Stabilité des systèmes linéaires continus

Définition 1 : un système est stable, si une faible perturbation l'écarte faiblement de sa position d'équilibre: Définition 2 : Un système est stable si, abandonné dans un état quelconque, il atteint son état d'équilibre en un temps raisonnable. A l'inverse, un système est instable si, abandonné dans un état quelconque, il s'éloigne de l'équilibre linéairement, exponentiellement ou par oscillations d'amplitude croissante Définition 3 : un signal est stable si l’application d’un signal t »’entrée bornée produit un signal de sortie bornée.

Définition 4 : Un système est asymptotiquement stable, si après une perturbation il revient à sa position d'équilibre:

Stabilité des systèmes linéaires continus

La stabilité la plus intéressante pour l'automaticien est celle d'un système en boucle fermée.

On considère la structure générale d’un système asservi :

G o

(

s

) 

G

(

s

)

F

(

s

) 

K o N o

(

s

)

D o

(

s

) L'analyse de stabilité décrite ici s'applique à un système en boucle fermée dont on connaît la fonction de transfert en boucle ouverte. S'agissant d'un système linéaire, la fonction de transfert en boucle ouverte peut être écrite sous forme de quotient de polynômes multiplié par un paramètre

K

o variable.

Stabilité des systèmes linéaires continus

• FTBF :

G f

(

s

)  1 

G G

(

s

)

o

(

s

) 

N f

(

s

)

D f

(

s

) Réponse libre d'un système d'ordre

n = réponse impulsionnelle G f

(

s

) 

K s m



i

 1 (

s



z i

)

i n

  1 (

s



p i

)

n

 

i

 1 (

s c



i p i

) TL inverse

y

(

t

) 

i n

  1

c i e p i t

Conclusion

Mathématiquement, on définit la stabilité d'un système par la position de ses pôles:

Est stable un système qui n'admet aucun pôle à partie réelle positive.

Stabilité en fonction de la position des pôles du système en boucle fermée Pôles Lieu des racines Réponse libre Propriété tous réels négatifs stabilité asymptotique complexes à partie réelle négative un seul pôle nul une seule paire imaginaire stabilité asymptotique stabilité marginale stabilité marginale

Stabilité en fonction de la position des pôles du système en boucle fermée Pôles Lieu des racines Réponse libre Propriété Au moins un réel positif Au moins une paire complexe à partie réelle positive pôles nuls multiples instabilité instabilité instabilité paires imaginaires multiples instabilité

Étude de la stabilité des systèmes asservis

En général, Les critères qui permettent d'évaluer la stabilité d'un système asservi portent soit sur boucle ouverte soit sur

G

la réponse harmonique en o (

s

) (critère géométrique), le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée algébrique).

D

f (

s

) (critère

CRITÈRES ALGÉBRIQUES

1-Critère de Routh

On considère le polynôme dénominateur du système en boucle fermée :

D f (s)=a n s n +a n-1 s n-1 +….+ a 1 s+a 0

Tableau de Routh (

n

lignes et (

n

+1)/2 colonnes)

n n-1 n-2 n-3 0 a a b c n n-1 1 1 a a b c n-2 n-3 2 2 a a b c n-4 n-5 3 3 …..

….

….

….

….

….

b

1 

a n

 1

a n

 2

a n



a n a n

 3  1

b

2 

a n

 1

a n

 4 

a n a n

 5

a n

 1

c

1 

b

1

a n

 3 

b

2

a n

 1

b

1

c

2 

b

1

a n

 5 

b

3

a n

 1

b

1

CRITÈRES ALGÉBRIQUES

Critère de routh :

 Si tous les termes de la première colonne du tableau de Routh sont strictement positifs, les pôles sont à partie réelle négative, le système étudié est stable .

 S'il y a

k

changements de signe dans la première colonne, pôles ont une partie réelle positive,

k

le système étudié est instable.

 Si tous les termes d'une ligne sont nuls, le système étudié est en limite de stabilité.

1 0 3 2

CRITÈRES DE ROUTH

D f1 (s)= s 3 +6s 2 +12s+8

1 12 Exemples 3

D f2 (s)= 2s 3 +4s 2 +4s+12

2 4 6 64/6 8 8 0 2 1 0 4 -4 12 12 0

Pas de changement de signe Système stable 2 changements de signe Système instable

Application au système asservi

y C + K u

G

(

s

) 

s

(

s

2  0 .

4 3

s s

  1 1 )( 5

s

 1 )

FTBF

 5

s

4  0 .

5

s

3 

K

4 .

( 4

s

 1 ) 7

s

2 

s

( 4

K

 1 ) 

K

0 .

16 

K

 2 .

298 4 5 3 0.5

2 14.7-40K 1  160

K

2 14  98 .

.

7  3 40

K K

 14 .

7 0 K 4.7

4K-1 K K

CRITÈRES ALGÉBRIQUES

Conditions jusqu’à l’ordre 4 Ordre n du système 1 2 3 4 Première condition a 0 , a 1 >0 a 0 , a 1 , a 2 >0 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 >0 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 >0 Deuxième condition (a 1 a 2 -a 0 a 3 )>0 (a 3 a 2 -a 4 a 1 )>0 a 1 (a 3 a 2 -a 1 a 4 )-a 0 a 3 2 >0

CRITÈRES ALGÉBRIQUES

2-Critère de Hurwitz

Construction de la matrice carrée de dimension

n

: Elle contient les coefficients du polynôme dès le deuxième, en ordre décroissant disposés dans la diagonale principale.

Dans une colonne, les termes supérieurs au terme de la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre décroissant. Les termes inférieurs à la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre croissant.

Le système linéaire d'ordre n est stable si les n déterminants contenant le premier terme de la matrice de Hurwitz sont positifs. Si on calcule explicitement les déterminants jusqu'à l'ordre 4, on retrouve les conditions dans le tableau précédent Remarque :

On constate que ces deux critères ne donnent qu'une réponse binaire:

stable

ou

instable

, mais ne permettent pas d’apprécier s’il est plus ou moins proche de l’instabilité (pas d'information sur la qualité ou le degré de la stabilité).

CRITÈRES HURWITZ

D f1 (s)= s 3 +6s 2 +12s+8

Exemples :

D f2 (s)= 2s 3 +4s 2 +4s+12

6 1 0 8 12 6 0 0 8 4 2 0 12 4 4 0 0 12

Critère de Nyquist Le critère de Nyquist résulte de l’application du théorème de Cauchy à l’analyse de stabilité d’une BO.

Théorème Le nombre Z de zéros instable du dénominateur de 1+Go(s) de la FTBF d’un processus asservi est égal au nombre P de pôles instable de la FTBO Go(s) diminué du nombre de tour N du diagramme de nyquist autour de (-1,0).

Z=P-N Si P=N : le système en boucle fermée est stable, dans le cas contraire le système est instable

CRITÈRES GEOMETRIQUES

Exemples : 

Système stable



Système instable

CRITÈRES GEOMETRIQUES

Critère de Revers

Si le système en BO est à déphasage minimal c’est à dire sans pôles ni zéros à partie réelle positive. Le système en BF

est stable s

i, en parcourant le lieu de Nyquist dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point «(–1,0)» à gauche

. Le système est instable si le point (-1,0) reste à droite et juste oscillant si on est sur le point (-1,0).

CRITÈRES REVERS

Exemple

CRITÈRE de REVERS

Plan de black (–1,0) est équivalent (–180°,0dB)

Un système linéaire de FTBF G

f

(s) est stable si, en parcourant le lieu de Black de sa réponse harmonique en BO G o (s) dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique (–180°; 0 dB )à droite

.

CRITÈRE de REVERS

Exemple

CRITÈRE de REVERS

Plan de Bode

Un système asservi est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en BO |G

O

(j

w

)| coupe l'axe de module unité pour une phase

arg

(G

O

(j

w

)) supérieure à –180°

.

Un système asservi est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en BO coupe l’axe de module unité avec une pente supérieure à –2.

CRITÈRE de REVERS

Exemple

Marge de gain & marge de phase

Marge de gain

La marge de gain permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance « sur l'axe réel » par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec l'axe réel a lieu pour une pulsation notée w p , car la phase pour cette pulsation vaut p

A m



G o

(

j

1 w  p )

avec

arg(

G o

(

j

w  p ))   p

M g

 20 log 10 (

A m

)

Marge de phase

La marge de phase permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance – angulaire – par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec le cercle unité a lieu pour une pulsation notée w 1 , car le module pour cette pulsation vaut 1.avec

M

  p  arg(

G

(

j

w 1 )) avec

T

(

j

w 1 )  1

Marge de gain & marge de phase

1/A m  m

Marge de gain & marge de phase

M g M 

Marge de gain & marge de phase