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École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique
Cours de régulation industrielle
CHAPITRE 6
Stabilité des SA
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Stabilité des SA
La stabilité est la première propriété exigée
pour les systèmes asservis !
Un système instable est inutilisable…
 Définition 1 : un système est stable si lorsqu’on lui
applique une entrée limitée, sa sortie est limitée.
 Définition 2 : un système est stable s’il revient à son
état permanent après une perturbation.
 Définition 3 : un système est stable si sa réponse
impulsionnelle tend vers 0 pour t = infini
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Stabilité des SA
Système stable
Système instable
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Stabilité des SA
Condition générale de stabilité :
LA STABILITE D’UN SYSTEME DEPEND DE LA
NATURE DES POLES DE LA FONCTION DE
TRANSFERT.
Un système linéaire G(p) est de la forme :
bm pmbm1 pm1...b1 pb0 N(p) n Ai
G(p) 


n
n

1
an p an1 p ...a1 pa0 D(p) i1 (p  pi )
Pôles de D(p)
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Un système est stable si tous les pôles de D(p)
sont à partie réelle strictement négative.
Im
Re
STABLE
INSTABLE
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 Exercice :
e
E(p)
+
-
K
1
(1 p)(12p)
- Etudier la stabilité en BO
- Etudier la stabilité en BF
S(p)
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Critère de ROUTH-HURWITZ
Il n’est pas toujours facile de déterminer explicitement ces
racines, surtout lorsque l’ordre est élevé. Le critère de Routh
permet de connaître les conditions de la stabilité (ou non) d’un
système sans connaître les valeurs des pôles.
Énoncé du critère :
 D(p) est le dénominateur de la fonction de transfert. On a :
D(p) = anpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0
 Les conditions nécessaires pour Routh sont :
– Tous les ai existent
– Tous les ai sont de même signe
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 Si les conditions nécessaires sont réunies, nous
pouvons alors écrire le tableau de Routh pour
déterminer les conditions nécessaires et suffisantes
à la stabilité du système.
 Cette méthode comprend 3 étapes :
 A partir de l’écriture de D(p) = anpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0 ,
nous écrivons le tableau à deux lignes suivants :
an
an-1
an-2
an-3
an-4
an-5
an-6
an-7
…
…
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 A partir du tableau, nous déduisons le nouveau tableau de
Routh de la manière suivante :
an
an-1
an-2
an-3
an-4
an-5
an-6
an-7
A1
B1
C1
A2
B2
A3
…
…
…
an1an2ana1an ann4a
nna
5 an an7
3n1aa
n6
A1  A2  A3 
Jusqu’à
d’un
0A
sur
la première colonne !
a
a
a
n

1
n

1
n

1
AB1l’obtention
a
A
a
a
A

a
A

A
B
n

5
n

3
1
n

1
2
n

1
3
1 2
1 2
BC11 B

2
A1
A1
B
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 Nous examinons dans un dernier temps la première colonne
qui va nous permettre de conclure sur la stabilité du système.
Les racines (ou pôles) sont à partie réelle strictement négative si les
termes de la première colonne du tableau sont tous de même signe !
Le nombre de changement de signe dans cette première colonne
donne le nombre de pôles à partie réelle positive.
 Exercice : étudiez la stabilité de :
D(p) = p5 + 4 p4 + 3 p3 + 2 p2 + p + 1
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 Exercice :
e
E(p)
+
-
K
1
p(1 p)2
Étudiez la stabilité de ce système
S(p)
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 Exercice :
Soit un système asservi dont l’équation est donnée
par :
d 3s(t)
ds(t) d 2s(t)
 K e(t) 3 s(t) 2
 2
dt3
dt
dt
- Donnez la fonction de transfert en BO et étudiez
sa stabilité.
- Nous effectuons un retour unitaire. Donnez HBF(p)
et étudiez les conditions de stabilité.
- Donnez l’erreur statique en fonction de K.
- Peut-on régler K afin d’avoir une erreur de 5 % ?
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Critère de Nyquist ou critère du revers
Ce critère est une méthode graphique pour l’analyse
de la stabilité d’un système asservi. Il ne s’applique
que pour les SA à retour unitaire.
Le critère conclut à la stabilité du système en boucle
fermée par examen du lieu de Nyquist en boucle
ouverte.
Un système asservi linéaire est stable si, en
décrivant le lieu de transfert de Nyquist en BO
dans le sens des fréquences croissantes, nous
laissons le point dit « critique » (-1,0) à gauche.
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STABLE
INSTABLE
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 Ce critère ne s’applique qu’à des systèmes à retour
unitaire. Nous pouvons toujours ramener un SA à un
système asservi à retour unitaire :
e
E(p)
+
-
G(p)
S(p)
H(p)
E(p)
+
-
G(p) H(p)
1
H (p )
S(p)
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 Application au diagramme de Bode : un système sera
stable si, pour la pulsation w0 qui correspond à un gain
0 dB, la courbe de phase passe au dessus de –180°.
INSTABLE
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 Application au diagramme de Black : un système sera
stable si, en décrivant le lieu de transfert de Black en
BO dans le sens des fréquences croissantes, nous
laissons le point critique (0 dB, –180°) à DROITE.
INSTABLE
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 Extension du critère :
Si un gain K est inséré dans la boucle ouverte, il
faudrait tracer le lieu de Nyquist (ou Black ou Bode)
pour chaque valeur de K afin de déterminer la stabilité
du système.
Or :
S (p ) K G (p )

E(p) 1 KG (p)
d’où : 1 + K G(p) = 0
donc :
1
G(p)  
K
Un système asservi est stable si le lieu de Nyquist de
G(p) parcouru dans le sens des fréquences croissantes,
laisse à GAUCHE le point critique (-1/K ; 0).
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 Exercice : Étudiez la stabilité du système
e
E(p)
+
-
K
1
(1 p)3
Confirmez vos résultats avec Routh
S(p)
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Marges de stabilité :
La stabilité mathématique présentée précédemment
n’est pas synonyme de bon comportement. Il faut que
la stabilité soit « suffisante ». Un système sera d’autant
plus stable que son lieu en boucle ouverte sera éloigné
du point critique.
Si des perturbations ou une déviance du
comportement apparaissent, une augmentation de la
phase ou du gain peut entraîner le système en
instabilité.
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Nous définissons alors :
LA MARGE DE GAIN : c’est le gain minimum
qu’il faut ajouter pour rendre le système
instable.
LA MARGE DE PHASE : c’est la phase
minimale que nous pouvons ajouter pour
passer au point critique.
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Mesures graphiques de ces marges :
 LIEU DE BLACK :
Gm = 10.5 dB
jm = 46.5°
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 LIEU DE BODE :
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 LIEU DE NYQUIST :
GENERALEMENT, les valeurs de stabilité sont :
Gm = 10 - 15 dB jm = 45°
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 Exercice :
Donner la marge de gain et de phase pour le
système suivant, s’il est stable :
E(p)
+
-
2
(1 p)3
S(p)
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 Exercice :
Soit le système suivant (K > 0) :
E(p)
+
-
K
1
(1 p)2(110p)
S(p)
- Étudiez la stabilité par Routh
- Étudiez la stabilité par Nyquist
- Calculez les marges de phase et de gain
pour K = 18