  A
L
 A
M
dt ²
J
dI A
dt
d
M
M
dt
 d
M
 M 
J  dt
M
f
 K E  M (fcém)
 K I f 
T A
K K
 E T
 L A J M
M
M


ΩM
L A J M 
R f
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A M

K
T
LAJM
V
A
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2. Moteur à courant continu à excitation séparée.
mêmes paramètres + :
- LF: self-inductance de l’enroulement
- RF: résistance de l’enroulement
- VF: tension d’alimentation inducteur
- IF: courant inducteur
M=K FIA et maintenant F=KFIF
IF constant: KT=KKFIF  M=K FIA  mêmes équations
self LA
RA
VF
self LF
RA
VA
IA
IF
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Chapitre 1 - Concepts fondamentaux.
1.1 Signaux et systèmes linéaires.
1. Signaux.
signal: évolution temporelle d'une grandeur physique
signaux analogiques déterministes sur t[0, ∞[ ou par segments
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2. Systèmes linéaires.
système: trait d'union entre signaux
modèle: représentation mathématique de grandeurs physiques
Sort ie
Entrée
SYSTEME
e(t )
s(t )
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analyse (étude) de SLI à fonctionnement continu
réponse s(t) (sortie) d'un SLI: fonction de l'entrée (excitation) e(t) et du système
SLI continu : ED ou système différentiel linéaire à coefficients
n
j
d s(t)
m
i
d e(t)
constants d' ordre n du type  b j
  ai
j
j 0
i0
dt
dt i
condition nécessaire de réalisabilité physique d’un SLI (causalité et énergie
finie): n>m
linéarité: superposition des états d’équilibre
SLI: sortie de même forme que l'entrée
problème: résolution mathématique limitée à n petit
outil en continu: transformation de Laplace (TL)  ED linéaire à coefficients
constants d'ordre n  équation algébrique de degré n
variable de Laplace: variable complexe p (ou s)
par TL: ED linéaire  fraction rationnelle en p  fonction de transfert (FT) 
mode de fonctionnement du système
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1.3 Etude d'un système
objet: automatiser (réguler) un système  comportement désiré autour d'un
point de fonctionnement
ensemble matériel: architecture (configuration) du système
objectifs requis nécessitant une stratégie de commande
régulation industrielle
définition d'un cahier des charges
recensement des variables
modélisation (identification) + validation des modèles
élaboration d'une architecture et d'une stratégie de commande
variables à mesurer et emplacement des capteurs
essais et vérification des performances
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Chapitre 2 - Représentation des systèmes.
2.1 Transformation de Laplace (T.L.)
TL unilatérale: fonction X(p (ou s)=a+jw) d’une variable réelle x(t) définie pour
t  0 et nulle pour t < 0 ( causalité):

X(p)   x(t)e pt dt
0
x(t) à énergie finie  intégrale toujours convergente
1  j
pt
TL inverse (TLI) : x(t) 
 X(p)e dp
2j - j
transformation linéaire  L{ixi(t)}=i[L{xi(t)}]=iXi(p)
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2.2 Fonction de transfert (FT).
1. Recherche d'une FT.
n
 bj
d js(t )
j
m
  ai
d i e(t )
i0
dt
dt i
hypothèse : système au repos à t  0 et conditions initiales (CI) nulles
j 0
n
m
 S(p )  b p  E(p )  a p i
j 0
j
j
i0
m
 F (p ) 
S( p )

E(p )
 aip
i0
n

j 0
b
i
i
pj

N(p )
D(p )
j
n
D(p )   b p j  0 : équation caractéristique de la FT (important)
j
j 0
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solutions de D(p)=0: pôles  modes de fonctionnement,
solutions de N(p)=0  zéros de la FT
systèmes réalisables(n>m): ordre  degré du dénominateur
2. Réponse d'un système.
F(p) et E(p): fractions rationnelles en p
utilité de la FT S(p)  s(t)=L-1{S(p)}=L-1{F(p).E(p)}
TL e(t) + FT  S(p)  s(t)
remarques :
S(p)={éléments simples de F(p)}+{éléments simples de E(p)}
pôles de F(p)  régime transitoire (fondamental: stabilité)
pôles de E(p)  régime forcé (permanent, établi ou définitif)
s(t): superposition régime forcé (entrée)
+ régime transitoire
(système)
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2.3 Etude fréquentielle (harmonique) d'un système.
régime harmonique: entrée en régime sinusoïdal permanent
SLI de FT F(p) commandé par sinusoïde  régime établi en sortie: sinusoïde
d'amplitude modifiée et déphasée par rapport à l’entrée
F(jw): réponse en fréquence (p  jw)
 étude fréquentielle: étude du module et de l'argument ou des parties réelle et
imaginaire de F(jw)
m
F( jw) 
i
 a i ( jw)
i0
n
 (w)e
 j( w )
 X(w)  jY(w)
k
 b k ( jw)
k 0
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représentation fréquentielle(issue des études en électricité): diagrammes de
Nyquist, Black, Bode et asymptotique  (,  et w) ou (X, Y et w)
possibilités:
- une courbe paramétrée en w (Nyquist et Black)
- deux courbes fonctions de w (Bode et diagramme asymptotique)
1. Lieu de Nyquist.
F(jw) en coordonnées polaires (phase en degrés)
arguments : référence axe réel positif, sens trigonométrique >0
échelle linéaire de modules
lieu décrit dans le sens des w croissants exploitable que gradué en w
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2. Lieu de Black .
échelle logarithmique des modules
dB=20log10 en fonction de  (°) avec axes orthogonaux
intérêt: systèmes en cascade (série) 
F( jw)  (w)e
n
 j( w)
n
n
  Fi ( jw)    i (w)e
i 1
i 1
 dB (wp )    i (wp )
i 1 dB
 j i ( w)
n
(wp )    i (wp )
i 1
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3. Lieu de Bode.
2 courbes séparées: dB et  en fonction de log w
octave: w multiplié ou divisé par 2
décade: w multiplié ou divisé par 10
log 
1
log w
0,1
,


log w

- ----2

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4. Diagramme asymptotique.
approximation du lieu de Bode  en général seulement pour F(jw)
évolution de bkwk (dénominateur) pour un octave sup
k
bk wi
1
k
k k
w  w i : b k w i w  2w i : b k 2 w i 

b k 2k wki
2k
 20 log
b wk
k
i
b k ( 2w i )
k
 6k dB par octave
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w
* termes 1  j
w
2
 1
i
w2
2
  (w : fréquence de cassure)
2
i
i
w
i

2
w  wi
 i  1  log  i  0
w  wi :
2
i
w
2
w
 2  log  i  log
w
w
i
i
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Chapitre 3 - FT des systèmes.
3.1 Systèmes en cascades.
e(t)
S1
v(t)
S2
s(t)
(S1) et (S2) F1(p) et F2(p) en série (cascade)
F(p)=S(p)/E(p)=F1(p) F2(p)
n
n FT Fi (p ) en cascade : F(p )   Fi (p )
i 1
attention: vrai si impédances cascades adaptées
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3.2 Systèmes en parallèle.
F 1 (p)
F(p ) 
s1 (t)
s(t)
e(t)
S( p )
 F (p )  F (p )
1
2
E(p )
+
F 2 (p)
n
n FT F (p ) en parallèle : F(p )   F (p )
i
i
i 1
s2(t)
3.3 Asservissement d’un système.
automatisation (régulation) : réponse à un cahier des charges 
- conception de systèmes périphériques
- élaboration stratégie de commande
- vérification validité d’action
structure générale d’un système asservi (SA):
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comparateur
e(t)
e(t)
Dispositif
d'entrée entrée ou
consigne
+
_ signal
correcteur ou
régulateur C(p)
d'erreur
y(t)
retour
i(t)
signal
de
commande
Installation à
automatiser
G(p)
Traitement du
signal capteur
Correcteur
H(p)
sortie s(t)
Capteur
- retour: capteur + information du traitement du signal capteur  signal de
sortie
- correcteur (régulateur) dans chaîne directe C(p)
- correcteur H(p) dans retour: amélioration de la dynamique ou anticipation de
commande:
signal
Actionneur + capteur
e(t)
+ d'erreur Correcteur commande
+ installation
e
C(p)
(t)
i(t)
entrée
G(p)
consigne
signal de retour
y(t)
sortie
s(t)
H(p)
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S(p)
C(p) G(p)
F(p) 

E(p) 1  H(p) C(p) G(p)
* chaîne directe: [C(p), G(p)] entre e(t) et s(t)
 FT: C(p)G(p)
* boucle ouverte (BO) : cascade [C(p), G(p), H(p)] entre e(t) et y(t)
 FTBO: W(p)=C(p) G(p) H(p)
* boucle fermée (BF): FT totale entre e(t) et s(t)
 FTBF: F(p)
C(p)G(p)
si H(p)  1 : SA à retour unitaire  F(p) 
1  C(p)G(p)
 chaîne directe et de BO identiques
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3.4 Quelques schémas équivalents.
A
x
+
y
A+B
y
+
B

+
K
x

+
_
K
_
K

+
K
+
_
K
_
K
A
+

B
+
AB
_
_
C/A
C
+
A
_

A
1  AB
B
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3.5 Présence de perturbations.
d(t)
signal
e(t) + d'erreur
Correcteur +
C(p)
entrée
e(t)
consigne
S(p) 
perturbation
+
Installation
G(p)
sortie
s(t)
G (p )
C(p)G(p)
D(p) 
E(p)
1  C(p)G(p)
1  C(p)G(p)
mêmes dénominateurs: mêmes propriétés de stabilité
d(t) déplacée vers l’entrée: D(p)  C(p) D(p)
D(p)
vers la sortie : D(p) 
G (p )
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Chapitre 4 - Stabilité des systèmes linéaires.
4.1 Condition générale de stabilité.
* stabilité asymptotique: réponse revenant à l’équilibre initial après
perturbation
* instable: réponse tendant vers valeur non finie
* stabilité marginale (cas limite): amplitude finale finie avec oscillation autour
d'un état d'équilibre (auto oscillation ou pompage)
F(p): S(p)=F(p)E(p)+I(p, CI)
I(p, CI) dépend des CI et s'annule avec celles-ci
dénominateur commun D(p)
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décomposition de S(p) en éléments simples du type
Ai
p  zi
: z i  zéros réels de D(p ) (ordre 0)
B
i
2
(p  a i )  w
2
: z  a  jw
i
i
i
i
 s( t )   A i e
zit
  Bie
ait
sin(w i t   )
e(t)=0 : stabilité asymptotique si s(t)  0 quand t    zi et ai <0
condition nécessaire de stabilité: tous les pôles de FTBF à partie réelle négative
(pôles dans demi plan complexe gauche)
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4.2 Critère algébrique de stabilité.
1. Condition nécessaire de stabilité.
D(p)==pn+Bn-1pn-1+ ... B1p+B0=0
condition algébrique nécessaire de stabilité : tous les coefficients de D(p) de
même signe et non nuls
2. Règle de Routh.
conditions algébriques suffisantes de stabilité: critère de Routh (Hurwitz)
 tableau de Routh
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initialisation: coefficients de D(p) sur deux lignes avec coefficients des termes de
même parité
pn
1
pn-1
Bn-1
pn-2
_
+
C
Bn-2
C
Bn-5
D
E
4
D
B n 1
E
Bn-4
Bn-3
 coefficients C, D et E etc.
B n 1 B n  2  B n B n  3
Bn-4
Bn-7
B n 1 B n  4  B n B n  5
B n 1
B n 1 B n  6  B n B n  7
B
n 1
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ligne suivante: même schéma avec les termes des deux lignes la précédant divisés
par C et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne
système stable: tous les éléments de 1ère colonne non nuls et de même signe
si changements de signes  système instable
3. Oscillations (stabilité marginale).
coefficients d'une même ligne tous nuls: système oscillant
système marginalement stable ou instable ?
poursuite du tableau : ligne nulle remplacée par coefficients de la dérivée par
rapport à p du polynôme issu de la dernière ligne non nulle
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4.3 Critère (géométrique) du revers.
1. Enoncé.
FTBO (retour unitaire ) W(p)=C(p)G(p)  D(p)=1+W(p=0)
W(p=a+jw)=-1  point critique A(-1, 0) (limite de stabilité)
a=0: p=jw, W(p)=W(jw)  lieu de Nyquist C0
aC tel que W(pc)= -1: pC  racine du système en BF
a≠0: W(p)  lieu Ca
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critère du revers:
SA linéaire stable si, en décrivant le lieu de Nyquist dans le sens des fréquences
croissantes, on voit au passage de l’axe réel négatif le point critique A(-1, 0) sur
sa gauche
instable dans le cas contraire, marginalement stable si le lieu passe en A
2. Remarques.
W(p) FTBO mais conclusion sur la stabilité en BF
- si W(jw)=kG(jw): pour différents k  un seul tracé de G(jw) (fixe) et point
critique en (-1/k,0)
- intersection entre lieu et axe réel: FTB0 réelle  condition des gain et
pulsation d'auto-oscillation
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- critère transposable à d'autres lieux
lieu de Black: point critique sur sa droite (sens inverse de Nyquist)
plan de Bode: A(-1, 0)  amplitude = 1 et déphasage = 180°
système stable: amplitude < 0 dB quand  = -180°
- marges de sécurité (marges de gain Gm et de phase fm)
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Chapitre 5 - Analyse de la réponse d’un système.
5.1 Caractéristiques liées à la forme de la FT.
(jw)k en facteur dans D(jw): k intégrations ou de type k
étude sur le lieu de Nyquist
1. Points de départ (w→0).
* a0 et b0 non nuls.
gain statique F(0)=a0/b0 réel, positif et fini, point de départ du lieu
* b0 = 0 avec b1 et a0 non nuls
a
F( j 0)   j 0  imaginaire  0, module infini (type I )
b w
1
pied de l’asymptote: limite de Re{F(jw)} quand w 0 limite finie
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* b0 = b1 = 0 avec b2 et a0 non nuls
branche infinie horizontale, sens des réels <0
* b0 = b1 = .. = bk =0 avec bk+1 et a0 non nuls
branche infinie de direction k 90° (sens horaire)
2. Points d’arrivée (w→).
F( jw) 
am w
m
bn w
mn
j
et n  m  F( jw)  0 et arg F( jw)  (n  m)90
n
lieu  0 avec tan gente d' angle limite de (n  m)90 (sens horaire)
5.2 Réponses des systèmes linéaires du 1er ordre.
1. Etude fréquentielle.
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SLI d' ordre 1 (m  n )  G (p ) 
forme canonique : G (p )  k
a0
b 0  b 1p
1
 kG (p )
0
1  Tp
1
(u  wT )
0
1  ju
1
1 j(u )
étude de G0(u)=(u)e-j(u)=X(u)+jY(u) 

e
 1  ju
G (u ) (u )
réponse en fréquence réduite : G ( ju) 
(u  0)
0
 demi droite verticale d'abscisse 1 dans le plan complexe
G0-1(u)  G0(u): inversion géométrique de centre O puis symétrie par
rapport à l'axe réel  demi droite  demi-cercle de rayon 1/2 centré au
point (1/2, 0) ( demi plan inférieur)
 lieu de Nyquist de tout système d’ordre 1 en grandeurs réduites de gain et
de fréquence
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Im
_ u =0 ,25
1
(u )
-(u )
u =0
1
0
(u ) 0 ,5
(u )
Re
u =0 ,25
u =0 ,5
u =1
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 lieux de Bode et de Black
log G(u)
1
0 db,|G| = 1
log u
log G(u)

-6 db/octave
- 10 db,|G| = 0,1

Arctgu
- 20 db,|G| = 0,01

Arctgu
1
,
log u

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2. Etude temporelle.
a) Réponse indicielle (R.I): e(t)=E=const.
 KE 
réponse temporelle : s(t )  L1 
  KE[1  e
 p(1  Tp ) 
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
t
T]
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b) Réponse impulsionnelle RI)
ds(t ) KE
 dérivée de la réponse indicielle : s i (t ) 

e
dt
T

t
T
c) Réponse à une rampe
t


KE


1 
entrée e(t )   s(t )  L  2
  KE[t  T  Te T ]

 p (1  Tp ) 

régime forcé: terme (t-T)  pôles de E(p)
régime transitoire: Texp(-t/T)  pôles de la FT
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42
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43
5.3 Etude des systèmes d’ordre 2.
1. Etude fréquentielle.
a) Equations fondamentales. Coordonnées réduites.
ds(t )
d 2 s( t )
b 0 s( t )  b 1
 b2
 a 0e(t )
2
dt
dt
a0
S( p )
FT  CI  0 :
 G (p ) 
E(p )
b  b p  b p2
0
1
2
* Grandeurs réduites
b1  0 : oscillateur de pulsation propre non amortie w0 
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b
b
0
1
44
b
b
1
 zw et G (p ) 
0
2
b
2
2 0
w
a
G (p ) ( z : coefficient d' amortissement)
0
0
forme canonique : G 0 (p ) 
 FT réduite : G 0 (ju) 
2
1
2
p p
1  2z
 2
w0 w
0

w0
2
w 0  2 zw 0 p  p
2
1
ω
 j(u)
 ρ(u)e
(u 
 0)
ω
1  u 2  2jzu
0
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45
d G (u )
0
du
2
2
1  4u(1  u )  8z u

3
2
2 2
2 2
(1  u )  4z u 2


d G (u )
0
extremum de
du
: u(u ²  2z ²  1)  0
* u 0  0  G 0 ( 0)  1
* u R  1  2z
2
1
1
si z 
 et G 0 (u R ) 
2
2z 1  2z 2
z  1 : G 0 (u ) très grand si u  u R (résonance)
|G0(juR)|: coefficient de surtension
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46
b) Diagramme de Nyquist.
1
Y2
2
étude de
 1  u  j2zu  X  jY  X  1  2
G (u )
4z
0
famille de paraboles avec Y>0 (w>0) paramétrées en z, OX, axe de symétrie
et concavité vers les réels négatifs
1
2zu
Nyquist : inversion géométique de
avec tan  
1  u2
* symétrie par rapport à l'axe OxG (u)
0
* inversion géométrique de centre O et de rapport 1
 "cardioïde"
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47
2. Etude temporelle.
G (p ) 
a0
b 0  b 1p  b 2 p
2
N( p )

D(p )
deux modes: apériodique (pôles réels) ou pseudo périodique (pôles complexes
conjugués)
a) Systèmes apériodiques.
2 pôles réels 
G (p ) 
K
0
(1  T p )(1  T p )
1
2
* réponse indicielle : e(t )  E  const : 
1
s(t )  K E[1 
(T e
0
T2  T1 1

t
T1

T e
2
t
T2
)
ds(0)
 s(0)  0 : tangente horizontale à l' origine
dt
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48
* réponse à une rampe : S(p )  2
p
K 0E
(1  T1p )(1  T2 p )
t
t

2
2



T
T
T1
T2
1
2
s(t )  K 0 E t  (T1  T2 ) 
e

e
T1  T2
T1  T2


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




49
b) Systèmes pseudo périodiques.
G (p ) 
Aw
2
2
0
w 0  2 zw 0 p  p
2
2
racines de a  jw avec a   w 0 z , w  w 0 1  z et z  1
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50
 zw 0 t

s(t )  AE1  Ce
sin(wt   ) avec w  w 1  z 2
0


ds(0)
1
1 z
 s(0)  0  C 
et   Atn
2
2
dt
z
1 z
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2
51
* Taux de dépassement et temps de réponse
comportement pseudo périodique: 2 paramètres importants 
s max  s 
taux de dépassement : D 
s
temps de réponse : t 
r

w
0
1 z
2


w
(demi période d'oscillation réelle)
D%
80
60
40
20
z
0
0,1
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0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
52
1
D% 
e
100

z
1 z 2
par calcul ou abaque
régime harmonique: fonctionnements selon valeurs de z :
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53
Chapitre 6 - Critères de qualité des SA. Lieu d'Evans.
6.1 Performances des SA.
1. Conditions générales.
- fonctionnement sûr et sans pompage
- système précis
- régime transitoire amorti
- réponse rapide
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54
perturbation p1 (mesurable): action sur s(t) par G1
perturbation p2 (non mesurable): action directe sur s(t)

C
p
1
2
C GG
CG
1
1
1
S( p ) 
E(p ) 
P (p ) 
P (p )
1
1  CG
1  CG
1  CG 2
G1

 p sans action
1
G
absent si lim (CG )    FTBO type 1 au min imum
p0
2. Marges de stabilité et plan des racines.
stabilité nécessaire mais pas toujours suffisante (perturbations): marges de
sécurité
k
1
système d' ordre 1 : G(p) 
 racine réelle p  
1  p

stable si -1/t<0 mais si pôle proche de O: transitoire long
 abscisse acceptable à gauche de a<0
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55
I
R
x

ordre 2 : G(p )  2
p
a
0
2
0 0
K w
2
 2 zw 0 p  w 0
2
 racines a  jw   zw 0  w 0 1  z  transitoire  K 0e
at
sin(wt )
réponse indicielle:  zone interdite à droite d'un secteur d'angle ± avec 
tan  >  w/a  
amortissement : z 
a
a 2  w2
marges de gain + de phase  domaine utile de fonctionnement
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56
ordres de grandeur acceptables:
- marge de phase de 45° à 50°
- marge de gain de 10 à 15 dB
- angle d’amortissement =30 à 45° (z=0,45 à 0,5)
- dépassement transitoire 15 à 20
Im
domaine d’amortissement
acceptable
domaine stable mais
inacceptable
domaine
instable

x

a
x
0
Re

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57
6.2 Précision - Régime définitif.
1. Régime définitif des SAL. Gain en boucle ouverte.
G (p ) 
a
m
b
n
p
p
m
n
 ..  a
 ..  b
0
a
 F(p ) 
b
0
 gain statique K 0  F(0) 
n
p
n
m
p
m
 ..  a
0
 ..  (a  b )p  (a  b
1
1
0
a0  b0
t
p0
b0 le plus petit possible, soit K0 le plus grand possible
0
)
a0
* e( t )  u( t ) : précis si e( t )  0  lim e(t )  lim pe(p ) 
si b  0 : type I  G(p ) 
0
am p
p( b
n
p
m
1

a0
1
b
0
 ..  a 0
n 1
 ..  b )
0
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58
* e(t)=tu(t)  limite infinie si b00
n’a de sens que si b0=0  b1/a0=1/kv (kv=a0/b1: écart de traînage)
asservissement mono variable à retour unitaire: précision
asymptotique définie par lim e(t )  lim p
t 
p0
1
E(p )
1  C(p )G (p )
a q
1
a
si e(t )  t  e( )  lim
q
q!
p  0 1  C( 0)G ( 0) p
pas d’intégration en BO (C(0).G(0) fini) 
e() = constante si q=0 et → si q>0
K0
p
q
(1  b1p  ..)
 signal d' erreur constant ou infini
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59
intégrations dans
C(p)G(p)
e(t)= u(t)
écart de position e(∞) :
0
1
2
3
1
0:
optimal
0
0
0:
optimal
0
1K
1
e(t)=t u(t)
écart de traînage e(∞) :
0
∞
K
0
e(t)=at²/2 u(t)
écart d’accélération
e(∞)
1
∞
∞
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K
0:
optimal
0
60
2. Temps de réponse d'un système.
- système apériodique: réponse définitive à x % près
-système pseudo périodique: instant du 1er dépassement
 n  2 : tr 

w0 1  z
2
s(t )
sm ax
1.5
1,05
1
0,95
0.5
t
0
tr
T
t5%
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61
6.3 Méthode des lieux des pôles ou lieux d'Evans.
1. Introduction.
m
 (p  z i )
retour unitaire, FTBO kG(p )  k n1
, k réel  0
 (p  p j )
1
m
 ( z i )
gain statique K 0  k i n1
 ( p j )
(m  n )
j1
méthode d'Evans: fonctionnement d'un système d’ordre n quand k varie
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62
lieu avec n branches
départs et d’arrivée fixés par des valeurs extrêmes de k (0 et )
instable pour lieu dans demi plan droit
valeur de k du lieu coupant l’axe imaginaire: valeur critique (stabilité marginale
et fréquence de pompage limite)
2. Principe.
m
D(p )  1  kG(p ) avec G (p ) 
P(p )

Q( p )
 (p  z j )
j1
n
 F(p ) 
 (p  p i )
P(p )
Q(p )  kP(p )
i 1
1
1
D(p )  0  G (p )    G (p )  et argG (p )  ( 2  1)
k
k
n
m
i 1
j1
ou  (p  p i )  k  (p  z j )  0
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63
D(p )  0 :
m
* G (p ) 
 (p  z j )
1
1
j1
 condition des mod ules : n

k
k
 (p  p i )
i 1
* argG (p )  ( 2  1)  condition des angles :
m


n


 Arg (p  z j )   Arg (p  p i )  ( 2  1)180
j1
i 1
méthode d’Evans: FTBO et lieu gradué en k

Z 1M
1



M appartient au lieu si  P M P M k
2
 1

1  ( 1   2 )    2
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M
P1
P2
Im(s)



Re(s)
Z1
64
3. Règles pratiques de construction.
G (p i )  
1
(k réel et p i  a i  jw i )
k
n branches et lieu symétrique par rapport à l’axe réel
a) Points de départ (k=0).
kP(p)+Q(p)=0  Q(p)=0: n départs ( pôles de la FTBO)
b) Points d’arrivée(k  ∞).
P(p)=0  arrivées: m arrivées (zéros de la FTBO)
m<n  (n-m) directions asymptotiques (arrivées à l’infini)

angles (direction  , axe réel )  OX, O 
c) Point de concours des asymptotes.
(n - m)  2 : rencontre sur l’ axe réel en a 

(1  2 )

(n  m )
 pi   z j
n
m
nm
d) Branches réelles du lieu.
lieu réel: somme des pôles et zéros réels à la droite du point considéré impair
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65
e) Intersections avec l’axe imaginaire.
important car limites de stabilité (pompage) 
solution de D(jw)=0 ou critère de Routh: k annulant les coefficients d’une même
ligne puis fréquences par zéros du polynôme auxiliaire construit à partir de la
dernière ligne non nulle
f) Points de séparation de l’axe réel.
points où le lieu quitte l'axe réel  nécessité de 2 pôles ou 2 zéros réels contigus
séparation: 1+kG(x)=0  graphiquement ou
a lg ébriquement :
d
d 1
[1  kG(x)]  [
]  0 (x réel )
dx
dx G(x)
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g) Tangente en un point de départ ou d’arrivée complexe.
pour pôles ou zéros complexes  condition des angles en M infiniment voisin de
Pi ou Zi  Pi ou Zi remplacé par M sauf en Pi ou Zi
  Arg ( Z i M )   Arg ( Pi M )  ( 2  1)
h) Graduation du lieu.
axe réel: y=0  graduation par |G(x)|=1/k
p  x+jy: 2 équations  graduation et équation analytique du lieu
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67
Chapitre 7 - Identification et modélisation.
7.1 Modélisation.
nécessité de connaître la FT (ordre et coefficients)
* "modèle mathématique" (de connaissance): calculs compliqués
* "modèle de représentation": détermination expérimentale des coefficients de
la FT à partir d’observations et d’hypothèses
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7.2 Identification en BO: méthodes indicielles.
1. Modèle d’ordre 1: méthode de Broïda.
méthode de Broïda : G (p ) 
K 0e
 p
1  Tp
amplitudes à 28% et 40% de s()  t1 et t2
 T=5,5(t2-t1) et =2,8t1-1,8t2
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2. Modèle d’ordre 2.
a) Système pseudo périodique.
dépassement D% et temps de réponse tr  z et w0
b) Système apériodique: méthode du point d'inflexion.
réponse indicielle
s(t )  1 
1
(T1e
T1  T2

t
T1

 T2e
t
T2
)
x
inflexion : abcisse : t I 
Lnx ordonnée s I
x1
T1
x
et T  T ( x déterminé par abaque)
2
1
T
x
 1  (1  x)x 1 x
2
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70
SI
1-2/e _
0,2 _
x1
T1 
tI
xLnx
0,1 _
x1
T2 
tI
Lnx
x = T1/T 2
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71
c) Méthode de Cypkin.
réponse indicielle unitaire avec pôles p1 et p2 :
y(t)=1-Aexp(p1t) –Bexp(p2t)
e(t)=1-y(t)=Aexp(p1t) +Bexp(p2t)
e(t) échantillonné à période constante t=k 
à partir de e(n)=en, e[(n+1)en+1 et e[(n+2)en+2
 Y
e
n 2
e
e
p1
e
p 2
n
Y=
et X 
e
n 1
e
e
( p1  p 2 ) 
: droite dans le plan [X, Y]
n
e n +2
en
Y li m
+
+
++++
+
+
+
+
+ pente m
X li m
X=
en +1
en
p
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m=exp(p1)+exp(p2): pente de Y=f(X)
p=-exp(p1) exp(p2) (<0): ordonnée à l’origine 
x1=exp(p1) et x2=exp(p2) solutions de x2-mx+p=0 
p1=-1/T1 et p2=-1/T2
d) Système apériodique: méthode de Naslin.
réponse indicielle unitaire y(t)=1-Aexp(-t/T1)+Bexp(-t/T2)
e1(t)=1-y(t)= Aexp(-t/T1)-Bexp(-t/T2)
T2<T1 assez différents et t grand: Ln[e1(t)]~ -t/T1+LnA
 droite dans{t, Lne}
Lne (t)
1
LnA
Ln [e2(t)]=-t/T2+LnB  droite  T1 et T2
LnB
Lne (t)
1
Lne 2t)
pente -1/T1
pente -1/T2
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73
3. Modèle d'ordre n: méthode de Strejc.
G (p ) 
K 0e   p
(1  Tp )
n
Tu, Ta, s() et point d'inflexion I  n, T,  et k
si localisation assez précise de I: tI et sI  n et T (rare)
autrement, abaque de Strejc:
Tu et Ta : (Tu/Ta)mes comparé à (Tu/Ta)tab  n et T
retard  : /Ta= [(Tu/Ta)mes-(Tu/Ta)tab]
n=ne+nd non entier  valeur entière ne par développement limité
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74
4. Système intégrateur d'ordre n.
réponse indicielle de G(p ) 
K0
p(1  Tp )
n
:
t

n 1  


(
n

1
)
t
1
t


 
T
s(t )  K 0 t  nT  Te n 
 .. 

 
1! T
(n  1)!  T 

 




1  TB  TA 
0
t  nT et
fonction de n  T et n  1 
0
kt 0
4  TB  TA 
y
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2
75
7.3 Méthode harmonique.
signal sinusoïdal de faible amplitude superposé à l'entrée  FT
peu employée car
- expérience souvent très longue
- fréquences très différentes pouvant être très faibles
- attente du régime établi sinusoïdal non perturbé par transitoires
7.4 Méthodes ne comportant que des observations.
avantage: pas d’interventions sur l’entrée de l’installation
1. Méthodes de corrélation.
G(p) avec entrée aléatoire stationnaire e(t), spectre de fréquence Fee(jw) 
spectre en fréquence (sortie s(t)): Fss(jw)=G(jw)² Fee(w), interspectre
Fes(jw)=G(jw) Fee(jw)
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domaine temporel: intercorrélation entrée – sortie es()

 ( t )   g(  ) (   t )d
es
ee
0
ee dû à un bruit blanc  ee(t)=g(t): RI du procédé
2. Méthodes d’optimisation.
a  a p  ..
mod èle G (p )  0 1
 technique d' optimisation 
1  b p  ..
1
réglages ai et bi tels qu'un critère basé sur e rendu minimal
installation
s(t)
e(t)
_
Modèle
G(p)
+
T
0
Critère J
e
2
critères quadratique J   ε dt
T
et absolu J   ε dt
0
Algorithme de
minimalisation
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77
Chapitre 8 - Correction et commande des systèmes.
8.1 Notions sur les correcteurs.
1. Effets attendus des correcteurs.
but de la correction: entrée et sortie identiques
X: consigne à respecter
t
*  edt  0 avec variations faibles et/ou lentement variables :
0
 simple action ± X autour de X avec X=ke
k: gain d'action proportionnelle (constante)
commande: X+ke
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t
*  edt  0 mais variations brusques et/ou rapides :
0
réaction proportionnelle toujours en retard  oscillation autour de X
 e et de/dt (nécessité d'anticipation des variations)
de
 commande X  k (e  T
)
d dt
correction proportionnelle et dérivée (PD)
k: gain de l'action proportionnelle
Td: constante de temps de dérivée ou d'anticipation
t
1
*  edt  0  action intégrale
T
0
t
 edt
i0
Ti : constantede temps d' intégration
1
commande générale : X  k (e 
Ti
t
de
)
d dt
 edt  T
0
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chaîne de régulation avec correcteur PID
consigne
+
-
Réseau
correcteur
Régulateur :
comparateur
1
X  k( e 
Ti
t
 e dt  Td
0
de
)
dt
Système
variable de
commande
Charge ou
Grandeur réglée :
sortie
perturbation :
Capteur
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2. Réalisation des éléments de correction.
actions dérivées approchées par C(p ) 
a p
a
1  p
a
T p

d
1
Td
N
p
association des corrections 
C(p )  K (1 
C(p )  K 
1
Tp
i
1
Tp
i
C(p)  K(1 

)
a p
a
1  p
(semi parallèle)
a
a p
a
1  ap
(parallèle)
1
β
)(1  τ p)  α   γp (série)
a
Ti p
p
a
1
PID théorique : C(p )  K  bp   K (1  T p 
)
d
p
Tp
i
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3. Correction par avance ou retard de phase.
action unique sur le gain: stabilité et précision impossibles à satisfaire
ensembles
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a) Correction par avance de phase.
système instable: correction par avance de phase  augmentation phase d'une
valeur  près point critique
C (p)  a
a
1  p  1  a   1  a  1  ap

(a  1)


1  ap  2   2  1  ap
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réponse fréquentielle: demi cercle dans 1/2 plan supérieur
Ca ( jw)  tan  
(1  a )w 
2 2
1  aw 
 0
1 a
max imum de  :   Atn
 90  2Atn a
M
2 a
1 a
1
ou sin  
en w  
M
M
1 a
a
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gain correspondant: KM=a1/2<1
w<<1: Ca(jw)~a<1
w<<1/a: Ca(jw)~a(1+w) ~PD
w>>1/a: Ca(jw)~1

M
wM
log w
b) Correction par retard de phase.
1  ap
C r (p ) 
(a  1)
1  p
relation avance-retard: Cr(jw)dB=adB-Ca(jw)dB et r(jw)=-a(jw)
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w<1: peu d’atténuation
1  w 
1
1
C r (p ) 
a
1  p
w>>1/a: forte atténuation avec Cr(jw)~a
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8.2 Méthodes classiques de commande.
1. Méthode de la compensation du mode dominant.
pôle dominant compensé par zéro d'un PI, PD ou PID
 réduction de l'ordre et du temps de réponse
2. Méthode de Ziegler et Nichols.
essai indiciel en BO  réponse apériodique
y
e p
G (p )  a
p
a=tga
a
t

BO impossible: limite de pompage avec correcteur proportionnel P  sortie de
BF juste oscillante de période T0, de gain K0
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Ziegler et Nichols: paramètres de régulateurs
Transmittance
C(p)
Valeurs des paramètres du régulateur (Ziegler et Nichols)
du régulateur
Limite de pompage (K0,T0)
Essai indiciel (a,)
K 
K

1 
K 1 

 pTi 

1
K 1 
 pTi

 T p
d

K 
K 
1
K=0,5K0
a
0,9
Ti=3,3 
K=0,45K0
Ti=0,83T0
K=0,6K0
Ti=0,5T0
a
1, 2
a
Ti=2
Td=0,5
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Td=T0/8
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3. Polynômes à amortissement réglable (polynômes
normaux).
F( p ) 
d0
n
d n p  d n 1 p
n 1
 ..  d1p  d 0
rapports et pulsations caractéristiques (ordre n)
r 
k
d k2
d k 1d k 1
, w 
k
dk
d k 1
 r 
k
wk
w
k 1
rk tous même valeur r  r : rôle facteur d’amortissement
réponse dépendant essentiellement des 1ers rapports (presque exclusivement des
trois 1ers)
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a) Propriétés des polynômes caractéristiques.
w  r k w
0
 k
k (k 1)


2
 d  w k r
 k
0
dépassement D et rapport r (>1,6)  log(D%)=4,8-2r
2,2 2,2d1
temps de réponse (instant du 1er dépassement): t r  
w
d
0
0
b) Influence du numérateur.
'
'
'
d 0  d 1p  d 2 p
mod ifications si F(p ) 
d
n
p
n
 ..  d
1
2
pd
0
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* numérateur de degré 1 (d2'=0)
pulsation sup plémentaire : w' 
0
'
0
'
d
1
d
'
r remplacé par r'  1,5  2
w0
w
%
0
temps de réponse : t  2,2(
r
(1,8  log D )
1
1
 ')
w
0 2w 0
* numérateur du second degré
w'02 
d '0
d'
2
et 4z '2 
d '2
1
d' d'
0 2
 r remplacé par r'  1,5 
8z'3 w 02
w '2
0
(1,8  log D% )
1
1
temps de réponse : t r  2,2(
 ')
w 0 2w
0
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