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École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique
Cours de régulation industrielle
CHAPITRE 5
Analyse des systèmes linéaires types
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Analyse des systèmes linéaires types
Ordre d’un système :
 Un système est dit du nième ordre si l’équation
différentielle qui régit ses paramètres est de degré n.
 Nous allons étudier en détail les systèmes du premier
et du second ordre.
 Tout système complexe peut être décomposé en
plusieurs « petits » systèmes.
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Analyse des systèmes linéaires types
Système du premier ordre :
Un four est modélisé de la manière suivante :
p(t)
FOUR
q(t)
p = puissance fournie pour le four
q= température
C = capacité calorifique du four
k = coefficient de perte de chaleur par rayonnement
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Système du premier ordre :
Bilan énergétique :
C dq = P dt – k q dt
D’où :
C dq q(t)  P
k dt
k
SYSTEME DU PREMIER ORDRE
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Analyse des systèmes linéaires types
Système du premier ordre :
Un système du premier ordre s’écrit de la
façon suivante :
T ds  s(t)  K e(t)
dt
D’où :
S(p)
H(p) 
 K
E(p) 1 T p
Avec :
K = gain statique
T = constante de temps (en s)
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Analyse des systèmes linéaires types
Réponses temporelles des systèmes du 1er
ordre :
 Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) :
 En entrée, nous appliquons un dirac : E(p) = 1
 On a donc :
t
K
K
S(p) 
d'où s(t)  e T
1T p
T
 Et :
t
K
s'(t)   2 e T
T
t0 s(0)  K
T
tT s(T)  K e1 0.368K
T
T
t lim
s(t)  0
t
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 Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) :
Tangente en (0, K/T) :
y   K2 x  K
T
T
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Analyse des systèmes linéaires types
 Réponse à un échelon (réponse indicielle) :
 En entrée, nous appliquons un échelon : E(p) = 1 / p
 On a donc :
t
K
S(p) 
d'où s(t)  K(1 e T)
p(1T p)
 Théorème de la valeur finale :
K K
lim
s
(
t
)

lim
pS
(
p
)

t
p0
1Tp
 Et :
t
K
s'(t) 
e T
T
t0 s(0)  0
tT s(T)  K(1e1) 0.63K
t2T s(2T)  K(1e2) 0.86K
t3T s(3T)  K(1e3) 0.95K
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 Réponse à un échelon (réponse indicielle) :
Tangente en (0, 0) :
y K x
T
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Analyse des systèmes linéaires types
 Réponse à un échelon (réponse indicielle) :
 Aucun point d’inflexion pour la réponse
 Pas d’oscillations ( s’(t) > 0 )
 L’erreur statique est finie et nulle si K = 1 avec e(t) = 1 en
entrée.
 Temps de montée :
Le temps de montée est entre 10 et 90 % de la valeur
maximale.
t
1
s(t1 ) 0.1K  K (1e t T )
2
s(t2)  0.9K  K (1e T )
t1 T ln0.9 K
t2 T ln0.1K
tm = t2 – t1 = 2.2 T
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 Réponse à une rampe :
 En entrée, nous appliquons une rampe : E(p) = 1 / p²
 On a donc :
t
K
S(p)  2
d'où s(t)  K(t T  T e T)
p (1T p)
 Et :
t
T
s'(t)  K (1 e
)
 Tangente horizontale en t=0
 Asymptote :
y(t)  K(tT)
t0 s(0)  0
tT s(T)  K e1 0.368K
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 Réponse à une rampe :
 Calcul de l’erreur de traînage (différence entre la sortie et
l’entrée) :
t
T
  lim
t K(t T T e
t
 lim
t(1K)  KT
t
d’où
K 1   K T
sinon, il y a divergence
)
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 Réponse à une rampe :
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Réponses fréquentielles des systèmes du 1er
ordre :
H(p)  K
d'où H(j)  K
1p
1 j
H()  H(j) 

H(j)
H()
K
1²²
0
K
0
H()  Arg H(j) arctan
1/ 

K
2
0

4

2
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 Lieu de Nyquist :
Le lieu de Nyquist d’un premier ordre est un demi-cercle
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 Lieu de Bode :
Pour représenter rapidement Bode, nous pouvons
utiliser le diagramme asymptotique avec o = 1/, la
pulsation naturelle ou pulsation propre.
  << O
H(j) 20logK
H() 0
  = O
H(j) 20logK 10log2  20logK 3dB
H()  
4
  >> O
H(j) 20logK  20log
H()  
2
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 Lieu de Bode :
20 log K
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 Lieu de Black :
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Système du deuxième ordre :
Un système est dit du second ordre s’il est régi par une
équation différentielle :
d²s(t)
ds(t)
b2
 b1
 b0 s(t)  a0 e(t)
dt²
dt
D’où :
S(p)
a
0
H(p) 

E(p) b2 p²  b1 p  b0
que nous mettons
sous la forme :
a0
b
0
H(p) 
b2 p²  b1 p 1
b0
b0
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Système du deuxième ordre :
a0
b0
K
H(p) 

b2 p²  b1 p 1  p 2

    2  p 1
b0
b0
0
 0
On définit : le gain statique : K  a0
b0
la pulsation naturelle : 0  b0 en rad/s
b2
le facteur d’amortissement :  
b1
2 b0b2
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Réponses temporelles des systèmes du
second ordre :
H(p) 
K
 p   2  p 1
 
0
 0
2
 On appelle POLES les racines du dénominateur
 On appelle ZEROS les racines du numérateur
On recherche la valeur des pôles de H(p) afin d’écrire s(t) :
 p   2  p 1  0
 
0
 0
2
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On obtient alors :
  42 ( 2 1)
0
Le signe des racines dépend donc de ² - 1
  > 1:
nous avons deux pôles réels p1 et p2 :
p1  0 (  ² 1)
p2  0 (  ² 1)
à partir de cette écriture, nous pouvons facilement écrire la
fonction sous la forme :
K02
H(p) 
(p p1 )( p p2)


K

0
1
1
d’où : H(p) 




2 ²1 p0 (  ²1) p0 (  ²1) 
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 = 1:
Dans ce cas, nous avons : p1  p2  0
2
K

0
H(p) 
(p 0)2
 < 1:
Dans ce cas, nous avons deux pôles imaginaires :
p1  0  j0 1²
p2  0  j0 1²


K

0 
1
1

H(p) 


2j 1²  p0 (  j 1² p0 (  j 1² 
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Analyse des systèmes linéaires types
 Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : E(p) = 1/p
 Si  > 1 :
On a :
S(p) 

K0 
1
1



p
(
p

p
)
p
(
p

p
)
2 ²1
1
2 
1
T

1
En posant :
0 (  ² 1)
T2 
Avec :
T1 T2  12
On obtient :
0
1
0 (  ² 1)
et
T2 T1 
2 ²1
0
s(t)  K1  T1 et T1  T2 et T2 
T2 T1
 T2 T1

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 Réponse à un échelon (réponse indicielle ) :
 Si  > 1 :
En étudiant s(t), nous obtenons :
s(0)  0
s()  K
En calculant la dérivée, nous avons s’(t) = 0
uniquement pour t=0.
t
0
s'(t)
0

+
K
s(t)
0
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Nous obtenons bien une réponse apériodique
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 Réponse à un échelon (réponse indicielle ) :
 Si  = 1 :
Nous avons :
On obtient :
S(p) 
K
2
p
p 1
 0 
T  1
0
T  t t T 

s(t)  K1 
e 
T


s(0)  0
s()  K
En calculant la dérivée, nous avons s’(t) = 0 uniquement
pour t=0.
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Nous obtenons une réponse apériodique critique
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 Réponse à un échelon (réponse indicielle ) :
 Si  < 1 :
S(p) 

K0 
1
1



p
(
p

p
)
p
(
p

p
)
2j 1² 
1
2 
Après beaucoup de calculs, on obtient :



 cos(0t 1² ) 

sin
(

t
1


²
)
0


1


²


0t
s(t)  K  Ke
Autre écriture possible :

Ke0t
1²
s(t)  K 
sin 0t 1²  arct an

1²





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Si  < 1 :
La réponse indicielle est la superposition d’un régime forcé (K) et
d’un régime transitoire oscillatoire amortie. La pulsation des
oscillations se déduit des calculs précédent :
 p 0 1 2
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 Réponse à un échelon (réponse indicielle ) :
 Si  < 1 :
En recherchant des expressions approximatives de
l’enveloppe de la réponse, nous obtenons pour le temps de
réponse :
tr  3
0
Les dépassements sont obtenus en calculant les instants où la
dérivée est nulle. Ces instants sont appelés temps de pics : tpic.
Le dépassement principal (première dérivée) se produit à
l’instant t1 :

s(t1 )  K  Ke
1 2
d’où :

D%  100e
1 2
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D%
tpic
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Réponses fréquentielles des systèmes
du second ordre :
H(j) 
K

K
 j   2  j 1 1   j 2 
2
 

0
0

0
 0
2
2
On en déduit les valeurs du gain et de la phase :
K
H()  H(j) 
2
2

 2 
1  2   4 2  2
0
0

2 
 ()   arct an 20

1 2
0
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 Étude du Gain :
En développant, nous obtenons :
H()  H(j) 
K
4 2
 2 2 2 211
4
0
0
Nous avons donc 2 cas à envisager :
2 2 1 0

2 2 1 0

 1
2
 1
2
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Si   1
2

H()

0
K
0
Pulsation de résonnance
Si
 1
2

0
H()
K
0 1 2 2
K
2 1  2

Coefficient
de
surtension
0
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 Étude de la Phase :

 ()
0

0
-
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Représentation fréquentielle d’un système du
second ordre :
 Lieu de Nyquist
 1
2
 1
2
 1
2
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 Lieu de Bode
 1
2
 1
2
 1
2
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 Lieu de Black
 1
2
 1
2
 1
2
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Système à retard
 Définition : un système linéaire est dit avec retard si le
signal de sortie est décalé d’un temps  par rapport à
celui d’entrée.
y(t)  x(t )
Ce retard est provoqué par l’inertie thermique du
processus, le jeu mécanique, le temps de propagation
de l’information, etc….
La fonction de transfert est :
Y(p)  p
G(p) 
e
X(p)