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École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique
Cours d’automatique
Cours d’automatique
H.E.I. 3 tronc commun
École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique
Cours d’automatique
Introduction
Présentation, (groupe provisoire)
Ce cours de 22 h. (11 séances) s’intéresse
aux systèmes logiques (numériques) et se
divise en trois parties :
 Logique combinatoire (4 h.),
 Logique séquentielle (5 à 6 h.),
 Grafcet (12 à 13 h.).
Chacune de ces parties est accompagnée
d’une séance de T.D. de 2 h. (6 h. de T.D.).
 T.D. en fin de poly,
 Préparation exigée,
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Introduction
4 séances de T.P. de 4 h. (16 h. T.P.) après
cours et T.D. (1 compte rendu à la fin de
chaque T.P.) :
 Logique combinatoire,
 Logique séquentielle,
 Automate,
 Grafcet.
1 D.S. de 3 h. après le cours
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Logique combinatoire
Ei
Système
combinatoire
Sj
Plan
 Algèbre de Boole
 Représentation des fonctions logiques
 Formes technologiques
 Logigrammes
 Chronogrammes
 Simplification des fonctions logiques
 Circuits combinatoires
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Algèbre de Boole (binaire)
Définitions
 État logique (binaire ou discret)
 Élément nul : valeur binaire 0 (faux, non, bas, ouvert, éteint, vide)
 Élément unité : valeur binaire 1 (vrai, oui, haut, fermé, allumé, plein)
 Variable logique (bit : binary digit)
 Grandeur représentée par un symbole (lettre ou signe) qui peut
prendre 2 états logiques dans le cadre de l’algèbre de Boole.
 Fonction logique
 Fonction représentée par des groupes de variables réliés par des
opérateurs logiques qui ne peut prendre que 2 états logiques 0 (point
faux) ou 1 (point vrai).
système binaire :
variable logique
ouvert, fermé
I
L
fonction logique
éteint, allumé
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Algèbre de Boole
Représentation des variables et fonctions
logiques
 Algébrique (forme littérale) :
 Équation, proposition, expression
 Formes technologiques
 Formes canoniques
 Graphique :
 Table de vérité
 Tableau de Karnaugh
 Diagramme d’Euler ou de Venn (théorie des ensembles)
 Temporelle :
 Chronogramme
 Symbolique :
 Logigramme
 Numérique (écriture condensée)
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Algèbre de Boole
La table de vérité
 Soit F, une fonction de n variables. La table de vérité
de F est un tableau de n+1 colonnes et 2n lignes dans
lequel apparaissent toutes les combinaisons d’entrées
associées à la valeur correspondante de la fonction.
I
L
ouvert
fermé
allumée
éteinte
I
0
1
L
0
1
Point faux
Point vrai
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Algèbre de Boole
Les variables a, b, et c
représente un mot binaire
(a b c)2
Ordre binaire naturel
 Convention d’écriture de la table de vérité :
0
1
2
3
4
5
6
7
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c f(a,b,c)
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
f(a,b,c) est une fonction
logique de 3 variables
Points vrais
Points faux
(N)10 est l’équivalent décimal du mot (a b c)2 avec :
(N)10 = 20c + 21b + 22a (codage binaire) où :
- c représente le bit le moins significatif (LSB) ou bit de poids faible et
- a représente le bit le plus significatif (MSB) ou bit de poids fort
Exemple : (1 0 1)2 = 20  1 + 21  0 + 22  1 = 1 + 0 + 4 = (5)10
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Algèbre de Boole
 Exercice :
 Table de vérité à 4 variables
 Fonction f(a,b,c,d)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
a
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
b
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
c
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
d
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
f
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
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Algèbre de Boole
Opérateurs logiques
degrés de priorité décroissant
 opérateurs de bases de l’algèbre de Boole :
 NON ou PAS (NOT) : fonction complément ou fonction inverse. C’est
une fonction f d’une variable x telle que :
f(x) = x
système binaire :
x
symbole :
table de vérité :
x
0
1
f(x)
f(x)
1
0
1
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
 ET (AND) : produit logique. C’est une fonction f de plusieurs variables
équivalente à l’intersection en théorie des ensembles. Elle prend la
valeur 1 si toutes les variables sont simultanément égales à 1.
Soient x et y, deux variables booléennes, f(x,y) s’écrit:
f(x,y) = x  y = x  y
système binaire :
Interrupteurs
branchés en série
x
y
0
1
0
1
f(x,y)
symbole :
table de vérité :
x
0
0
1
1
y
f(x,y)
0
0
0
1
&
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
 OU (inclusif) (OR) : somme logique (produel). C’est une fonction f de
plusieurs variables équivalente à l’union en théorie des ensembles.
Elle prend la valeur 1 si au moins une variable est égale à 1.
Soient x et y, deux variables booléennes, f(x,y) s’écrit :
f(x,y) = x + y = x  y
système binaire :
Interrupteurs
branchés en parallèle
x
y
symbole :
table de vérité :
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
f(x,y)
f(x,y)
0
1
1
1
≥1
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
 opérateurs d’une variable :
 fonction unité : f(x) = 1.
 fonction nulle : f(x) = 0.
table de vérité :
x
0
1
table de vérité :
f(x)
0
0
x
0
1
f(x)
1
1
 OUI : fonction identité : f(x) = x.
système binaire :
x
table de vérité :
x
0
1
f(x)
symbole :
f(x)
0
1
1
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
 opérateurs de deux ou plusieurs variables :
 OU Exclusif (XOR) : elle prend la valeur 1 si et seulement si le
nombre de variables égales à 1 est impair. Soient x et y, deux
variables booléennes, f(x,y) s’écrit :
f(x,y) = x  y = xy + xy
système binaire :
x
y
0
1
0
1
f(x,y)
symbole :
table de vérité :
x
0
0
1
1
y
f(x,y)
0
1
1
0
=1
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
 coïncidence ou identité : elle prend la valeur 1 si si et seulement si
le nombre de variables égales à 1 est pair. Soient x et y, deux
variables booléennes, f(x,y) s’écrit :
f(x,y) = x  y = xy + xy
système binaire :
x
y
0
1
0
1
xy
0
1
1
0
f(x,y)
symbole :
table de vérité :
x
0
0
1
1
y
f(x,y)
1
0
0
1
=1
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
 NON ET (NAND ou ON) : elle prend la valeur 1 si au moins une
variable est égale à 0. C’est un opérateur complet car il permet de
réaliser les trois opérateurs de base de l’algèbre de Boole. Soient x et
y, deux variables booléennes, f(x,y) s’écrit :
f(x,y) = x  y
symbole :
table de vérité :
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
xy
0
0
0
1
f(x,y)
1
1
1
0
&
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
 NON OU (NOR ou NI) : elle prend la valeur 1 si toutes les
variables sont simultanément égales à 0. C’est aussi un opérateur
complet. Soient x et y, deux variables booléennes, f(x,y) s’écrit :
f(x,y) = x + y
symbole :
table de vérité :
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x+y
0
1
1
1
f(x,y)
1
0
0
0
≥1
norme CEI
norme IEEE
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Algèbre de Boole
Table des fonctions
logiques f à 2
variables x et y :
f0(x,y)
f1(x,y)
f2(x,y)
f3(x,y)
f4(x,y)
f5(x,y)
f6(x,y)
f7(x,y)
f8(x,y)
f9(x,y)
f10(x,y)
f11(x,y)
f12(x,y)
f13(x,y)
f14(x,y)
f15(x,y)
(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
f
0
xy
xy
x
xy
y
xy
x+y
x+y
xy
y
x+y
x
x+y
xy
1
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Algèbre de Boole
Propriétés et théorèmes
 identité (élément neutre) :
A+0=A
A 1=A
A
0
1
0
0
0
A
0
1
 involution :
A=A
 complémentarité :
A+A=1
AA=0
A+0
0
1
A
0
1
A
1
0
A
0
1
A
1
0
A+A
1
1
1
1
1
A1
0
1
A
1
0
AA
0
0
A
0
1
A
0
1
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Algèbre de Boole
 commutativité :
A+B=B+A
AB=BA
 associativité :
 A + (B + C) = (A + B) + C
 A  (B  C) = (A  B)  C
A
0
0
1
1
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
1
0
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
A
A + B
B
0
1
0
1
0
1
B
B + A
A
0
1
0
1
0
1
C B+C
BC A+(B+C)
A(BC) A+B
AB (A+B)+C
(AB)C
0 0
0
0
0
1 0
1
1
0
0
1
0
0 0
1
1
0
1
0
1
0
1 1
1
0
1
0
1
0
0 0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
1
0
1
0
1
0
0 0
1
1
0
1
1
0
1 1
1
1
1
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Algèbre de Boole
 distributivité :
 ET sur OU : A  (B + C) = (A  B) + (A  C) = AB + AC
 OU sur ET : A + (BC) = (A + B)  (A + C)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C B+C
BC A(B+C)
A+(BC) A+B
AB A+C
AC (A+B)(A+C)
AB+AC
0 0
0
0
0
0
1 0
1
0
0
0
1
0
0 0
1
0
0
1
0
0
1 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0
0
1
0
1
0
1
0
1
1 0
1
1
0
1
1
1
0 0
1
1
1
0
1
1
1 1
1
1
1
1
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Algèbre de Boole
 idempotence (pas d’exposant ou de coefficient) :
AA=A
A+A=A
 élément absorbant :
A0=0
A+1=1
 absorption :
 A  (A + B) = A
 A + (A  B) = A
 Démontrer algébriquement
ces deux relations
A
0
1
A
0
1
AA
0
1
A
0
1
A
0
1
A+A
0
1
A
0
1
0
0
0
A0
0
0
A
0
1
1
1
1
A+1
1
1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B
AB A+(AB)
A(A+B)
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
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Algèbre de Boole
 De Morgan :
A+B=AB
AB=A+B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B
AB
0
1
0
1
0
1
A+B
AB
1
0
1
0
1
0
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A+B
AB
1
0
1
0
1
0
 autre identité à démontrer algébriquement :
 AB + AB = B
 (A + B)  (A + B) = B
 A + AB = A + B
 A  (A + B) = AB
 principe de dualité
 L’expression duale de toute expression logique (pas équation)
s’obtient en permutant les opérateurs ET et OU et les éléments 0 et 1
apparaissant dans l’expression.
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Algèbre de Boole
 Exercice :
 En utilisant les définitions, propriétés et théorèmes de l’algèbre de
Boole développer et simplifier la fonction définie par l’équation
suivante :
F(a,b,c,d,e) = ab  bc + ce + de
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Représentation des fonctions logiques
Les formes technologiques
 première forme : somme de monômes (produits de
littéraux). C’est une forme disjonctive.
Exemple : F(x,y,z) = xy + xz + xy
 deuxième forme : produit de monaux (somme de
littéraux). C’est une forme conjonctive.
Exemple : F(x,y,z) = (x + y)  (x + z)(x + y)
 formes technologiques associées : elles s’obtiennent
d’après le théorème d’involution et celui de De Morgan.
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Représentation des fonctions logiques
Les formes normales ou canoniques
 une fonction logique est sous forme canonique si
chaque termes (monômes et monaux) contient toutes
les variables. C’est aussi une forme technologique.
 forme normale disjonctive (1ère forme canonique) :
somme de monômes contenant chacun toutes les
variables (intersection de base ou min terme).
Exemple : F(x,y,z) = x y z + x y z + x y z
 forme normale conjonctive (2ème forme canonique) :
produit de monaux contenant chacun toutes les
variables (réunion de base ou max terme).
Exemple : F(x,y,z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)
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Représentation des fonctions logiques
 Extraction d’une équation logique à partir de la table de
vérité :
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c f(a,b,c)
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
Points vrais :
F(0,0,0) = 1 = a b c
F(0,1,1) = 1 = a b c
F(1,0,0) = 1 = a b c
F(1,0,1) = 1 = a b c
Forme normale disjonctive :
Elle ne comprend que les min termes
pour lesquels la valeur particulière
de la fonction est égale à 1 (points
vrais).
Le nombre de termes de la réunion
est égale au nombre de 1 de la
fonction figurant dans la table de
vérité.
f(a,b,c) = abc + abc + abc + abc
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Représentation des fonctions logiques
 Extraction d’une équation logique à partir de la table de
vérité :
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c f(a,b,c)
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
Points faux :
F(0,0,1) = 0 = a+b+c
F(0,1,0) = 0 = a+b+c
F(1,1,0) = 0 = a+b+c
F(1,1,1) = 0 = a+b+c
Forme normale conjonctive :
Elle ne comprend que les max
termes pour lesquels la valeur
particulière de la fonction est égale à
0 (points faux).
Le nombre de termes de la réunion
est égale au nombre de 0 de la
fonction figurant dans la table de
vérité.
f(a,b,c) = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
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Représentation des fonctions logiques
 Exercice 1 :
 Extraire les équations logiques des tables de vérité des fonctions
suivantes :
– 1ère forme canonique de la fonction f7
– 2ème forme canonique de la fonction f1
– 1ère forme et 2ème forme canonique de la fonction f6
– 1ère forme et 2ème forme canonique de la fonction f9
 En utilisant les règles de l’algèbre de Boole, simplifier ces fonctions.
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 Exercice 2 :
 Mêmes questions que l’exercice 1 en utilisant la table de vérité
suivante :
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c f(a,b,c)
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
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Représentation des fonctions logiques
 Construction de la table de vérité à partir d’une
équation logique :
 Compter le nombre de variables différentes dans l’équation et créer la
table de vérité.
 1ère méthode : pour chacune des combinaisons de la table de vérité,
évaluer l’équation et reporter le résultat dans la table.
 2ème méthode : mettre l’équation sous une forme technologique et
pour chacun des termes de la forme choisie, reporter les 1 ou les 0
dans les cases correspondantes de la table de vérité (plusieurs
reports par terme).
 3ème méthode : mettre l’équation sous une forme canonique et pour
chacun des termes de la forme choisie, reporter les 1 ou les 0 dans
les cases correspondantes de la table de vérité (un seul report par
terme).
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 Exemple :
 F(a,b) = a  bc
 3 variables a, b et c
 F(a,b) = a  bc
 F(a,b) = abc + abc
 F(a,b) = abc + a(b+c)
 F(a,b) = abc + ab + ac
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c f(a,b,c)
bc f(a,b,c)
0
00
0
1
00
0
0
00
0
1
11
1
0
01
1
1
01
1
0
01
1
1
10
0
 F(a,b) = abc + ab + ac
 F(a,b) = abc + ab(c+c) + ac(b+b)
 F(a,b) = abc + abc + abc + abc + abc
 F(a,b) = abc + abc + abc + abc
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Cours d’automatique
Représentation des fonctions logiques
Les formes numériques
 Chaque combinaison est repérée par un numéro (en
général, l’équivalent décimal) afin de condenser
l’écriture.
Exemple précédent :
F(a,b,c) = ∑ (3, 4, 5, 6)
F(a,b,c) = ∏ (0, 1, 2, 7)
Les logigrammes
 C’est une association des symboles utilisés pour
représenter les fonctions logiques en vue de leur
réalisation câblée ou programmée.
 Le logigramme le plus simple est celui qui utilise le
moins d’opérateurs possible et de même type.
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Cours d’automatique
Représentation des fonctions logiques
 Logigramme d’une première forme canonique en
norme américaine IEEE
a b c
a
abc
abc
b
f(a,b,c)
abc
c
abc
f(a,b,c) = abc + abc + abc + abc
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Cours d’automatique
Représentation des fonctions logiques
 Exercice : réaliser le logigramme d’une deuxième
forme canonique en norme européenne CEI
a b c
1
a
≥1 a+b+c
≥1 a+b+c
1
b
&
≥1 a+b+c
1
c
≥1 a+b+c
f(a,b,c) = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
f(a,b,c)
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Représentation des fonctions logiques
Les chronogrammes
 C’est le graphe d’évolution temporelle des variables et
des fonctions logiques.
 Exemple : chronogramme de la fonction PAS
x
1
0
x
1
0
niveau logique 1
niveau logique 0
t
t
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Cours d’automatique
Représentation des fonctions logiques
 Chronogramme des fonctions ET et OU :
y
0
1
0
1
t
0
0
1
1
t
0
0
0
1
t
0
1
1
1
t
x
xy
x+y
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Cours d’automatique
Représentation des fonctions logiques
 L’instant de passage de 0 à 1 est un front montant.
 L’instant de passage de 1 à 0 est un front descendant.
 La succession de ces deux fronts forme une impulsion.
front montant
de x : x
front descendant
de x : x
x
1
0
t
t1
t2
En t = t1,
(x) = 1
En t = t2,
(x) = 1
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Cours d’automatique
Représentation des fonctions logiques
 Propriétés :
 a = a
 (a)x + (a)y = (a)(x + y)
 (a)x + (b)x = x(a + b)
 a + b  (a + b)
 a  b  (ab)
 a  a
 Exercice :
 Compléter les chronogrammes du polycopié afin d’illustrer les
propriétés précédentes.
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Cours d’automatique
Représentation des fonctions logiques
Les tableaux de Karnaugh
 Soit F, une fonction de n variables.
 Le tableau de Karnaugh est un tableau de 2n cases
correspondant aux 2n combinaisons d’entrée dans
lesquelles sont notées les valeurs correspondantes de
la fonction.
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c f(a,b,c)
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
bc
00
a
0
01
0
1
0
1
11
1
0
1
0
4
10
1
3
1
5
2
0
7
tableau de Karnaugh
6
Le passage d’une
case à une case
voisine se fait par
changement de la
valeur d’une seule
variable à la fois
(code binaire réfléchi
ou code de Gray).
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Représentation des fonctions logiques
Exercice :
 Réaliser le tableau de Karnaugh de la
fonction f de 4 variables a,b,c et d
définie par la table de vérité suivante :
cd
00
ab
00
01
0
1
0
01
1
0
0
10
1
1
1
0
0
6
1
15
1
9
2
7
13
0
8
1
3
5
12
10
0
1
4
11
11
14
0
11
10
a
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
b
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
c
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
d
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
f
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
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Cours d’automatique
Simplification de fonctions logiques
Méthode algébrique : application des principes
de l’algèbre de Boole
 mise en facteur ou développement
 idempotence...
Méthode graphique : utilisation des tableaux
de Karnaugh
 Deux cases sont adjacentes si le passage de l’une à
l’autre se fait uniquement par le changement d’état
d’une seule variable.
 Ce principe s’applique également pour des ensembles
de cases adjacentes constitués de 2n cases.
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Cours d’automatique
Simplification de fonctions logiques
 Exemple :
cd
00
ab
01
11
10
00
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
01
11
10
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Cours d’automatique
Simplification de fonctions logiques
 Méthode de Karnaugh :
 Selon la forme recherchée, regrouper les cases adjacentes de même
valeur (soit 0, soit 1) par des ensembles les plus grands possibles et
correspondant à des puissances de 2. Tous ces regroupements
correspondent à des monômes premiers (ou monaux) et constitue la
base première complète. La somme de ces monômes donne une
expression simplifiée de la fonction logique mais pas sa forme
minimale.
 La forme minimale est obtenue en faisant la somme des monômes
premiers principaux (irredondants), c’est à dire un regroupement
dans lequel il existe au moins une case qui ne peut être regroupée
que par elle-même. Parfois, plusieurs possibilité sont offertes et on
obéira aux règles suivantes :
 Tous les 1 (ou tous les 0) doivent être regroupés au moins une fois.
 Les regroupements les plus grands doivent être choisis en priorité.
 Les cases à regrouper doivent l’être un minimum de fois (commencer
par celles qui n’ont qu’une seule façon de se regrouper).
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Cours d’automatique
Simplification de fonctions logiques
 Exemple :
F=abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd
F=abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd
F=acd(b+b)+abc(d+d)+bd(ac+ac+ac+ac)+abcd
F=acd+abc+bd[a(c+c)+a(c+c)]+abcd
F=acd+abc+bd(a+a)+abcd
F=acd+abc+bd+abcd
cd
00
01
11
10
00
1
0
0
0
acd
01
1
1
1
0
abc
11
0
1
1
0
bd
10
0
0
0
1
abcd
ab
F=acd+abc(d+d)+bd+abcd
F=acd+abcd+abcd+bd+abcd
F=acd(1+b)+bd(ac+1)+abcd
F=acd+bd+abcd
F est la somme des monômes
premiers principaux (irredondants).
redondant
monômes
premiers
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Simplification de fonctions logiques
 Exercice :
 Simplifier sous une 1ére et 2ème forme technologique la fonction définie
par la table de vérité suivante en utilisant la méthode de Karnaugh :
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c f(a,b,c)
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
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Cours d’automatique
Simplification de fonctions logiques
 Cas des fonctions incomplètement définies :
 Certaines combinaisons ne peuvent jamais exister.
 la valeur de la fonction n’a pas d’importance pour certaines
combinaisons de variables.
 La valeur de la fonction est dite indifférente ou la combinaison
interdite. La valeur de la fonction est alors notée Φ ou X et peut
prendre indifféremment la valeur 1 ou 0 selon qu’elle sert ou non à la
simplification.
cd
00
01
11
10
ab
00
1
0
0
0
acd
01
1
1
Φ
0
bd
11
0
Φ
1
0
abd
10
Φ
Φ
0
1
F=acd+bd+abd
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Simplification de fonctions logiques
 Exercice :
 Simplifier sous une 1ére forme technologique la fonction suivante en
utilisant la méthode de Karnaugh :
cde
000
ab
001
011
010
110
111
101
100
00
1
1
1
1
0
1
0
1
01
1
0
0
0
0
0
0
1
11
1
0
0
0
1
0
0
1
10
1
1
1
1
0
1
1
1
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Simplification de fonctions logiques
 Autre approche :
c=0
c=1
de
de
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
0
0
11
1
0
10
1
1
ab
00
01
11
10
00
1
0
1
0
0
01
1
0
0
0
0
0
11
1
0
0
1
1
1
10
1
1
1
0
ab