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Introduction à l’étude des systèmes asservis linéaires (SAL)
mono variables en régime continu.
A. Principe de superposition.
système linéaire : modélisation (étude) équation différentielle linéaire
(coefficients constants)
mono variable: entrée et sortie uniques
linéarité: réponse (sortie) générale somme des réponses des différentes
excitations (entrées)
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B. Rappel des lois fondamentales utiles en automatique.
1. Mouvement de translation.
* Ressort.
raideur k allongement force de rappel kx
x
Masse M
M
ressort raideur k
d2x
dt
2
F
F kx ( une dimension )
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dy
force de frottement résistante : Ffrott
dt
* frottement visqueux.
* Frottement sec: force de module constant opposée au mouvement
F
fc
dy
dt
-fc
* Frottement de Coulomb: pour une vitesse nulle, de sens opposé à la
vitesse
F
fs
dy
dt
-fs
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2. Mouvement de rotation (par rapport à un point ou un axe).
couple (t ), déplacement angulaire , vitesse angulaire
d
dt
d d 2
accélération angulaire
2 , inertie J autour de l’ axe de rotation,
dt dt
d
d 2
1
( t ) J
J 2 et énergie cinétique E J 2
c
dt
2
dt
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C. Modélisation du moteur à courant continu.
- aimantation permanente
(flux constant)
- flux variable
(inducteur en série
avec induit ou alimenté
de façon autonome)
inducteur
induit
induit
Bobinage fixe
Bobinage fixe
inducteur
champ magnétique: bobinage fixe (inducteur)
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1. Moteur à aimantation permanente.
- LA: self-inductance d’induit (rotor)
- RA: résistance d’induit
- VA: tension d’alimentation
- IA: courant d’induit
- F: flux d’inducteur (constant ici)
- KT: constante de couple
- KE: constante de fém
M: couple en sortie du moteur
-- JM: moment d’inertie du moteur
- fM: coefficient de frottement visqueux
- M: position du rotor
- M: vitesse angulaire du rotor
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M=K FIA=KTIA (KT: constante de couple en N.m/A) + fcém KEM
modélisation:
* électrique : VA R A I A L A
* mécanique : J
2
d
dt
M
2
d²
M
R
A
L
A
M
dt ²
J
dI A
dt
d
M
M
dt
d
M
M
J dt
M
f
K E M (fcém)
K I f
T A
K K
E T
L A J M
M
M
ΩM
L A J M
R f
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A M
K
T
LAJM
V
A
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2. Moteur à courant continu à excitation séparée.
mêmes paramètres + :
- LF: self-inductance de l’enroulement
- RF: résistance de l’enroulement
- VF: tension d’alimentation inducteur
- IF: courant inducteur
M=K FIA et maintenant F=KFIF
IF constant: KT=KKFIF M=K FIA mêmes équations
self LA
RA
VF
self LF
RA
VA
IA
IF
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Chapitre 1 - Concepts fondamentaux.
1.1 Signaux et systèmes linéaires.
1. Signaux.
signal: évolution temporelle d'une grandeur physique
signaux analogiques déterministes sur t[0, ∞[ ou par segments
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2. Systèmes linéaires.
système: trait d'union entre signaux
modèle: représentation mathématique de grandeurs physiques
Sort ie
Entrée
SYSTEME
e(t )
s(t )
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analyse (étude) de SLI à fonctionnement continu
réponse s(t) (sortie) d'un SLI: fonction de l'entrée (excitation) e(t) et du système
SLI continu : ED ou système différentiel linéaire à coefficients
n
j
d s(t)
m
i
d e(t)
constants d' ordre n du type b j
ai
j
j 0
i0
dt
dt i
condition nécessaire de réalisabilité physique d’un SLI (causalité et énergie
finie): n>m
linéarité: superposition des états d’équilibre
SLI: sortie de même forme que l'entrée
problème: résolution mathématique limitée à n petit
outil en continu: transformation de Laplace (TL) ED linéaire à coefficients
constants d'ordre n équation algébrique de degré n
variable de Laplace: variable complexe p (ou s)
par TL: ED linéaire fraction rationnelle en p fonction de transfert (FT)
mode de fonctionnement du système
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1.3 Etude d'un système
objet: automatiser (réguler) un système comportement désiré autour d'un
point de fonctionnement
ensemble matériel: architecture (configuration) du système
objectifs requis nécessitant une stratégie de commande
régulation industrielle
définition d'un cahier des charges
recensement des variables
modélisation (identification) + validation des modèles
élaboration d'une architecture et d'une stratégie de commande
variables à mesurer et emplacement des capteurs
essais et vérification des performances
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Chapitre 2 - Représentation des systèmes.
2.1 Transformation de Laplace (T.L.)
TL unilatérale: fonction X(p (ou s)=a+jw) d’une variable réelle x(t) définie pour
t 0 et nulle pour t < 0 ( causalité):
X(p) x(t)e pt dt
0
x(t) à énergie finie intégrale toujours convergente
1 j
pt
TL inverse (TLI) : x(t)
X(p)e dp
2j - j
transformation linéaire L{ixi(t)}=i[L{xi(t)}]=iXi(p)
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2.2 Fonction de transfert (FT).
1. Recherche d'une FT.
n
bj
d js(t )
j
m
ai
d i e(t )
i0
dt
dt i
hypothèse : système au repos à t 0 et conditions initiales (CI) nulles
j 0
n
m
S(p ) b p E(p ) a p i
j 0
j
j
i0
m
F (p )
S( p )
E(p )
aip
i0
n
j 0
b
i
i
pj
N(p )
D(p )
j
n
D(p ) b p j 0 : équation caractéristique de la FT (important)
j
j 0
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solutions de D(p)=0: pôles modes de fonctionnement,
solutions de N(p)=0 zéros de la FT
systèmes réalisables(n>m): ordre degré du dénominateur
2. Réponse d'un système.
F(p) et E(p): fractions rationnelles en p
utilité de la FT S(p) s(t)=L-1{S(p)}=L-1{F(p).E(p)}
TL e(t) + FT S(p) s(t)
remarques :
S(p)={éléments simples de F(p)}+{éléments simples de E(p)}
pôles de F(p) régime transitoire (fondamental: stabilité)
pôles de E(p) régime forcé (permanent, établi ou définitif)
s(t): superposition régime forcé (entrée)
+ régime transitoire
(système)
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2.3 Etude fréquentielle (harmonique) d'un système.
régime harmonique: entrée en régime sinusoïdal permanent
SLI de FT F(p) commandé par sinusoïde régime établi en sortie: sinusoïde
d'amplitude modifiée et déphasée par rapport à l’entrée
F(jw): réponse en fréquence (p jw)
étude fréquentielle: étude du module et de l'argument ou des parties réelle et
imaginaire de F(jw)
m
F( jw)
i
a i ( jw)
i0
n
(w)e
j( w )
X(w) jY(w)
k
b k ( jw)
k 0
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représentation fréquentielle(issue des études en électricité): diagrammes de
Nyquist, Black, Bode et asymptotique (, et w) ou (X, Y et w)
possibilités:
- une courbe paramétrée en w (Nyquist et Black)
- deux courbes fonctions de w (Bode et diagramme asymptotique)
1. Lieu de Nyquist.
F(jw) en coordonnées polaires (phase en degrés)
arguments : référence axe réel positif, sens trigonométrique >0
échelle linéaire de modules
lieu décrit dans le sens des w croissants exploitable que gradué en w
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2. Lieu de Black .
échelle logarithmique des modules
dB=20log10 en fonction de (°) avec axes orthogonaux
intérêt: systèmes en cascade (série)
F( jw) (w)e
n
j( w)
n
n
Fi ( jw) i (w)e
i 1
i 1
dB (wp ) i (wp )
i 1 dB
j i ( w)
n
(wp ) i (wp )
i 1
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3. Lieu de Bode.
2 courbes séparées: dB et en fonction de log w
octave: w multiplié ou divisé par 2
décade: w multiplié ou divisé par 10
log
1
log w
0,1
,
log w
- ----2
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4. Diagramme asymptotique.
approximation du lieu de Bode en général seulement pour F(jw)
évolution de bkwk (dénominateur) pour un octave sup
k
bk wi
1
k
k k
w w i : b k w i w 2w i : b k 2 w i
b k 2k wki
2k
20 log
b wk
k
i
b k ( 2w i )
k
6k dB par octave
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w
* termes 1 j
w
2
1
i
w2
2
(w : fréquence de cassure)
2
i
i
w
i
2
w wi
i 1 log i 0
w wi :
2
i
w
2
w
2 log i log
w
w
i
i
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Chapitre 3 - FT des systèmes.
3.1 Systèmes en cascades.
e(t)
S1
v(t)
S2
s(t)
(S1) et (S2) F1(p) et F2(p) en série (cascade)
F(p)=S(p)/E(p)=F1(p) F2(p)
n
n FT Fi (p ) en cascade : F(p ) Fi (p )
i 1
attention: vrai si impédances cascades adaptées
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3.2 Systèmes en parallèle.
F 1 (p)
F(p )
s1 (t)
s(t)
e(t)
S( p )
F (p ) F (p )
1
2
E(p )
+
F 2 (p)
n
n FT F (p ) en parallèle : F(p ) F (p )
i
i
i 1
s2(t)
3.3 Asservissement d’un système.
automatisation (régulation) : réponse à un cahier des charges
- conception de systèmes périphériques
- élaboration stratégie de commande
- vérification validité d’action
structure générale d’un système asservi (SA):
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comparateur
e(t)
e(t)
Dispositif
d'entrée entrée ou
consigne
+
_ signal
correcteur ou
régulateur C(p)
d'erreur
y(t)
retour
i(t)
signal
de
commande
Installation à
automatiser
G(p)
Traitement du
signal capteur
Correcteur
H(p)
sortie s(t)
Capteur
- retour: capteur + information du traitement du signal capteur signal de
sortie
- correcteur (régulateur) dans chaîne directe C(p)
- correcteur H(p) dans retour: amélioration de la dynamique ou anticipation de
commande:
signal
Actionneur + capteur
e(t)
+ d'erreur Correcteur commande
+ installation
e
C(p)
(t)
i(t)
entrée
G(p)
consigne
signal de retour
y(t)
sortie
s(t)
H(p)
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S(p)
C(p) G(p)
F(p)
E(p) 1 H(p) C(p) G(p)
* chaîne directe: [C(p), G(p)] entre e(t) et s(t)
FT: C(p)G(p)
* boucle ouverte (BO) : cascade [C(p), G(p), H(p)] entre e(t) et y(t)
FTBO: W(p)=C(p) G(p) H(p)
* boucle fermée (BF): FT totale entre e(t) et s(t)
FTBF: F(p)
C(p)G(p)
si H(p) 1 : SA à retour unitaire F(p)
1 C(p)G(p)
chaîne directe et de BO identiques
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3.4 Quelques schémas équivalents.
A
x
+
y
A+B
y
+
B
+
K
x
+
_
K
_
K
+
K
+
_
K
_
K
A
+
B
+
AB
_
_
C/A
C
+
A
_
A
1 AB
B
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3.5 Présence de perturbations.
d(t)
signal
e(t) + d'erreur
Correcteur +
C(p)
entrée
e(t)
consigne
S(p)
perturbation
+
Installation
G(p)
sortie
s(t)
G (p )
C(p)G(p)
D(p)
E(p)
1 C(p)G(p)
1 C(p)G(p)
mêmes dénominateurs: mêmes propriétés de stabilité
d(t) déplacée vers l’entrée: D(p) C(p) D(p)
D(p)
vers la sortie : D(p)
G (p )
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Chapitre 4 - Stabilité des systèmes linéaires.
4.1 Condition générale de stabilité.
* stabilité asymptotique: réponse revenant à l’équilibre initial après
perturbation
* instable: réponse tendant vers valeur non finie
* stabilité marginale (cas limite): amplitude finale finie avec oscillation autour
d'un état d'équilibre (auto oscillation ou pompage)
F(p): S(p)=F(p)E(p)+I(p, CI)
I(p, CI) dépend des CI et s'annule avec celles-ci
dénominateur commun D(p)
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décomposition de S(p) en éléments simples du type
Ai
p zi
: z i zéros réels de D(p ) (ordre 0)
B
i
2
(p a i ) w
2
: z a jw
i
i
i
i
s( t ) A i e
zit
Bie
ait
sin(w i t )
e(t)=0 : stabilité asymptotique si s(t) 0 quand t zi et ai <0
condition nécessaire de stabilité: tous les pôles de FTBF à partie réelle négative
(pôles dans demi plan complexe gauche)
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4.2 Critère algébrique de stabilité.
1. Condition nécessaire de stabilité.
D(p)==pn+Bn-1pn-1+ ... B1p+B0=0
condition algébrique nécessaire de stabilité : tous les coefficients de D(p) de
même signe et non nuls
2. Règle de Routh.
conditions algébriques suffisantes de stabilité: critère de Routh (Hurwitz)
tableau de Routh
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initialisation: coefficients de D(p) sur deux lignes avec coefficients des termes de
même parité
pn
1
pn-1
Bn-1
pn-2
_
+
C
Bn-2
C
Bn-5
D
E
4
D
B n 1
E
Bn-4
Bn-3
coefficients C, D et E etc.
B n 1 B n 2 B n B n 3
Bn-4
Bn-7
B n 1 B n 4 B n B n 5
B n 1
B n 1 B n 6 B n B n 7
B
n 1
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ligne suivante: même schéma avec les termes des deux lignes la précédant divisés
par C et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne
système stable: tous les éléments de 1ère colonne non nuls et de même signe
si changements de signes système instable
3. Oscillations (stabilité marginale).
coefficients d'une même ligne tous nuls: système oscillant
système marginalement stable ou instable ?
poursuite du tableau : ligne nulle remplacée par coefficients de la dérivée par
rapport à p du polynôme issu de la dernière ligne non nulle
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4.3 Critère (géométrique) du revers.
1. Enoncé.
FTBO (retour unitaire ) W(p)=C(p)G(p) D(p)=1+W(p=0)
W(p=a+jw)=-1 point critique A(-1, 0) (limite de stabilité)
a=0: p=jw, W(p)=W(jw) lieu de Nyquist C0
aC tel que W(pc)= -1: pC racine du système en BF
a≠0: W(p) lieu Ca
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critère du revers:
SA linéaire stable si, en décrivant le lieu de Nyquist dans le sens des fréquences
croissantes, on voit au passage de l’axe réel négatif le point critique A(-1, 0) sur
sa gauche
instable dans le cas contraire, marginalement stable si le lieu passe en A
2. Remarques.
W(p) FTBO mais conclusion sur la stabilité en BF
- si W(jw)=kG(jw): pour différents k un seul tracé de G(jw) (fixe) et point
critique en (-1/k,0)
- intersection entre lieu et axe réel: FTB0 réelle condition des gain et
pulsation d'auto-oscillation
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- critère transposable à d'autres lieux
lieu de Black: point critique sur sa droite (sens inverse de Nyquist)
plan de Bode: A(-1, 0) amplitude = 1 et déphasage = 180°
système stable: amplitude < 0 dB quand = -180°
- marges de sécurité (marges de gain Gm et de phase fm)
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Chapitre 5 - Analyse de la réponse d’un système.
5.1 Caractéristiques liées à la forme de la FT.
(jw)k en facteur dans D(jw): k intégrations ou de type k
étude sur le lieu de Nyquist
1. Points de départ (w→0).
* a0 et b0 non nuls.
gain statique F(0)=a0/b0 réel, positif et fini, point de départ du lieu
* b0 = 0 avec b1 et a0 non nuls
a
F( j 0) j 0 imaginaire 0, module infini (type I )
b w
1
pied de l’asymptote: limite de Re{F(jw)} quand w 0 limite finie
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* b0 = b1 = 0 avec b2 et a0 non nuls
branche infinie horizontale, sens des réels <0
* b0 = b1 = .. = bk =0 avec bk+1 et a0 non nuls
branche infinie de direction k 90° (sens horaire)
2. Points d’arrivée (w→).
F( jw)
am w
m
bn w
mn
j
et n m F( jw) 0 et arg F( jw) (n m)90
n
lieu 0 avec tan gente d' angle limite de (n m)90 (sens horaire)
5.2 Réponses des systèmes linéaires du 1er ordre.
1. Etude fréquentielle.
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SLI d' ordre 1 (m n ) G (p )
forme canonique : G (p ) k
a0
b 0 b 1p
1
kG (p )
0
1 Tp
1
(u wT )
0
1 ju
1
1 j(u )
étude de G0(u)=(u)e-j(u)=X(u)+jY(u)
e
1 ju
G (u ) (u )
réponse en fréquence réduite : G ( ju)
(u 0)
0
demi droite verticale d'abscisse 1 dans le plan complexe
G0-1(u) G0(u): inversion géométrique de centre O puis symétrie par
rapport à l'axe réel demi droite demi-cercle de rayon 1/2 centré au
point (1/2, 0) ( demi plan inférieur)
lieu de Nyquist de tout système d’ordre 1 en grandeurs réduites de gain et
de fréquence
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Im
_ u =0 ,25
1
(u )
-(u )
u =0
1
0
(u ) 0 ,5
(u )
Re
u =0 ,25
u =0 ,5
u =1
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lieux de Bode et de Black
log G(u)
1
0 db,|G| = 1
log u
log G(u)
-6 db/octave
- 10 db,|G| = 0,1
Arctgu
- 20 db,|G| = 0,01
Arctgu
1
,
log u
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40
2. Etude temporelle.
a) Réponse indicielle (R.I): e(t)=E=const.
KE
réponse temporelle : s(t ) L1
KE[1 e
p(1 Tp )
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t
T]
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b) Réponse impulsionnelle RI)
ds(t ) KE
dérivée de la réponse indicielle : s i (t )
e
dt
T
t
T
c) Réponse à une rampe
t
KE
1
entrée e(t ) s(t ) L 2
KE[t T Te T ]
p (1 Tp )
régime forcé: terme (t-T) pôles de E(p)
régime transitoire: Texp(-t/T) pôles de la FT
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43
5.3 Etude des systèmes d’ordre 2.
1. Etude fréquentielle.
a) Equations fondamentales. Coordonnées réduites.
ds(t )
d 2 s( t )
b 0 s( t ) b 1
b2
a 0e(t )
2
dt
dt
a0
S( p )
FT CI 0 :
G (p )
E(p )
b b p b p2
0
1
2
* Grandeurs réduites
b1 0 : oscillateur de pulsation propre non amortie w0
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b
b
0
1
44
b
b
1
zw et G (p )
0
2
b
2
2 0
w
a
G (p ) ( z : coefficient d' amortissement)
0
0
forme canonique : G 0 (p )
FT réduite : G 0 (ju)
2
1
2
p p
1 2z
2
w0 w
0
w0
2
w 0 2 zw 0 p p
2
1
ω
j(u)
ρ(u)e
(u
0)
ω
1 u 2 2jzu
0
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d G (u )
0
du
2
2
1 4u(1 u ) 8z u
3
2
2 2
2 2
(1 u ) 4z u 2
d G (u )
0
extremum de
du
: u(u ² 2z ² 1) 0
* u 0 0 G 0 ( 0) 1
* u R 1 2z
2
1
1
si z
et G 0 (u R )
2
2z 1 2z 2
z 1 : G 0 (u ) très grand si u u R (résonance)
|G0(juR)|: coefficient de surtension
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b) Diagramme de Nyquist.
1
Y2
2
étude de
1 u j2zu X jY X 1 2
G (u )
4z
0
famille de paraboles avec Y>0 (w>0) paramétrées en z, OX, axe de symétrie
et concavité vers les réels négatifs
1
2zu
Nyquist : inversion géométique de
avec tan
1 u2
* symétrie par rapport à l'axe OxG (u)
0
* inversion géométrique de centre O et de rapport 1
"cardioïde"
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47
2. Etude temporelle.
G (p )
a0
b 0 b 1p b 2 p
2
N( p )
D(p )
deux modes: apériodique (pôles réels) ou pseudo périodique (pôles complexes
conjugués)
a) Systèmes apériodiques.
2 pôles réels
G (p )
K
0
(1 T p )(1 T p )
1
2
* réponse indicielle : e(t ) E const :
1
s(t ) K E[1
(T e
0
T2 T1 1
t
T1
T e
2
t
T2
)
ds(0)
s(0) 0 : tangente horizontale à l' origine
dt
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48
* réponse à une rampe : S(p ) 2
p
K 0E
(1 T1p )(1 T2 p )
t
t
2
2
T
T
T1
T2
1
2
s(t ) K 0 E t (T1 T2 )
e
e
T1 T2
T1 T2
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49
b) Systèmes pseudo périodiques.
G (p )
Aw
2
2
0
w 0 2 zw 0 p p
2
2
racines de a jw avec a w 0 z , w w 0 1 z et z 1
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50
zw 0 t
s(t ) AE1 Ce
sin(wt ) avec w w 1 z 2
0
ds(0)
1
1 z
s(0) 0 C
et Atn
2
2
dt
z
1 z
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2
51
* Taux de dépassement et temps de réponse
comportement pseudo périodique: 2 paramètres importants
s max s
taux de dépassement : D
s
temps de réponse : t
r
w
0
1 z
2
w
(demi période d'oscillation réelle)
D%
80
60
40
20
z
0
0,1
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0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
52
1
D%
e
100
z
1 z 2
par calcul ou abaque
régime harmonique: fonctionnements selon valeurs de z :
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53
Chapitre 6 - Critères de qualité des SA. Lieu d'Evans.
6.1 Performances des SA.
1. Conditions générales.
- fonctionnement sûr et sans pompage
- système précis
- régime transitoire amorti
- réponse rapide
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54
perturbation p1 (mesurable): action sur s(t) par G1
perturbation p2 (non mesurable): action directe sur s(t)
C
p
1
2
C GG
CG
1
1
1
S( p )
E(p )
P (p )
P (p )
1
1 CG
1 CG
1 CG 2
G1
p sans action
1
G
absent si lim (CG ) FTBO type 1 au min imum
p0
2. Marges de stabilité et plan des racines.
stabilité nécessaire mais pas toujours suffisante (perturbations): marges de
sécurité
k
1
système d' ordre 1 : G(p)
racine réelle p
1 p
stable si -1/t<0 mais si pôle proche de O: transitoire long
abscisse acceptable à gauche de a<0
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55
I
R
x
ordre 2 : G(p ) 2
p
a
0
2
0 0
K w
2
2 zw 0 p w 0
2
racines a jw zw 0 w 0 1 z transitoire K 0e
at
sin(wt )
réponse indicielle: zone interdite à droite d'un secteur d'angle ± avec
tan > w/a
amortissement : z
a
a 2 w2
marges de gain + de phase domaine utile de fonctionnement
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56
ordres de grandeur acceptables:
- marge de phase de 45° à 50°
- marge de gain de 10 à 15 dB
- angle d’amortissement =30 à 45° (z=0,45 à 0,5)
- dépassement transitoire 15 à 20
Im
domaine d’amortissement
acceptable
domaine stable mais
inacceptable
domaine
instable
x
a
x
0
Re
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57
6.2 Précision - Régime définitif.
1. Régime définitif des SAL. Gain en boucle ouverte.
G (p )
a
m
b
n
p
p
m
n
.. a
.. b
0
a
F(p )
b
0
gain statique K 0 F(0)
n
p
n
m
p
m
.. a
0
.. (a b )p (a b
1
1
0
a0 b0
t
p0
b0 le plus petit possible, soit K0 le plus grand possible
0
)
a0
* e( t ) u( t ) : précis si e( t ) 0 lim e(t ) lim pe(p )
si b 0 : type I G(p )
0
am p
p( b
n
p
m
1
a0
1
b
0
.. a 0
n 1
.. b )
0
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58
* e(t)=tu(t) limite infinie si b00
n’a de sens que si b0=0 b1/a0=1/kv (kv=a0/b1: écart de traînage)
asservissement mono variable à retour unitaire: précision
asymptotique définie par lim e(t ) lim p
t
p0
1
E(p )
1 C(p )G (p )
a q
1
a
si e(t ) t e( ) lim
q
q!
p 0 1 C( 0)G ( 0) p
pas d’intégration en BO (C(0).G(0) fini)
e() = constante si q=0 et → si q>0
K0
p
q
(1 b1p ..)
signal d' erreur constant ou infini
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59
intégrations dans
C(p)G(p)
e(t)= u(t)
écart de position e(∞) :
0
1
2
3
1
0:
optimal
0
0
0:
optimal
0
1K
1
e(t)=t u(t)
écart de traînage e(∞) :
0
∞
K
0
e(t)=at²/2 u(t)
écart d’accélération
e(∞)
1
∞
∞
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K
0:
optimal
0
60
2. Temps de réponse d'un système.
- système apériodique: réponse définitive à x % près
-système pseudo périodique: instant du 1er dépassement
n 2 : tr
w0 1 z
2
s(t )
sm ax
1.5
1,05
1
0,95
0.5
t
0
tr
T
t5%
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61
6.3 Méthode des lieux des pôles ou lieux d'Evans.
1. Introduction.
m
(p z i )
retour unitaire, FTBO kG(p ) k n1
, k réel 0
(p p j )
1
m
( z i )
gain statique K 0 k i n1
( p j )
(m n )
j1
méthode d'Evans: fonctionnement d'un système d’ordre n quand k varie
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62
lieu avec n branches
départs et d’arrivée fixés par des valeurs extrêmes de k (0 et )
instable pour lieu dans demi plan droit
valeur de k du lieu coupant l’axe imaginaire: valeur critique (stabilité marginale
et fréquence de pompage limite)
2. Principe.
m
D(p ) 1 kG(p ) avec G (p )
P(p )
Q( p )
(p z j )
j1
n
F(p )
(p p i )
P(p )
Q(p ) kP(p )
i 1
1
1
D(p ) 0 G (p ) G (p ) et argG (p ) ( 2 1)
k
k
n
m
i 1
j1
ou (p p i ) k (p z j ) 0
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63
D(p ) 0 :
m
* G (p )
(p z j )
1
1
j1
condition des mod ules : n
k
k
(p p i )
i 1
* argG (p ) ( 2 1) condition des angles :
m
n
Arg (p z j ) Arg (p p i ) ( 2 1)180
j1
i 1
méthode d’Evans: FTBO et lieu gradué en k
Z 1M
1
M appartient au lieu si P M P M k
2
1
1 ( 1 2 ) 2
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M
P1
P2
Im(s)
Re(s)
Z1
64
3. Règles pratiques de construction.
G (p i )
1
(k réel et p i a i jw i )
k
n branches et lieu symétrique par rapport à l’axe réel
a) Points de départ (k=0).
kP(p)+Q(p)=0 Q(p)=0: n départs ( pôles de la FTBO)
b) Points d’arrivée(k ∞).
P(p)=0 arrivées: m arrivées (zéros de la FTBO)
m<n (n-m) directions asymptotiques (arrivées à l’infini)
angles (direction , axe réel ) OX, O
c) Point de concours des asymptotes.
(n - m) 2 : rencontre sur l’ axe réel en a
(1 2 )
(n m )
pi z j
n
m
nm
d) Branches réelles du lieu.
lieu réel: somme des pôles et zéros réels à la droite du point considéré impair
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65
e) Intersections avec l’axe imaginaire.
important car limites de stabilité (pompage)
solution de D(jw)=0 ou critère de Routh: k annulant les coefficients d’une même
ligne puis fréquences par zéros du polynôme auxiliaire construit à partir de la
dernière ligne non nulle
f) Points de séparation de l’axe réel.
points où le lieu quitte l'axe réel nécessité de 2 pôles ou 2 zéros réels contigus
séparation: 1+kG(x)=0 graphiquement ou
a lg ébriquement :
d
d 1
[1 kG(x)] [
] 0 (x réel )
dx
dx G(x)
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66
g) Tangente en un point de départ ou d’arrivée complexe.
pour pôles ou zéros complexes condition des angles en M infiniment voisin de
Pi ou Zi Pi ou Zi remplacé par M sauf en Pi ou Zi
Arg ( Z i M ) Arg ( Pi M ) ( 2 1)
h) Graduation du lieu.
axe réel: y=0 graduation par |G(x)|=1/k
p x+jy: 2 équations graduation et équation analytique du lieu
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67
Chapitre 7 - Identification et modélisation.
7.1 Modélisation.
nécessité de connaître la FT (ordre et coefficients)
* "modèle mathématique" (de connaissance): calculs compliqués
* "modèle de représentation": détermination expérimentale des coefficients de
la FT à partir d’observations et d’hypothèses
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7.2 Identification en BO: méthodes indicielles.
1. Modèle d’ordre 1: méthode de Broïda.
méthode de Broïda : G (p )
K 0e
p
1 Tp
amplitudes à 28% et 40% de s() t1 et t2
T=5,5(t2-t1) et =2,8t1-1,8t2
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69
2. Modèle d’ordre 2.
a) Système pseudo périodique.
dépassement D% et temps de réponse tr z et w0
b) Système apériodique: méthode du point d'inflexion.
réponse indicielle
s(t ) 1
1
(T1e
T1 T2
t
T1
T2e
t
T2
)
x
inflexion : abcisse : t I
Lnx ordonnée s I
x1
T1
x
et T T ( x déterminé par abaque)
2
1
T
x
1 (1 x)x 1 x
2
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70
SI
1-2/e _
0,2 _
x1
T1
tI
xLnx
0,1 _
x1
T2
tI
Lnx
x = T1/T 2
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71
c) Méthode de Cypkin.
réponse indicielle unitaire avec pôles p1 et p2 :
y(t)=1-Aexp(p1t) –Bexp(p2t)
e(t)=1-y(t)=Aexp(p1t) +Bexp(p2t)
e(t) échantillonné à période constante t=k
à partir de e(n)=en, e[(n+1)en+1 et e[(n+2)en+2
Y
e
n 2
e
e
p1
e
p 2
n
Y=
et X
e
n 1
e
e
( p1 p 2 )
: droite dans le plan [X, Y]
n
e n +2
en
Y li m
+
+
++++
+
+
+
+
+ pente m
X li m
X=
en +1
en
p
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m=exp(p1)+exp(p2): pente de Y=f(X)
p=-exp(p1) exp(p2) (<0): ordonnée à l’origine
x1=exp(p1) et x2=exp(p2) solutions de x2-mx+p=0
p1=-1/T1 et p2=-1/T2
d) Système apériodique: méthode de Naslin.
réponse indicielle unitaire y(t)=1-Aexp(-t/T1)+Bexp(-t/T2)
e1(t)=1-y(t)= Aexp(-t/T1)-Bexp(-t/T2)
T2<T1 assez différents et t grand: Ln[e1(t)]~ -t/T1+LnA
droite dans{t, Lne}
Lne (t)
1
LnA
Ln [e2(t)]=-t/T2+LnB droite T1 et T2
LnB
Lne (t)
1
Lne 2t)
pente -1/T1
pente -1/T2
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73
3. Modèle d'ordre n: méthode de Strejc.
G (p )
K 0e p
(1 Tp )
n
Tu, Ta, s() et point d'inflexion I n, T, et k
si localisation assez précise de I: tI et sI n et T (rare)
autrement, abaque de Strejc:
Tu et Ta : (Tu/Ta)mes comparé à (Tu/Ta)tab n et T
retard : /Ta= [(Tu/Ta)mes-(Tu/Ta)tab]
n=ne+nd non entier valeur entière ne par développement limité
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74
4. Système intégrateur d'ordre n.
réponse indicielle de G(p )
K0
p(1 Tp )
n
:
t
n 1
(
n
1
)
t
1
t
T
s(t ) K 0 t nT Te n
..
1! T
(n 1)! T
1 TB TA
0
t nT et
fonction de n T et n 1
0
kt 0
4 TB TA
y
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2
75
7.3 Méthode harmonique.
signal sinusoïdal de faible amplitude superposé à l'entrée FT
peu employée car
- expérience souvent très longue
- fréquences très différentes pouvant être très faibles
- attente du régime établi sinusoïdal non perturbé par transitoires
7.4 Méthodes ne comportant que des observations.
avantage: pas d’interventions sur l’entrée de l’installation
1. Méthodes de corrélation.
G(p) avec entrée aléatoire stationnaire e(t), spectre de fréquence Fee(jw)
spectre en fréquence (sortie s(t)): Fss(jw)=G(jw)² Fee(w), interspectre
Fes(jw)=G(jw) Fee(jw)
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domaine temporel: intercorrélation entrée – sortie es()
( t ) g( ) ( t )d
es
ee
0
ee dû à un bruit blanc ee(t)=g(t): RI du procédé
2. Méthodes d’optimisation.
a a p ..
mod èle G (p ) 0 1
technique d' optimisation
1 b p ..
1
réglages ai et bi tels qu'un critère basé sur e rendu minimal
installation
s(t)
e(t)
_
Modèle
G(p)
+
T
0
Critère J
e
2
critères quadratique J ε dt
T
et absolu J ε dt
0
Algorithme de
minimalisation
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77
Chapitre 8 - Correction et commande des systèmes.
8.1 Notions sur les correcteurs.
1. Effets attendus des correcteurs.
but de la correction: entrée et sortie identiques
X: consigne à respecter
t
* edt 0 avec variations faibles et/ou lentement variables :
0
simple action ± X autour de X avec X=ke
k: gain d'action proportionnelle (constante)
commande: X+ke
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t
* edt 0 mais variations brusques et/ou rapides :
0
réaction proportionnelle toujours en retard oscillation autour de X
e et de/dt (nécessité d'anticipation des variations)
de
commande X k (e T
)
d dt
correction proportionnelle et dérivée (PD)
k: gain de l'action proportionnelle
Td: constante de temps de dérivée ou d'anticipation
t
1
* edt 0 action intégrale
T
0
t
edt
i0
Ti : constantede temps d' intégration
1
commande générale : X k (e
Ti
t
de
)
d dt
edt T
0
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79
chaîne de régulation avec correcteur PID
consigne
+
-
Réseau
correcteur
Régulateur :
comparateur
1
X k( e
Ti
t
e dt Td
0
de
)
dt
Système
variable de
commande
Charge ou
Grandeur réglée :
sortie
perturbation :
Capteur
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80
2. Réalisation des éléments de correction.
actions dérivées approchées par C(p )
a p
a
1 p
a
T p
d
1
Td
N
p
association des corrections
C(p ) K (1
C(p ) K
1
Tp
i
1
Tp
i
C(p) K(1
)
a p
a
1 p
(semi parallèle)
a
a p
a
1 ap
(parallèle)
1
β
)(1 τ p) α γp (série)
a
Ti p
p
a
1
PID théorique : C(p ) K bp K (1 T p
)
d
p
Tp
i
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81
3. Correction par avance ou retard de phase.
action unique sur le gain: stabilité et précision impossibles à satisfaire
ensembles
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82
a) Correction par avance de phase.
système instable: correction par avance de phase augmentation phase d'une
valeur près point critique
C (p) a
a
1 p 1 a 1 a 1 ap
(a 1)
1 ap 2 2 1 ap
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83
réponse fréquentielle: demi cercle dans 1/2 plan supérieur
Ca ( jw) tan
(1 a )w
2 2
1 aw
0
1 a
max imum de : Atn
90 2Atn a
M
2 a
1 a
1
ou sin
en w
M
M
1 a
a
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84
gain correspondant: KM=a1/2<1
w<<1: Ca(jw)~a<1
w<<1/a: Ca(jw)~a(1+w) ~PD
w>>1/a: Ca(jw)~1
M
wM
log w
b) Correction par retard de phase.
1 ap
C r (p )
(a 1)
1 p
relation avance-retard: Cr(jw)dB=adB-Ca(jw)dB et r(jw)=-a(jw)
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85
w<1: peu d’atténuation
1 w
1
1
C r (p )
a
1 p
w>>1/a: forte atténuation avec Cr(jw)~a
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86
8.2 Méthodes classiques de commande.
1. Méthode de la compensation du mode dominant.
pôle dominant compensé par zéro d'un PI, PD ou PID
réduction de l'ordre et du temps de réponse
2. Méthode de Ziegler et Nichols.
essai indiciel en BO réponse apériodique
y
e p
G (p ) a
p
a=tga
a
t
BO impossible: limite de pompage avec correcteur proportionnel P sortie de
BF juste oscillante de période T0, de gain K0
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87
Ziegler et Nichols: paramètres de régulateurs
Transmittance
C(p)
Valeurs des paramètres du régulateur (Ziegler et Nichols)
du régulateur
Limite de pompage (K0,T0)
Essai indiciel (a,)
K
K
1
K 1
pTi
1
K 1
pTi
T p
d
K
K
1
K=0,5K0
a
0,9
Ti=3,3
K=0,45K0
Ti=0,83T0
K=0,6K0
Ti=0,5T0
a
1, 2
a
Ti=2
Td=0,5
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Td=T0/8
88
3. Polynômes à amortissement réglable (polynômes
normaux).
F( p )
d0
n
d n p d n 1 p
n 1
.. d1p d 0
rapports et pulsations caractéristiques (ordre n)
r
k
d k2
d k 1d k 1
, w
k
dk
d k 1
r
k
wk
w
k 1
rk tous même valeur r r : rôle facteur d’amortissement
réponse dépendant essentiellement des 1ers rapports (presque exclusivement des
trois 1ers)
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89
a) Propriétés des polynômes caractéristiques.
w r k w
0
k
k (k 1)
2
d w k r
k
0
dépassement D et rapport r (>1,6) log(D%)=4,8-2r
2,2 2,2d1
temps de réponse (instant du 1er dépassement): t r
w
d
0
0
b) Influence du numérateur.
'
'
'
d 0 d 1p d 2 p
mod ifications si F(p )
d
n
p
n
.. d
1
2
pd
0
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90
* numérateur de degré 1 (d2'=0)
pulsation sup plémentaire : w'
0
'
0
'
d
1
d
'
r remplacé par r' 1,5 2
w0
w
%
0
temps de réponse : t 2,2(
r
(1,8 log D )
1
1
')
w
0 2w 0
* numérateur du second degré
w'02
d '0
d'
2
et 4z '2
d '2
1
d' d'
0 2
r remplacé par r' 1,5
8z'3 w 02
w '2
0
(1,8 log D% )
1
1
temps de réponse : t r 2,2(
')
w 0 2w
0
Systèmes asservis linéaires
A. Thieltgen
2006-2007
91